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    人教版高中数学 1.1《变化率与导数》课件 新人教A选修22.ppt

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    人教版高中数学 1.1《变化率与导数》课件 新人教A选修22.ppt

    新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列高中数学选修选修2-22021/8/9 星期一11.1.变化率与导数2021/8/9 星期一2教学目标教学目标 了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵;了解函数的平均变化率;教学重点:教学重点:函数的平均变化率;导数概念的实际背景,导数的思想及其内涵;2021/8/9 星期一3一、变化率问题一、变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题 的快慢程度变化率问题2021/8/9 星期一4微积分主要与四类问题的处理相关微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。最一般、最有效的工具。2021/8/9 星期一5变化率问题变化率问题问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学从数学角度角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么2021/8/9 星期一6我们来分我们来分析一下析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为显然显然0.620.16问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程的过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容随着气球内空气容量的增加量的增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?2021/8/9 星期一7思考?当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率是多少?2021/8/9 星期一8问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水运动员相对于水面的高度面的高度h(h(单位:米单位:米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t(单位:秒)存在函数关系(单位:秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t h(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?请计算请计算hto2021/8/9 星期一9请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+102021/8/9 星期一10平均变化率定义平均变化率定义:若设若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)则则平均变化率平均变化率为为这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率2021/8/9 星期一11 思考思考?观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜率的斜率2021/8/9 星期一12做两个题吧做两个题吧!1、已知函数、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),则则y/x=()A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x D2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度。附近的平均速度。2x0+x 2021/8/9 星期一13练习:练习:2.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直的规律作直线运动线运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A2021/8/9 星期一14小结:小结:1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率2021/8/9 星期一15练习:练习:过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点上两点P(1,1)和)和Q(1+x,1+y)作曲线的割线,求出当作曲线的割线,求出当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率.2021/8/9 星期一16二、导数的概念二、导数的概念 2021/8/9 星期一17问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位:米单位:米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t(单位:秒)(单位:秒)存在函数关系存在函数关系 h(t)=-4.9t h(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态?hto2021/8/9 星期一182021/8/9 星期一19瞬时速度瞬时速度.在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.又如何求又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.2021/8/9 星期一20如何求(比如,如何求(比如,t t=2=2时的)瞬时速度?时的)瞬时速度?通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势:当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?2021/8/9 星期一21瞬时速度我们用我们用 表示表示 “当当t=2,tt=2,t趋近于趋近于0 0时时,平均速度趋于确平均速度趋于确定值定值-13.1”.-13.1”.那么那么,运动员在某一时刻运动员在某一时刻t t0 0的瞬时速度的瞬时速度?局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2021/8/9 星期一22导数的定义导数的定义:从函数从函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:2021/8/9 星期一23问题:求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.分析:先求分析:先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求再求再求再求2021/8/9 星期一24应用:应用:例例1 物体作自由落体运动物体作自由落体运动,运动方程为:运动方程为:其其中位中位 移单位是移单位是m,时间单位是时间单位是s,g=10m/s2.求:求:(1)物体在时间区间物体在时间区间2,2.1上的平均速度;上的平均速度;(2)物体在时间区间物体在时间区间2,2.01上的平均速度;上的平均速度;(3)物体在物体在t=2(s)时的瞬时速度时的瞬时速度.分析分析:2021/8/9 星期一25解解:(1)将将 t=0.1代入上式,得代入上式,得:(2)将将 t=0.01代入上式,得代入上式,得:2021/8/9 星期一26应用:例例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时,原油的温度(单位:时,原油的温度(单位:0C)为)为 f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第计算第2(h)和第和第6(h)时,原)时,原由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。关键是求出:关键是求出:它说明在第它说明在第2(h)附近,原油附近,原油温度大约以温度大约以3 0C/h的速度下降;的速度下降;在第在第6(h)附近,原油温度大附近,原油温度大约以约以5 0C/H的速度上升。的速度上升。2021/8/9 星期一27应用:例例3 3质量为质量为kgkg的物体,按照的物体,按照s(t)=3ts(t)=3t2 2+t+4+t+4的的规律做直线运动,规律做直线运动,()求运动开始后()求运动开始后s s时物体的瞬时速度;时物体的瞬时速度;()求运动开始后()求运动开始后s s时物体的动能。时物体的动能。2021/8/9 星期一28小结:1 1求物体运动的瞬时速度:求物体运动的瞬时速度:(1 1)求位移增量)求位移增量s=s(t+t)-s(t)s=s(t+t)-s(t)(2)(2)求平均速度求平均速度(3 3)求极限)求极限1由导数的定义可得求导数的一般步骤:由导数的定义可得求导数的一般步骤:(1)求函数的增量)求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率(3)求极限)求极限2021/8/9 星期一29练习:(1)求函数求函数y=在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数y=的导数的导数.2021/8/9 星期一30三、导数的几何意义三、导数的几何意义2021/8/9 星期一31回顾回顾平均变化率平均变化率函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y2021/8/9 星期一32回顾回顾以平均速度代替瞬时速度,然后通过以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.从从函函数数y=f(x)在在x=x0处处的的瞬瞬时时变变化化率率是是:我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数,记作处的导数,记作f f(x(x0 0)或或y y|xx|xx0 0即即2021/8/9 星期一33 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的基本方法是导数的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回顾顾2021/8/9 星期一34应用:例例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时,原油的温度(单位:时,原油的温度(单位:0C)为)为 f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第计算第2(h)和第和第6(h)时,原)时,原由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。关键是求出:关键是求出:它说明在第它说明在第2(h)附近,原油附近,原油温度大约以温度大约以3 0C/h的速度下降;的速度下降;在第在第6(h)附近,原油温度大附近,原油温度大约以约以5 0C/H的速度上升。的速度上升。2021/8/9 星期一35PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义:我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.2021/8/9 星期一36 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线PQ的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切切线的斜率线的斜率.即即:这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在则在 此点有切线此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T2021/8/9 星期一37例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.2021/8/9 星期一38练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)点点P处的切线方程处的切线方程.yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.(2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.2021/8/9 星期一392021/8/9 星期一40在不致发生混淆时,在不致发生混淆时,导函数导函数也简称也简称导数导数函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当时当时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的的一个函数一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:2021/8/9 星期一41如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?2021/8/9 星期一42看一个例子看一个例子:2021/8/9 星期一43下面把前面知识小结下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念,要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念,要从它的几何意义和物 理意义认识这一概念的实质,学会用事物在理意义认识这一概念的实质,学会用事物在全过全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤:要切实掌握求导数的三个步骤:(1)求函数的增)求函数的增 量;量;(2)求平均变化率;)求平均变化率;(3)取极限,得导数。)取极限,得导数。2021/8/9 星期一44(3)函数)函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值,即处的函数值,即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。小结:(2)函数的导数,是指某一区间内任意点)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的而言的,就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。常数,不是变数。c.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数”之间的区别与联系。之间的区别与联系。2021/8/9 星期一45(1)求出函数在点)求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ,得到曲线,得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即求切线方程的步骤:求切线方程的步骤:小结小结:无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的基函数的导数的基本思想,丢掉极限思想就无法理解导本思想,丢掉极限思想就无法理解导 数概念。数概念。2021/8/9 星期一462021/8/9 星期一47再见2021/8/9 星期一48

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