高考数学一轮复习 39圆的方程_点_直线_圆的位置关系课件 （文） 新人教A.ppt

第三十九讲第三十九讲 圆的方程圆的方程 点点 直直线线 圆的位置关系圆的位置关系2021/8/11 星期三1共 54 页回归课本回归课本1.1.圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r0),(r0),其中圆心为其中圆心为(a,b)(a,b),半径为半径为r r.2.2.圆的一般方程圆的一般方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0(D+Dx+Ey+F=0(D2 2+E+E2 2-4F0),-4F0),其中圆心为其中圆心为 半径半径若若D D2 2+E+E2 2-4F=0,-4F=0,则表示点则表示点若若D D2 2+E+E2 2-4F0,-4Frdr;点点P P在圆上在圆上d=rd=r;点点P P在圆内在圆内drd r r2 2时时,点点P P在圆外在圆外;当当(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)b)2 2=r r2 2时时,点点P P在圆上在圆上;当当(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2 0;+F0;P P在圆上在圆上x x2 20 0+y+y2 20 0+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F=0;+F=0;P P在在圆内圆内x x2 20 0+y+y2 20 0+Dx+Dx0 0+Ey+Ey0 0+F0.+F0)(r0)的位置关系的的位置关系的判断方法有判断方法有:(1)(1)几何方法几何方法圆心圆心(a,b)(a,b)到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离的距离drdrdr直线与圆相离直线与圆相离.2021/8/11 星期三6共 54 页(2)(2)代数方法代数方法由由 消元消元,得到一元二次方程得到一元二次方程其判别式为其判别式为,则则00直线与圆相交直线与圆相交;=0=0直线与圆相切直线与圆相切;00)0)与与(x-a(x-a2 2)2 2+(y-b+(y-b2 2)2 2=r=r2 22 2(r(r2 20)0)的圆心距为的圆心距为d,d,则则drdr1 1+r+r2 2两圆两圆相离相离;d=rd=r1 1+r+r2 2两圆两圆外切外切;|r|r1 1-r-r2 2|dr|dr1 1+r+r2 2两圆两圆相交相交;d=|rd=|r1 1-r-r2 2|两圆两圆内切内切;0d|r0db0ab0且且a=2c,a=2c,方程方程axax2 2+bx-c=0+bx-c=0的两个实根分别为的两个实根分别为x x1 1和和x x2 2,则点则点P(xP(x1 1,x,x2 2)()()A.A.必在圆必在圆x x2 2+y+y2 2=2=2内内B.B.必在圆必在圆x x2 2+y+y2 2=2=2上上C.C.必在圆必在圆x x2 2+y+y2 2=2=2外外D.D.以上三种情况都有可能以上三种情况都有可能2021/8/11 星期三14共 54 页答案答案:A:A评析评析:本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系本题综合考查了韦达定理以及点与圆的位置关系.2021/8/11 星期三15共 54 页类型一类型一 求圆的方程求圆的方程解题准备解题准备:无论是圆的标准方程还是圆的一般方程无论是圆的标准方程还是圆的一般方程,都有三个都有三个待定系数待定系数,因此求圆的方程因此求圆的方程,应用三个条件来求应用三个条件来求.一般地一般地,已已知圆心或半径的条件知圆心或半径的条件,选用圆的标准式选用圆的标准式,否则选用一般式否则选用一般式.另外另外,还有几何法可以用来求圆的方程还有几何法可以用来求圆的方程.要充分利用圆的有要充分利用圆的有关几何性质关几何性质,如如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“”“半径半径,弦心距弦心距,弦长的一半构成直角三角形弦长的一半构成直角三角形”等等.2021/8/11 星期三16共 54 页【典例【典例1 1】求过两点】求过两点A(1,4)A(1,4)B(3,2)B(3,2)且圆心在直线且圆心在直线y=0y=0上的圆上的圆的标准方程并判断点的标准方程并判断点P(2,4)P(2,4)与圆的关系与圆的关系.分析分析 欲求圆的标准方程欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标和圆的半径的大需求出圆心坐标和圆的半径的大小小,而要判断点而要判断点P P与圆的位置关系与圆的位置关系,只需看点只需看点P P与圆心的距离与圆心的距离和圆的半径的大小关系和圆的半径的大小关系;若距离大于半径若距离大于半径,则点在圆外则点在圆外;若若距离等于半径距离等于半径,则点在圆上则点在圆上;若距离小于半径若距离小于半径,则点在圆内则点在圆内.2021/8/11 星期三17共 54 页 解解 解法一解法一:设圆的标准方程为设圆的标准方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.圆心在圆心在y=0y=0上上,故故b=0.b=0.圆的方程为圆的方程为(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=r=r2 2.又又该圆过该圆过A(1,4)A(1,4)、B(3,2)B(3,2)两点两点.所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=20.=20.2021/8/11 星期三18共 54 页2021/8/11 星期三19共 54 页2021/8/11 星期三20共 54 页2021/8/11 星期三21共 54 页 反思感悟反思感悟(1)(1)本题解法一与解法二都使用了待定系数法本题解法一与解法二都使用了待定系数法,其中解法一设了圆的标准方程其中解法一设了圆的标准方程,解法二设了圆的一般方程解法二设了圆的一般方程,都是结合条件来求所设方程中的待定系数都是结合条件来求所设方程中的待定系数;解法三则应用解法三则应用了平面几何知识了平面几何知识:圆心与弦的中点的连线与弦垂直圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而一般而言言,在解析几何问题中在解析几何问题中,能用上平面几何知识能用上平面几何知识,会使解题变会使解题变得相对简单得相对简单.(2)(2)无论哪种解法无论哪种解法,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系判定点与圆的位置关系.2021/8/11 星期三22共 54 页类型二类型二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系解题准备解题准备:1.:1.直线与圆位置关系的判定方法直线与圆位置关系的判定方法:(1)(1)几何法几何法:由圆心到直线的距离由圆心到直线的距离d d与半径与半径r r的大小判断的大小判断.当当drdrdr时时,直直线与圆相离线与圆相离.2021/8/11 星期三23共 54 页(2)(2)代数法代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据根据解的个数来研究解的个数来研究.若有两组不同的实数解若有两组不同的实数解,即即0,0,则直线与圆相交则直线与圆相交;若有两组相同的实数解若有两组相同的实数解,即即=0,=0,则直线与圆相切则直线与圆相切;若无实数解若无实数解,即即0,0,则直线与圆相离则直线与圆相离.2021/8/11 星期三24共 54 页2.2.若直线与圆相交若直线与圆相交,则直线被圆截得的弦长则直线被圆截得的弦长3.3.以圆以圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上一点上一点P(xP(x0 0,y,y0 0)为切点的切线方程为为切点的切线方程为x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2.2021/8/11 星期三25共 54 页【典例【典例2 2】已知圆】已知圆C:(x-1)C:(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=25=25及直线及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR).(1)(1)证明证明:不论不论m m取什么实数取什么实数,直线直线l l与圆与圆C C恒相交恒相交;(2)(2)求直线求直线l l被圆被圆C C截得弦长最短长度及此时截得弦长最短长度及此时l l的直线方程的直线方程.2021/8/11 星期三26共 54 页 解析解析(1)(1)直线直线l l可化为可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论即不论m m为任为任何实数何实数,它恒过两直线它恒过两直线x+y-4=0 x+y-4=0与与2x+y-7=02x+y-7=0的交点的交点.两方程两方程联立联立,解得交点为解得交点为(3,1),(3,1),又有又有(3-1)(3-1)2 2+(1-2)+(1-2)2 2=525,=5r|r1 1+r+r2 2相离相离;|O;|O1 1O O2 2|=r|=r1 1+r+r2 2外切外切;|r;|r1 1-r-r2 2|O|O1 1O O2 2|r|r1 1+r+r2 2相交相交;|O;|O1 1O O2 2|=|r|=|r1 1-r-r2 2|内切内切;0|O;0|O1 1O O2 2|r|r1 1-r-r2 2|内含内含.2021/8/11 星期三29共 54 页【典例【典例3 3】已知圆】已知圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0,-5=0,圆圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+2x-+2x-2my+m2my+m2 2-3=0,-3=0,试就试就m m的取值讨论两圆的位置关系的取值讨论两圆的位置关系.分析分析 求两圆的圆心距求两圆的圆心距d,d,判断判断d d与与R+r,R-rR+r,R-r的关系的关系.2021/8/11 星期三30共 54 页2021/8/11 星期三31共 54 页2021/8/11 星期三32共 54 页(3)(3)当当r r1 1-r-r2 2|C|C1 1C C2 2|r|r1 1+r+r2 2,即即-5m-2-5m-2或或-1m2-1mr|r1 1+r+r2 2,即即m-5m2m2时时,两圆外离两圆外离;(5)(5)当当|C|C1 1C C2 2|r|r1 1-r-r2 2,即即-2m-1-2m-1时时,两圆内含两圆内含.2021/8/11 星期三33共 54 页反思感悟反思感悟不根据圆心距与两圆半径的和、差关系不根据圆心距与两圆半径的和、差关系,确定两确定两圆位置关系圆位置关系,或用代数法求解或用代数法求解,造成计算繁琐造成计算繁琐.在讨论两圆的位置关系时在讨论两圆的位置关系时,一般用几何法而不用代数法一般用几何法而不用代数法,关于关于两圆的位置关系的讨论两圆的位置关系的讨论,应明确圆心距和两圆半径之间的应明确圆心距和两圆半径之间的和差关系和差关系.2021/8/11 星期三34共 54 页错源一错源一忽视特殊情形忽视特殊情形【典例【典例1 1】已知圆】已知圆M:(x-1)M:(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4,=4,直线直线a a过点过点P(2,3)P(2,3)且与且与圆圆M M交于交于A,BA,B两点两点,且且 求直线求直线a a的方程的方程.2021/8/11 星期三35共 54 页 错解错解 设直线设直线a a的方程为的方程为y-3=k(x-2),y-3=k(x-2),即即kx-y+3-2k=0.kx-y+3-2k=0.作示意图如图作示意图如图,作作MCABMCAB于于C.C.在直角三角形在直角三角形MBCMBC中中,由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 解得解得所以直线所以直线a a的方程为的方程为3x-4y+6=0.3x-4y+6=0.2021/8/11 星期三36共 54 页 剖析剖析忽视了直线忽视了直线a的斜率不存在情形的斜率不存在情形.2021/8/11 星期三37共 54 页错源二错源二以偏概全以偏概全【典例【典例2 2】求与圆】求与圆C:(x-2)C:(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4和直线和直线y=0y=0都相切且半径都相切且半径为为1 1的圆的方程的圆的方程.错解错解 因为所求的圆与圆因为所求的圆与圆C C和直线和直线y=0y=0都相切且半径为都相切且半径为1,1,所以所以设其圆心为设其圆心为(a,1),(a,1),则则整理得整理得a a2 2-4a-5=0,-4a-5=0,解得解得a=5a=5或或a=-1.a=-1.所以所求的圆的方程为所以所求的圆的方程为(x-5)(x-5)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1或或(x+1)(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1.=1.2021/8/11 星期三38共 54 页 剖析剖析 错解中共有两处错误错解中共有两处错误:1.:1.所求的圆与圆所求的圆与圆C C和直线和直线y=0y=0都相切都相切,圆不一定在圆不一定在y=0y=0的上方的上方,也有可能在下方也有可能在下方,所以设圆所以设圆心为心为(a,1)(a,1)是错误的是错误的;2.;2.两圆相切不一定是外切两圆相切不一定是外切,也有可能也有可能是内切是内切,所以所以 是错误的是错误的,没有考虑没有考虑内切的情形内切的情形.2021/8/11 星期三39共 54 页2021/8/11 星期三40共 54 页2021/8/11 星期三41共 54 页2021/8/11 星期三42共 54 页四种方法确定圆的方程四种方法确定圆的方程技法一技法一 当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程【典例【典例1】已知】已知ABC的三个顶点坐标分别是的三个顶点坐标分别是A(4,1),B(6,-3),C(-3,0),求求ABC外接圆的方程外接圆的方程.2021/8/11 星期三43共 54 页解题切入点解题切入点这道题可从两个角度来思考这道题可从两个角度来思考:(1)待定系数法待定系数法,这是一种常用的方法这是一种常用的方法.也就是设出圆的一般式方程也就是设出圆的一般式方程,然后确然后确定其中未知系数定其中未知系数,但这种方法较机械且计算量较大但这种方法较机械且计算量较大;(2)可可以利用以利用ABC外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上外接圆的圆心处在三条边的垂直平分线上,所以可以先求其中两条边的垂直平分线方程所以可以先求其中两条边的垂直平分线方程,求得的交点求得的交点坐标就是圆心坐标坐标就是圆心坐标.2021/8/11 星期三44共 54 页2021/8/11 星期三45共 54 页2021/8/11 星期三46共 54 页 方法与技巧方法与技巧 相比较而言相比较而言,应当特别重视解法二的解题思应当特别重视解法二的解题思路路.这是一种程序化的解题过程这是一种程序化的解题过程,记住一题记住一题,则可通过这一则可通过这一方法解决所有类似问题方法解决所有类似问题.2021/8/11 星期三47共 54 页技法二技法二 当圆心在直线上当圆心在直线上,且已知圆上两点时如何确定圆的且已知圆上两点时如何确定圆的方程方程【典例【典例2 2】已知一圆经过点】已知一圆经过点A(2,-3)A(2,-3)和点和点B(-2,-5),B(-2,-5),且圆心且圆心C C在在直线直线l:x-2y-3=0l:x-2y-3=0上上,求此圆的标准方程求此圆的标准方程.解题切入点解题切入点 圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心圆的任何一条弦的垂直平分线都经过圆心,于于是弦是弦ABAB的垂直平分线必和直线的垂直平分线必和直线l:x-2y-3=0l:x-2y-3=0相交于圆心相交于圆心.2021/8/11 星期三48共 54 页2021/8/11 星期三49共 54 页方法与技巧方法与技巧当圆心在直线上时当圆心在直线上时,一般可阐述如下问题一般可阐述如下问题:(1)该直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心该直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于圆心;(2)该直该直线将圆平分为面积相等的两部分线将圆平分为面积相等的两部分;(3)该直线与圆产生的相该直线与圆产生的相交弦的弦长的一半为圆半径交弦的弦长的一半为圆半径.2021/8/11 星期三50共 54 页技法三技法三 当圆心在直线上当圆心在直线上,且已知圆的一条切线时如何确定且已知圆的一条切线时如何确定圆的方程圆的方程【典例【典例3 3】求经过点】求经过点A(2,-1)A(2,-1)和直线和直线x+y=1x+y=1相切相切,且圆心在直线且圆心在直线y=-2xy=-2x上的圆的方程上的圆的方程.解题切入点解题切入点 已知圆的一条切线时已知圆的一条切线时,圆心到切线的距离就等圆心到切线的距离就等于半径于半径.此时此时,可用点到直线的距离公式建立等式求圆心坐可用点到直线的距离公式建立等式求圆心坐标或是半径标或是半径.2021/8/11 星期三51共 54 页2021/8/11 星期三52共 54 页技法四技法四 当圆过已知圆与直线的交点时当圆过已知圆与直线的交点时,如何确定圆的方程如何确定圆的方程【典例【典例4 4】已知圆】已知圆x x2 2+y+y2 2+x-6y+3=0+x-6y+3=0与直线与直线x+2y-3=0 x+2y-3=0的两个交点的两个交点为为P,Q,P,Q,求以求以PQPQ为直径的圆的方程为直径的圆的方程.解题切入点解题切入点 这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐标这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐标,及由题目给出的数量关系求出半径及由题目给出的数量关系求出半径,即可求出圆的方程即可求出圆的方程.2021/8/11 星期三53共 54 页2021/8/11 星期三54共 54 页