人教版辽宁省大连市第二十四中学高考数学复习《空间向量的线性运算》.ppt
空空间向量的向量的线性运算性运算2021/8/9 星期一1一、平面向量复习一、平面向量复习定义：定义：既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示；用有向线段表示；相等的向量：相等的向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 ABCD坐标表示法：坐标表示法：CDCDCD字母表示法：字母表示法：用字母用字母a、b等或者等或者用有向用有向线线段段的起点与的起点与终终点字母点字母 表示表示2021/8/9 星期一22 2、平面向量的加法、减法与数乘运算、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (0)a (0)向量的数乘aa b2021/8/9 星期一33 3、平面向量的加法与数乘运算、平面向量的加法与数乘运算律律加法交换律：加法交换律：加法结合律：加法结合律：数乘分配律：数乘分配律：数乘结合律：数乘结合律：2021/8/9 星期一4推广:向量求和的多边形法则（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。（3）ABC中，中，D为为BC中点，中点，则则ADCB2021/8/9 星期一5二、空间向量及其线性运算二、空间向量及其线性运算空间向量：空间向量：定义：定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量空间中具有大小和方向的量叫做向量例如例如:空间中点的一个位移就是一个向量空间中点的一个位移就是一个向量.表示方法：表示方法：字母表示字母表示:几何表示几何表示:有向线段有向线段坐标表示坐标表示:2021/8/9 星期一6注意：注意：两个向量的模可以比较大小（模为非负实两个向量的模可以比较大小（模为非负实数），但两个向量不可以比较大小。数），但两个向量不可以比较大小。向量的基线：向量的基线：表示空间向量的有向线段所在的表示空间向量的有向线段所在的直线叫做向量的基线。直线叫做向量的基线。注意：注意：基线是直线，不是线段，每一个向量都对基线是直线，不是线段，每一个向量都对应一条基线，而不同的向量可以有相同的基线。应一条基线，而不同的向量可以有相同的基线。向量的模向量的模(长度长度):表示向量表示向量 的有向线段的的有向线段的长度叫向量的模长度叫向量的模,又叫向量的长度。又叫向量的长度。记作记作2021/8/9 星期一7几个常见的特殊向量：几个常见的特殊向量：相等向量：相等向量：空间中同向且等长的有向线段表空间中同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量，即大小、方向相同示同一向量或相等的向量，即大小、方向相同的两个向量；的两个向量；说明：说明：1、向量不仅可以在平面上平移，还可以向量不仅可以在平面上平移，还可以在空间中平移，一个向量在平移后和平移前的两在空间中平移，一个向量在平移后和平移前的两个向量是相等向量，但这两个向量的基线不同。个向量是相等向量，但这两个向量的基线不同。2、空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，用这个平面内的两条有向线段表示。用这个平面内的两条有向线段表示。零向量：零向量：起点与终点重合的向量叫零向量。起点与终点重合的向量叫零向量。记作：记作：。零向量的模长为。零向量的模长为0，零向量的方向是任意的。零向量的方向是任意的。2021/8/9 星期一8相反向量：相反向量：模长相等，方向相反的两个向量叫模长相等，方向相反的两个向量叫相反向量。相反向量。单位向量：单位向量：模长为模长为1的向量叫单位向量。的向量叫单位向量。平行向量（共线向量）：平行向量（共线向量）：如果空间中的一些如果空间中的一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫平向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫平行向量或共线向量。记作：行向量或共线向量。记作：规定：规定：零向量零向量与任意向量平行（共线）与任意向量平行（共线）说明：平行（共线）向量的基线平行或重合，不同说明：平行（共线）向量的基线平行或重合，不同向量的基线可能相同。平行向量就是共线向量。向量的基线可能相同。平行向量就是共线向量。2021/8/9 星期一9a ab b思考思考:空间向量的运算系统空间向量的运算系统?空间中任意两个向量空间中任意两个向量的和、差、数乘运算法则和运算律的和、差、数乘运算法则和运算律?类比推理和化归类比推理和化归的数学思想。的数学思想。平面平面 空间空间2021/8/9 星期一10空间向量的线性运算：空间向量的线性运算：空间向量的加法：空间向量的加法：baabACbBO说明：说明：空间中的任意两个向空间中的任意两个向量的加法运算，都可以转化为量的加法运算，都可以转化为共面向量，利用平行四边形法共面向量，利用平行四边形法则和三内角形法则解决。则和三内角形法则解决。由于由于O点的选取点的选取是任意的，所以是任意的，所以空间向量的加法空间向量的加法运算与运算与O点的位置点的位置选取无关。选取无关。2021/8/9 星期一11减法是加法的逆运算减法是加法的逆运算空间向量的减法：空间向量的减法：空间向量的线性运算：空间向量的线性运算：aAbBO-aB（后（后-前，指向被减向量）前，指向被减向量）空间向量的数乘运算：空间向量的数乘运算：aaPOP当当 时，时，与与共线同向。共线同向。当当 时，时，与与共线反向。共线反向。当当 时，时，2021/8/9 星期一12空间向量加法与数乘向量运算律：空间向量加法与数乘向量运算律：加法结合律：加法结合律：数乘分配律：数乘分配律：bca+b+c abca+b+c a+b b+c 加法交换律：加法交换律：a(4)数乘结合律：有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。2021/8/9 星期一13对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明空间向量的运算就是平面向量运算的推广。要空间向量的运算就是平面向量运算的推广。要会类比平面向量的有关结论对空间向量作出推会类比平面向量的有关结论对空间向量作出推广。广。4.4.四个重要结论四个重要结论:空间向量加法的多边形法则：空间中首尾相空间向量加法的多边形法则：空间中首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：封口向量向末尾向量的终点的向量即：封口向量2021/8/9 星期一14空间中首尾相接的若干向量若构成一个封闭空间中首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则这些向量的和向量为零向量。即：图形，则这些向量的和向量为零向量。即：4.4.四个重要结论四个重要结论:2021/8/9 星期一154.4.四个重要结论四个重要结论:有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变变。空间向量的平行六面体法则：三个不共面向量空间向量的平行六面体法则：三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线角线AC表示的向量。（是平面向量加法的平行表示的向量。（是平面向量加法的平行四边形法则在空间中的推广）四边形法则在空间中的推广）A1B1C1D1ABCD2021/8/9 星期一16课堂演练：课堂演练：空间向量概念剖析空间向量概念剖析例例1：判断下列命题是否正确？在空间中：判断下列命题是否正确？在空间中：向量向量 与与 是共线向量是共线向量,则则A、B、C、D四点共线。四点共线。任一向量与它的相反向量不相等。任一向量与它的相反向量不相等。ABCD是平行四边形的充要条件是是平行四边形的充要条件是零向量没有方向。零向量没有方向。与与 共线，共线，与与 不共线，则不共线，则 与与 也不共线。也不共线。向量向量 与与 不共线，则不共线，则 与与 都是非零向量。都是非零向量。平行向量，若起点不同，则终点也不同。平行向量，若起点不同，则终点也不同。2021/8/9 星期一17将空间中的所有单位向量平移到同一个起将空间中的所有单位向量平移到同一个起点点,则它们的终点构成一个球面。则它们的终点构成一个球面。空间向量就是空间中的一条有向线段。空间向量就是空间中的一条有向线段。不相等的两个空间向量的模必不相等。不相等的两个空间向量的模必不相等。例例1：判断下列命题是否正确？在空间中：判断下列命题是否正确？在空间中：2021/8/9 星期一18ABCDA1B1C1D1空间向量化简运算：空间向量化简运算：例例2已已知知平平行行六六面面体体 ABCD-A1B1C1D1，化化简简下下列列向向量量表表达达式式，并并标标出出化化简简结结果果的的向向量量：2021/8/9 星期一19例例3 3：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-A1 1B1 1C1 1D1 1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值。的值。ABCDA1B1C1D12021/8/9 星期一20例例3 3：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值。的值。ABCDA1B1C1D1解：2021/8/9 星期一21例例3 3：已知平行六面体：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值。的值。解：ABCDA1B1C1D12021/8/9 星期一22例例4、如图，、如图，M、N分别是四面体分别是四面体ABCD的棱的棱AB、CD的中点，求证：的中点，求证：ABDCMNH证法证法1：证法证法2：取：取BD中点中点H，连，连MH、NH2021/8/9 星期一23例例5、证明：平行六面体的对角线交于一点，并、证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。且在交点处互相平分。AA1DCBB1C1D1O证明证明:如图如图,设设O是平行六面体是平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D1中对中对角线角线AC1的中点的中点,则则设P、M、N分别是BD1、CA1、DB1的中点，则故故O、P、M、N四点重合。四点重合。平平行六面体的对角线交于一点，并行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。且在交点处互相平分。2021/8/9 星期一24平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法减法:三角形法则三角形法则加法加法:三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量数乘数乘:a，为正数为正数,负数负数,零零加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律小结小结加法交换律加法交换律数乘分配律数乘分配律加法结合律加法结合律类比、数形结合类比、数形结合数乘数乘:a,为正数为正数,负数负数,零零2021/8/9 星期一25ABMCGD练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点,化简化简2021/8/9 星期一26ABMCGD(2)原式练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点,化简化简2021/8/9 星期一27ABCDD1C1B1A1练习2在立方体在立方体ACAC1 1中中,点点E E是面是面A A1 1C C1 1的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.E解：（解：（1）2021/8/9 星期一28练习2在立方体在立方体ACAC1 1中中,点点E E是面是面A A1 1C C1 1的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.ABCDD1C1B1A1E（2）2021/8/9 星期一29
