人教版高中数学：基本不等式课件人教必修5.ppt
3.4 3.4 基本不等式（一）基本不等式（一）2021/8/9 星期一120022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标这是在北京召这是在北京召开的第届开的第届国际数学家大国际数学家大会会标会标会会标会标根据根据中国古代中国古代数学家赵爽的数学家赵爽的弦图设计。弦图设计。颜色的明暗使颜色的明暗使它看上去象一它看上去象一个风车，代表个风车，代表中国人民热情中国人民热情好客。好客。欣欣欣欣 赏赏赏赏 体体体体 会会会会 丰丰丰丰 富富富富 自自自自 我我我我2021/8/9 星期一2国际数学家大会国际数学家大会 国际数学家大会（简称国际数学家大会（简称ICMICM）是国）是国际数学界四年一度的大集会际数学界四年一度的大集会 .首次会议首次会议于于18971897年在瑞士苏黎世举行年在瑞士苏黎世举行.每次国际每次国际数学家大会的开幕式上，由国际数学联数学家大会的开幕式上，由国际数学联合会领导人宣布该届合会领导人宣布该届菲尔兹奖菲尔兹奖获奖者名获奖者名单，颁发金质奖章和奖金，并由他人分单，颁发金质奖章和奖金，并由他人分别在大会上报告获奖者的工作。别在大会上报告获奖者的工作。欣欣欣欣 赏赏赏赏 体体体体 会会会会 丰丰丰丰 富富富富 自自自自 我我我我2021/8/9 星期一3数学家的最高荣誉数学家的最高荣誉菲尔兹奖菲尔兹奖奖章正面是阿基米德头像奖章正面是阿基米德头像,并用拉并用拉丁文写有：丁文写有：“超越人类极限，做超越人类极限，做宇宙主人宇宙主人”的格言的格言奖章的背面用拉丁文写着奖章的背面用拉丁文写着“全世界全世界的数学家们：为知识作出新的贡献的数学家们：为知识作出新的贡献而自豪而自豪”欣欣欣欣 赏赏赏赏 体体体体 会会会会 丰丰丰丰 富富富富 自自自自 我我我我2021/8/9 星期一4 从从19831983年召开的国际数学年召开的国际数学家大会开始，同时颁发奖励信息家大会开始，同时颁发奖励信息科学方面的科学方面的奈望林纳奖奈望林纳奖。19981998年在德国柏林举行的第年在德国柏林举行的第2323届国际数学家大会上，国际数学届国际数学家大会上，国际数学家联合会决定设置家联合会决定设置高斯奖高斯奖这一奖这一奖项。项。欣欣欣欣 赏赏赏赏 体体体体 会会会会 丰丰丰丰 富富富富 自自自自 我我我我2021/8/9 星期一5高斯奖奖章高斯奖奖章 欣欣欣欣 赏赏赏赏 体体体体 会会会会 丰丰丰丰 富富富富 自自自自 我我我我2021/8/9 星期一6陈省身奖陈省身奖将于将于20102010年在印度举年在印度举行的行的2727届国际数届国际数学家大会上首次学家大会上首次颁发。颁发。“陈省身陈省身奖奖”是国际数学是国际数学联盟第一个以华联盟第一个以华人命名的数学奖。人命名的数学奖。欣欣欣欣 赏赏赏赏 体体体体 会会会会 丰丰丰丰 富富富富 自自自自 我我我我2021/8/9 星期一7数数 学学 是是 思思 维维 的的 体体 操操 a ab bRtRt的面积和是的面积和是S=S=如图如图,正方形正方形ABCDABCD的面积为的面积为S=S=_，赵爽爽弦弦图易知，易知，ssss,即即等号何时等号何时成立？成立？2021/8/9 星期一8ADBCEFGHba 一般地，对于一般地，对于任意实数任意实数a、b，有，有当且仅当当且仅当a=b时，等号时，等号成立。成立。ACBE(FGH)abD会得到什么？会得到什么？数数 学学 是是 思思 维维 的的 体体 操操 2021/8/9 星期一9当且仅当当且仅当a=b时，时，等号成立。等号成立。基本不等式：基本不等式：注意：注意：两个不等式的两个不等式的适用范围适用范围不同不同,而等号成立的条而等号成立的条件相同件相同.几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数数数 学学 是是 思思 维维 的的 体体 操操 2021/8/9 星期一10A AB BC CD DE E如图如图,AB,AB是圆的直是圆的直径，径，C C是是ABAB上任一上任一点，点，AC=AC=a a,CB=,CB=b b,过点过点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DEDE，连，连AD,BDAD,BD,则则CD=CD=,半径半径为为你能用这个图得出基本你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗不等式的几何解释吗?数数 学学 是是 思思 维维 的的 体体 操操 2021/8/9 星期一11剖析公式应用剖析公式应用两个正数的两个正数的算术平均数算术平均数不小于不小于不小于不小于它们的它们的几何平均数几何平均数.a、b是两个正数是两个正数.当且仅当当且仅当a=ba=b时时“”号成号成立立 2 2。正用、逆用，注意成立的条件。正用、逆用，注意成立的条件3 3。变形用。变形用1 1.基本不等式可以叙述为基本不等式可以叙述为:深深 入入 探探 究究 揭揭 示示 本本 质质2021/8/9 星期一12例例1、（1）用用篱篱笆笆围围一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱笆最短。篱笆最短。最短篱笆是多少？最短篱笆是多少？（2）一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最大。最大。最大面积是多少？最大面积是多少？学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一131 1.两个两个 正正 数的和为数的和为 定定 值时，它们的积有最大值，即值时，它们的积有最大值，即若若a a，b bRR，且，且a ab bM M，M M为定值，则为定值，则 ab 2.两个两个 正正 数的积为数的积为 定定 值时，它们的和有最小值，值时，它们的和有最小值，即若即若a a，b bRR，且，且ababP P，P P为定值，则为定值，则 ab ，等等 号当且仅当号当且仅当a ab b时成立时成立.反思探究例反思探究例1 1 勤勤 于于 总总 结结 敢敢 于于 创创 新新1515等等 号当且仅当号当且仅当a ab b时成立时成立.13132021/8/9 星期一14例例2、某工厂要建造一个长方形、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为无盖贮水池，其容积为4800立立方米，深为方米，深为3米，如果池底每米，如果池底每平方米的造价为平方米的造价为150元，池壁元，池壁每平方米的造价为每平方米的造价为120元，元，怎怎样设计水池能使总造价最低？样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？最低总造价是多少？学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一15 巩固练习巩固练习跳跳 起起 来来 摘摘 下下 丰丰 收收 果果1.1.x x0,0,当当x x取何值时，取何值时，的值最小的值最小？最小值是多少？最小值是多少？2.已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两条，两条直角边各为多少时直角边各为多少时,两条直角边的和最两条直角边的和最小，最小值是多少？小，最小值是多少？3.用用20cm20cm长的铁丝折成一个面积最大的长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？矩形，应怎样折？2021/8/9 星期一16 小结评价 你会了你会了吗？吗？1 1。本节课主要学习了基本不等式的证明。本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。与初步应用。巅巅 峰峰 回回 眸眸 豁豁 然然 开开 朗朗2 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。注意公式的正用、逆用、变形使用。3 3。牢记公式特征。牢记公式特征“正正”、“定定”、“等等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。4 4。我们积累了知识。我们积累了知识,于枯燥中见奇于枯燥中见奇,于于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。在成功之中，就能领略到公式平静的美。2021/8/9 星期一173.4 3.4 基本不等式（二）基本不等式（二）学校：拜泉一中学校：拜泉一中教师：孙教师：孙 研研2021/8/9 星期一18例例1.(1)已知已知 并指出等号并指出等号成立的条件成立的条件.(2)已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.(3)已知已知 能得到什么结论能得到什么结论?请说明理由请说明理由.应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一19练习练习2：若若 ，则（，则（）（1）（）（2）（）（3）B练习练习1：设设a0，b0，给出下列不等式，给出下列不等式其中成立的是其中成立的是 等等号号能能成成立立的的是是 。（1）（）（2）（）（3）(4)学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一20应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题 例例2、已知、已知 都是正数，求证都是正数，求证（1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时，和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时，积积 有最大值有最大值（1 1）一正：各项均为正数）一正：各项均为正数（2 2）二定：）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3 3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出，否则会出现错误现错误小结：利用小结：利用 求最值时要注意：求最值时要注意：学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一212、已知、已知则则x y 的最大值是的最大值是 。1、当、当x0时，时，的最小值为的最小值为 ，此时，此时x=。21 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小的最小值是（值是（）A、10 B、C、D、D D学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一224、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（）A、B、C、D、C C学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一23例3、求函数求函数 的最小值的最小值构造积为定值，利用基本不等式求最值构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数求函数 的最小值的最小值学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一24例例4 4、已知：已知：0 0 x x，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一、分析一、原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3xy=-3x2 2+x+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=时时 y ymaxmax=3x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x则则1-3x1-3x0 0；00 x x，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=3x3x（1-3x1-3x）当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法构造和为定值，利用基本不等式求最值构造和为定值，利用基本不等式求最值2021/8/9 星期一25变式一：式一：已知：已知：0 0 x x ，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值解：解：00 xx1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=3x3x（1-3x1-3x）如此解答行吗？如此解答行吗？上题中只将条件改为上题中只将条件改为0 x1/8,0 x +=+证明：证明：求证：求证：已知已知求证：求证：，是正数，且是正数，且、已知已知应用三应用三 利用基本不等式证明利用基本不等式证明学学 以以 致致 用用2021/8/9 星期一301 1、设、设 且且a+b=3,a+b=3,求求a ab b的最小值的最小值_。作作业：（写出：（写出过程）程）3 3、若，则函数的最小值是、若，则函数的最小值是_。2 2、求函数、求函数f(x)=xf(x)=x2 2(4-x(4-x2 2)(0 x2)(0 x2)的最大值是多少？的最大值是多少？2021/8/9 星期一31 小结评价 你会了你会了吗？吗？1 1。本节课主要学习了基本不等式的证明。本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。与初步应用。巅巅 峰峰 回回 眸眸 豁豁 然然 开开 朗朗2 2。注意公式的正用、逆用、变形使用。注意公式的正用、逆用、变形使用。3 3。牢记公式特征。牢记公式特征“正正”、“定定”、“等等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。4 4。我们积累了知识。我们积累了知识,于枯燥中见奇于枯燥中见奇,于于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。在成功之中，就能领略到公式平静的美。2021/8/9 星期一322021/8/9 星期一33
