湖南省永州市新田县第一中学高中数学 9 生活中的优化问题举例课件 理 新人教A选修22.ppt
1.4 1.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例2021/8/8 星期日1 生活中经常遇到求生活中经常遇到求利润最大利润最大、用用料最省料最省、效率最高效率最高等问题，这些问题等问题，这些问题通常称为通常称为优化问题优化问题，通过前面的学习，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。一些生活中的优化问题。2021/8/8 星期日2问题问题1:海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各上下边各空空2dm,左右空左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？能使四周空白面积最小？解：设版心的高为解：设版心的高为xdm,则宽为则宽为此时四周空白面积为此时四周空白面积为2021/8/8 星期日3 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为求版心面积为128cm2,上下边各空上下边各空2cm,左右空左右空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解：设版心的高为解：设版心的高为xcm,则宽为则宽为此时四周空白面积为：此时四周空白面积为：求导数，有求导数，有解得，解得，x=16 (x=-16舍去）舍去）2021/8/8 星期日4因此，因此，x=16是函数是函数s(x)的极小值点，也的极小值点，也是最小值点。是最小值点。所以，当版心高为所以，当版心高为16dm,宽宽为为8dm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为答：当版心高为16dm,宽为宽为8dm时，海报时，海报四周空白面积最小。四周空白面积最小。2021/8/8 星期日5解法二解法二：由解法由解法(一一)得得2021/8/8 星期日6练习练习1、一条长为、一条长为l的铁丝截成两段，分别的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？别是多少？则两个正方形面积和为解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0 x0它表示它表示 f(r)单调递增，单调递增，即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f(r)0 它表示它表示 f(r)单调递减单调递减，即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低2021/8/8 星期日111.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大2021/8/8 星期日12练习练习2、在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？箱子容积最大？最大容积是多少？2021/8/8 星期日13解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱箱子的容积很小子的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.2021/8/8 星期日14 2、若函数、若函数 f(x)在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0，则不需与端点比较，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义所得结果符合问题的实际意义2021/8/8 星期日15hr练习练习3、要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值个铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？2021/8/8 星期日16解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,则则令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:当罐的高与底半径相等时当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省所用的材料最省.还有其它的求法吗？还有其它的求法吗？2021/8/8 星期日17如何解决优化问题?优化问题优化问题优化问题的答案优化问题的答案用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题小结小结2021/8/8 星期日18作业：作业：P37 A组组 5、62021/8/8 星期日192021/8/8 星期日20
