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数学分析电子讲义 黄淮学院 数学科学系数 学 分 析第九章第九章 定积分定积分第二节第二节 微积分学基本公式微积分学基本公式主讲：师建国主讲：师建国二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主 要 内 容一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证证:则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.若说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明在内为单调递增函数.证证:只要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据定理 1,故因此得记作定理定理2.函数,则1)1)定理定理2 2揭示了微分与积分以及定积分与不定积分之揭示了微分与积分以及定积分与不定积分之 间的内在联系，称为微积分学基本定理。间的内在联系，称为微积分学基本定理。4)4)一定要注意公式的条件一定要注意公式的条件,否则计算会发生错误。否则计算会发生错误。如：如：机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)2)关于关于f(x)f(x)连续性的条件可以减弱为连续性的条件可以减弱为可积性可积性。3)3)用定理用定理2 2求定积分有一定的局限性。求定积分有一定的局限性。说明说明：例例2.计算正弦曲线的面积.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼兹公式2.变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束 P309 2;3;4(1),(2),(3);5 数学分析电子讲义 黄淮学院 数学科学系