人教版高中数学 3.3.2《简单的线性规划》课件 新人教A必修5.ppt

3.3.2 简单的线性规划2021/8/9 星期一1教学目标教学目标（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力教学重点、难点教学重点、难点二元线性规划问题的解法的掌握2021/8/9 星期一2 在生产与营销活动中，我们常常需要在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现有的资源（人力、物考虑：怎样利用现有的资源（人力、物力、资金力、资金），取得），取得最大的收益最大的收益。或。或者，怎样以者，怎样以最少的资源最少的资源投入去完成一项投入去完成一项给定的任务。我们把这一类问题称为给定的任务。我们把这一类问题称为“最优化最优化”问题。问题。不等式的知识是解决不等式的知识是解决“最优化最优化”问题的问题的得力工具。得力工具。2021/8/9 星期一3 我们将借助我们将借助二元一次不等式二元一次不等式（组）的（组）的几何表示，学习几何表示，学习“最优化最优化”问题问题中的简中的简单单“线性规划线性规划”问题问题。2021/8/9 星期一4 问题：某工厂计划生产甲、乙两种产问题：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。生产品，这两种产品都需要两种原料。生产甲产品甲产品1工时需要工时需要A原料原料3kg，B原料原料1kg；生产；生产乙产品乙产品1工时需要工时需要A原料原料2kg，B原原料料2kg。现有。现有A原料原料1200kg，B原料原料800kg。如果生产甲产品每工时的如果生产甲产品每工时的平均利润是平均利润是30元元，生产乙产品每工时的，生产乙产品每工时的平均利润是平均利润是40元，元，问同时生产两种产品，各多少工时问同时生产两种产品，各多少工时能使能使利润的总额最大利润的总额最大？最大利润是多少？最大利润是多少？2021/8/9 星期一5解：依题意，可列表如下：解：依题意，可列表如下：产品品原料原料A数量数量(kg)原料原料B数量数量(kg)利利润(元元)生生产甲种甲种产品品1工工时3130生生产乙种乙种产品品1工工时2240限限额数量数量1200800 设计划生产甲种产品设计划生产甲种产品x工时，计划生产乙工时，计划生产乙种产品种产品y工时，工时，2021/8/9 星期一6则获得的利润总额为则获得的利润总额为f=30 x+40y。其中其中x,y满足下列条件满足下列条件：于是问题转化为，在于是问题转化为，在x，y满足条件满足条件的情况下，求式子的情况下，求式子30 x+40y的的最大值最大值。2021/8/9 星期一7画出不等式组画出不等式组表示的表示的平面区域平面区域OABC。2021/8/9 星期一8画出不等式组画出不等式组表示的表示的平面区域平面区域OABC。问题又转化为，在不等式组问题又转化为，在不等式组表示的平表示的平面区域内面区域内找一点找一点，把它的坐标代入式子，把它的坐标代入式子30 x+40y时，使该式时，使该式取得取得最大值最大值。2021/8/9 星期一9 令令30 x+40y=0，则此方程表示通过原点，则此方程表示通过原点的一条直线，记为的一条直线，记为l0，易知：在区域，易知：在区域OABC内有内有 30 x+40y0。考察这个区域内任意一点考察这个区域内任意一点P(x,y)到到l0距离距离 于是于是2021/8/9 星期一10 这就是说，点这就是说，点P(x，y)到直线到直线l0的的距离距离d越大，式子越大，式子30 x+40y的值也越大的值也越大。因此问题因此问题转化转化为：在不等式组为：在不等式组表示表示的平面区域内找一点，使它到直线的平面区域内找一点，使它到直线l0的距的距离最大。离最大。为在区域为在区域OABC内精确地找到这一点，内精确地找到这一点，我们平移直线我们平移直线l0的位置到的位置到l，使，使l通过通过OABC内的某点，内的某点，2021/8/9 星期一112021/8/9 星期一12 且且OABC内的其它各点都在内的其它各点都在l的的包含直线包含直线l0的同一侧的同一侧，很容易证明该点到，很容易证明该点到l0的距离最的距离最大，用此法区域大，用此法区域OABC内的点内的点B为所求。为所求。解方程组解方程组 得点得点B的坐标为的坐标为(200，300)。2021/8/9 星期一13将将x=200，y=300代入式子代入式子:30 x+40y，得，得Fmax=30200+40300=18000.答：用答：用200工时生产甲种产品，用工时生产甲种产品，用300工工时生产乙种产品，能获得利润时生产乙种产品，能获得利润18000元，元，此时利润总额最大。此时利润总额最大。2021/8/9 星期一14 在上述问题中，我们把要求最大值或在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的最小值的函数函数f=30 x+40y叫做叫做目标函数目标函数，目标函数中的变量所要满足的目标函数中的变量所要满足的不等式不等式组组称为称为约束条件约束条件。如果如果目标函数目标函数是关于变量的是关于变量的一次函数一次函数，则称为则称为线性目标函数线性目标函数，如果，如果约束条件约束条件是关是关于变量的于变量的一次不等式一次不等式（或等式），则称为（或等式），则称为线性约束条件线性约束条件。2021/8/9 星期一15 在线性约束条件下求线性目标函数的最在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为大值或最小值问题，称为线性规划问题线性规划问题。使目标函数达到最大值或最小值的使目标函数达到最大值或最小值的点的坐点的坐标标，称为问题的，称为问题的最优解最优解。一般地，满足线性约束条件的一般地，满足线性约束条件的解解(x，y)叫做叫做可行解可行解，由所有可行解组成的，由所有可行解组成的集合集合叫叫做做可行域可行域。2021/8/9 星期一16例例1下表给出甲、乙、丙三种食物中维下表给出甲、乙、丙三种食物中维生素生素A、B的含量及单价：的含量及单价：甲甲乙乙丙丙维生素生素A(单位位/千克千克)400600400维生素生素B(单位位/千克千克)800200400单价价(元元/千克千克)765营养师想购买这三种食品共营养师想购买这三种食品共10千克，使它千克，使它们所含的维生素们所含的维生素A不少于不少于4400单位，维生单位，维生素素B不少于不少于4800单位，而且要使付出的金单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？额最低，这三种食物应各购买多少千克？2021/8/9 星期一17解：设购买甲种食物解：设购买甲种食物x千克，乙种食物千克，乙种食物y千克，则购买丙种食物千克，则购买丙种食物(10 xy)千克，千克，又设总支出为又设总支出为z元，由题意得元，由题意得 z=7x+6y+5(10 xy)，化简得化简得 z=2x+y+50，x，y应满足的应满足的约束条件约束条件 2021/8/9 星期一18化简得化简得 根据上述不等式组，作根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。域，如图阴影部分所示。2021/8/9 星期一19化简得化简得 根据上述不等式组，作根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。域，如图阴影部分所示。2021/8/9 星期一20画直线画直线l0：2x+y=0，平行移动，平行移动l0到直线到直线l的的位置，使位置，使l过可行域中的某点，并且可行过可行域中的某点，并且可行域内的其它各点域内的其它各点都在都在l的不包含直线的不包含直线l0的另的另外一侧。外一侧。2021/8/9 星期一21画直线画直线l0：2x+y=0，平行移动，平行移动l0到直线到直线l的的位置，使位置，使l过可行域中的某点，并且可行过可行域中的某点，并且可行域内的其它各点域内的其它各点都在都在l的不包含直线的不包含直线l0的另的另外一侧。外一侧。该点到直线该点到直线l0的距离最的距离最小，则这一点的坐标使小，则这一点的坐标使目标函数取最小值目标函数取最小值。2021/8/9 星期一222021/8/9 星期一23 容易看出，点容易看出，点M符合上述条件，点符合上述条件，点M是是直线直线y=2与直线与直线2xy=4的交点。的交点。解方程组解方程组 得点得点M(3，2)。因此，当因此，当x=3，y=2时，时，z取得最小值取得最小值z=23+2+50=58.此时，此时，10 xy=5.答：购买甲食物答：购买甲食物3千克，乙食物千克，乙食物2千克，千克，丙食物丙食物5千克，付出的金额最低为千克，付出的金额最低为58元。元。2021/8/9 星期一24例例2某货运公司拟用集装箱托运甲、乙某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱能够所托运的货两种货物，一个大集装箱能够所托运的货物的总体积不能超过物的总体积不能超过24m3，总重量不能低，总重量不能低于于650千克。甲、乙两种货物每袋的体积、千克。甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：重量和可获得的利润，列表如下：货物物每袋体每袋体积(单位：位：m3)每袋重量每袋重量(单位：百千克位：百千克)每袋利每袋利润(单位：百元位：百元)甲甲5120乙乙42.510问：在一个大集装箱内，这两种货物各装问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋多少袋(不一定都是整袋不一定都是整袋)时，可获得最大时，可获得最大利润？利润？2021/8/9 星期一25解：设托运甲种货物解：设托运甲种货物x袋，乙种货物袋，乙种货物y袋，袋，获得利润获得利润z百元。百元。则则 z=20 x+10y。依题意可得关于依题意可得关于x，y的的约束条件约束条件 2021/8/9 星期一26 根据上述不等式组，作出表示可行域的根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。平面区域，如图阴影部分所示。画直线画直线l0：20 x+10y=0，平行移动，平行移动l0到直线到直线l的的位置，使位置，使l过可行域中过可行域中的某点，并且可行域内的某点，并且可行域内的其它各点都在的其它各点都在l的包的包含直线含直线l0的的同一侧同一侧。2021/8/9 星期一272021/8/9 星期一28 该点到直线该点到直线l0的距离最大，则这一点的距离最大，则这一点的坐标使的坐标使目标函数取最大值目标函数取最大值。容易看出，容易看出，点点M符合上述条件符合上述条件，点，点M是是直线直线2x+5y=13与直线与直线5x+4y=24的交点。的交点。解方程组解方程组 得点得点M(4，1)。因此当因此当x=4，y=1时，时，z取得最大值，此取得最大值，此时时zmax=204+101=90.2021/8/9 星期一29答：在一个大集装箱内装甲种货物答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，袋，乙种货物乙种货物1袋，可获得最大利润袋，可获得最大利润9000元。元。2021/8/9 星期一30例例3A、B两个居民小区的居委会组织本两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加。已知加。已知A区的每位同学区的每位同学往返车费是往返车费是3元元，每人可每人可为为5位老人服务位老人服务；B区的每位同学区的每位同学往往返车费是返车费是5元元，每人可为，每人可为3位老人服务位老人服务。如。如果要求果要求B区参与活动的同学比区参与活动的同学比A区的同学多，区的同学多，且去敬老院的往返且去敬老院的往返总车费不超过总车费不超过37元元。怎。怎样安排参与活动同学的人数，才能使样安排参与活动同学的人数，才能使受到受到服务的老人最多？服务的老人最多？受到服务的老人最多是受到服务的老人最多是多少人？多少人？2021/8/9 星期一31解：设解：设A、B两区参与活动的人数分别为两区参与活动的人数分别为x，y受到服务的老人人数为受到服务的老人人数为z，则则z=5x+3y，应满足的约束条件是应满足的约束条件是 化简得化简得 2021/8/9 星期一32 根据上述不等式组，作出表示可行域的根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。平面区域，如图阴影部分所示。画直线画直线l0：5x+3y=0，平行移动平行移动l0到直线到直线l的的位置，使位置，使l过可行域中过可行域中的某点，并且可行域的某点，并且可行域内的其它各点都在内的其它各点都在l的的包含直线包含直线l0的同一侧。的同一侧。2021/8/9 星期一33 该点到直线该点到直线l0的距离最大，则这一点的的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值。坐标使目标函数取最大值。容易看出，点容易看出，点M符合上述条件，点符合上述条件，点M是是直线直线x5y+1=0与直线与直线3x+3y=37的交点。的交点。解方程组解方程组 得点得点M(4，5)。2021/8/9 星期一34 因此，当因此，当x=4，y=5时，时，z取得最大值，取得最大值，并且并且zmax=54+35=35.答：答：A、B两区参与活动同学的人数分别两区参与活动同学的人数分别为为4，5时，受到服务的老人最多，最多为时，受到服务的老人最多，最多为35人。人。2021/8/9 星期一35