新教材高中数学 第三章 函数 3.1.1.3 函数的表示方法课件 新人教B必修1.ppt

第3课时函数的表示方法2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日2函数的表示方法函数的表示方法解析法解析法用数学表达式表示两个用数学表达式表示两个变变量之量之间间的的对应对应关系关系图图像法像法用用图图像表示两个像表示两个变变量之量之间间的的对应对应关关系系列表法列表法列出表格来表示两个列出表格来表示两个变变量之量之间间的的对对应应关系关系2021/8/8 星期日3【思考思考】函数的三种表示方法各自有哪些优缺点？函数的三种表示方法各自有哪些优缺点？2021/8/8 星期日4提示：提示：方方法法优点优点缺点缺点列列表表法法不需要计算就可以直接看不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的出与自变量的值相对应的函数值函数值只能表示自变只能表示自变量可以一一列量可以一一列出的函数关系出的函数关系2021/8/8 星期日5方方法法优点优点缺点缺点图图象象法法能形象直观地表示出函数能形象直观地表示出函数的变化情况的变化情况只能近似地求只能近似地求出自变量的值出自变量的值所对应的函数所对应的函数值，而且有时值，而且有时误差较大误差较大2021/8/8 星期日6方方法法优点优点缺点缺点解解析析法法一是简明、全面地概括了一是简明、全面地概括了变量间的关系，从变量间的关系，从“数数”的方面揭示了函数关系；的方面揭示了函数关系；二是可以通过解析式求出二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对任意一个自变量的值所对应的函数值应的函数值不够形象、直不够形象、直观、具体，而观、具体，而且并不是所有且并不是所有的函数都能用的函数都能用解析法表示出解析法表示出来来2021/8/8 星期日7【素养小测素养小测】1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)(1)任何一个函数都可以用图像法表示任何一个函数都可以用图像法表示.()(2)任何一个函数都可以用解析法表示任何一个函数都可以用解析法表示.()(3)函数的图像一定是一条连续不断的曲线函数的图像一定是一条连续不断的曲线.()2021/8/8 星期日8提示：提示：(1).有的函数是不能画出图像的，有的函数是不能画出图像的，如如f(x)=(2).并不是所有的函数都可以用解析式表示并不是所有的函数都可以用解析式表示.2021/8/8 星期日9(3).(3).有些函数的图像不是一条连续不断的曲线，如有些函数的图像不是一条连续不断的曲线，如f(x)=f(x)=的图像就不是连续的曲线的图像就不是连续的曲线.2021/8/8 星期日102.由下表给出函数由下表给出函数y=f(x)，则，则f(f(1)等于等于()x12345y45321A.1B.2C.4D.52021/8/8 星期日11【解析解析】选选B.由题表可知由题表可知f(1)=4，所以，所以f(f(1)=f(4)=2.2021/8/8 星期日123.函数函数f(x)的图像如图所示，则的图像如图所示，则f(x)的定义域为的定义域为_，值域为，值域为_.2021/8/8 星期日13【解析解析】由由f(x)的图像可知的图像可知-5x5，-2y3.答案：答案：-5，5-2，32021/8/8 星期日14类型一列表法表示函数类型一列表法表示函数【典例典例】1.观察下表：观察下表：x-3-2-1123f(x)41-1-335g(x)1423-2-42021/8/8 星期日15则则f(g(2)-f(-1)=()A.2B.3C.4D.52021/8/8 星期日162.已知函数已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出分别由下表给出x123f(x)231x123g(x)3212021/8/8 星期日17则则f(g(1)的值为的值为_；当；当g(f(x)=2时，时，x=_.2021/8/8 星期日18【思维思维引引】1.先求出先求出g(2)，再求，再求 f(-1)后计算后计算.2.观察表格明确自变量和函数值的对应关系观察表格明确自变量和函数值的对应关系.2021/8/8 星期日19【解析解析】1.选选A.g(2)=-2，f(-2)=1，f(-1)=-1，所以所以f(g(2)-f(-1)=f(-2)-f(-1)=1-(-1)=2.2.f(g(1)=f(3)=1，因为因为g(f(x)=2，所以，所以f(x)=2，所以，所以x=1.答案：答案：112021/8/8 星期日20【内化内化悟悟】对于列表法表示的函数，求函数值时应注意什么？对于列表法表示的函数，求函数值时应注意什么？提示：提示：应注意认真审题，准确确定应注意认真审题，准确确定x与与y的对应关系的对应关系.2021/8/8 星期日21【类题类题通通】列表法表示的函数的求值问题的解法列表法表示的函数的求值问题的解法解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x与与y的对应关系，对于的对应关系，对于f(g(x)这类函数值的求解，应从内到这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求自变量外逐层求解，而求自变量x时，则由外向内逐层求解时，则由外向内逐层求解.2021/8/8 星期日22【习练习练破破】1.给出函数给出函数f(x)，g(x)如表，则如表，则f(g(x)的值域为的值域为()x1234f(x)4321x1234g(x)11332021/8/8 星期日23A.1，3B.1，2，3，4C.4，2D.1，2，32021/8/8 星期日24【解析解析】选选C.因为因为f(g(1)=f(g(2)=f(1)=4，f(g(3)=f(g(4)=f(3)=2，所以所以f(g(x)值域为值域为4，2.2021/8/8 星期日252.已知两个函数已知两个函数f(x)和和g(x)的定义域和值域都是集合的定义域和值域都是集合1，2，3，其函数对应关系如表：，其函数对应关系如表：x123f(x)231x123g(x)3212021/8/8 星期日26则方程则方程g(f(x)=x的解集为的解集为_.2021/8/8 星期日27【解析解析】由于由于g(f(1)=g(2)=2，g(f(2)=g(3)=1，g(f(3)=g(1)=3，所以所以g(f(x)=x的解集为的解集为3.答案：答案：32021/8/8 星期日28类型二函数图像及应用类型二函数图像及应用【典例典例】1.某同学骑车上学，离开家不久，发现作业某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再去上学，为了本忘家里了，于是返回家找到作业本再去上学，为了赶时间他快速行驶赶时间他快速行驶.如图中横轴表示出发后的时间，纵如图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离轴表示离学校的距离.则较符合该同学走法的图像是则较符合该同学走法的图像是()2021/8/8 星期日292021/8/8 星期日302.作出下列函数的图像，并指出其值域：作出下列函数的图像，并指出其值域：世纪金世纪金榜导学号榜导学号(1)y=-x+1，x Z.(2)y=2x2-4x-3(0 x3).(3)y=(-2x1，且，且x0).2021/8/8 星期日31【思维思维引引】1.将该同学上学的过程分为四个时间段，逐段分析离将该同学上学的过程分为四个时间段，逐段分析离学校的距离与出发后的时间的关系学校的距离与出发后的时间的关系.2.首先明确函数的定义域，其次明确函数图像的形状，首先明确函数的定义域，其次明确函数图像的形状，最后描点作图最后描点作图.2021/8/8 星期日32【解析解析】1.选选D.坐标系中，横轴表示出发后的时间，纵坐标系中，横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离轴表示离学校的距离.据此，将该同学上学的过程分为据此，将该同学上学的过程分为四个时间段：四个时间段：第一时间段，该同学从家出发往学校第一时间段，该同学从家出发往学校行驶，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，图行驶，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，图像呈现减函数的趋势像呈现减函数的趋势.2021/8/8 星期日33第二时间段，该同学在中途返回家里，随时间的增第二时间段，该同学在中途返回家里，随时间的增长，他到学校的距离越来越大，图像呈现增函数的趋长，他到学校的距离越来越大，图像呈现增函数的趋势势.第三时间段，该同学停在家里找作业本，此时他到第三时间段，该同学停在家里找作业本，此时他到学校的距离不变，是一个常数，图像呈现水平的线段学校的距离不变，是一个常数，图像呈现水平的线段.2021/8/8 星期日34第四时间段，该同学从家出发，急速往学校行驶，第四时间段，该同学从家出发，急速往学校行驶，随时间的增长，他到学校的距离越来越小，而且由于随时间的增长，他到学校的距离越来越小，而且由于他行驶的速度很快，故图像呈现他行驶的速度很快，故图像呈现“直线下降直线下降”的锐减的锐减趋势趋势.由以上分析，可知符合题意的图像是由以上分析，可知符合题意的图像是D.D.2021/8/8 星期日352.(1)2.(1)定义域为定义域为Z Z，所以图像为离散的点，所以图像为离散的点.图像如图图像如图(1)(1)所示所示.由图可知由图可知y=-x+1y=-x+1，xZxZ的值域为的值域为Z.Z.2021/8/8 星期日36(2)y=2x(2)y=2x2 2-4x-3=2(x-1)-4x-3=2(x-1)2 2-5(0 x3)-5(0 x3)，定义域不是，定义域不是R R，因，因此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分此图像不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分.图像图像如图如图(2)(2)所示所示.由图可知由图可知y=2xy=2x2 2-4x-3(0 x3)-4x-3(0 x3)的值域为的值域为-5-5，3).3).2021/8/8 星期日372021/8/8 星期日38(3)(3)用描点法可以作出函数的图像如图用描点法可以作出函数的图像如图(3)(3)所示所示.由图可由图可知知y=(-2x1y=(-2x1，且，且x0)x0)的值域为的值域为(-(-，-1-122，+).+).2021/8/8 星期日39【内化内化悟悟】画一次函数、二次函数和反比例函数的图像时，应注画一次函数、二次函数和反比例函数的图像时，应注意什么？意什么？2021/8/8 星期日40提示：提示：(1)明确函数图像的形状，即一次函数的图像是明确函数图像的形状，即一次函数的图像是直线、二次函数的图像是抛物线、反比例函数的图像直线、二次函数的图像是抛物线、反比例函数的图像是双曲线是双曲线.(2)作函数图像时应特别注意：顶点、端点、图像与作函数图像时应特别注意：顶点、端点、图像与x轴轴的交点等这些特殊点的交点等这些特殊点.(3)作图时应首先看清函数的定义域作图时应首先看清函数的定义域.2021/8/8 星期日41【类题类题通通】描点法作函数图像的步骤描点法作函数图像的步骤列表列表先找出一些先找出一些(有代表性的有代表性的)自变量自变量x，并计算出，并计算出与这些自变量相对应的函数值与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示，用表格的形式表示出来；出来；2021/8/8 星期日42描点描点从表中得到一系列的点从表中得到一系列的点(x，f(x)，在坐标平面，在坐标平面上描出这些点；上描出这些点；连线连线用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来序连接起来.2021/8/8 星期日43【习练习练破破】1.列车从列车从A地出发直达地出发直达500km外的外的B地，途中要经过距地，途中要经过距离离A地地200km的的C地，假设列车匀速前进地，假设列车匀速前进5h后从后从A地到地到达达B地，则列车与地，则列车与C地之间的距离地之间的距离s关于时间关于时间t的函数图的函数图像为像为()2021/8/8 星期日442021/8/8 星期日45【解析解析】选选A.当当t=0时，时，s=200.列车的运行速度为列车的运行速度为 =100(km/h)，所以列车到达，所以列车到达C地的时间为地的时间为 =2(h)，故当，故当t=2时，时，s=0.2021/8/8 星期日462.如图，函数如图，函数f(x)的图像是曲线的图像是曲线OAB，其中点，其中点O，A，B的坐标分别为的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则，则f(f(3)的值等的值等于于_.2021/8/8 星期日47【解析解析】由图可知由图可知f(3)=1，所以所以f(f(3)=f(1)=2.答案：答案：22021/8/8 星期日48【加练加练固固】1.“龟兔赛跑龟兔赛跑”讲述了这样的一个故事：领先的讲述了这样的一个故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点为时已晚，乌龟还是先到达了终点.如果用如果用S1，S2分别分别2021/8/8 星期日49表示乌龟和兔子所行的路程，表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图形与为时间，则下列图形与故事情节相吻合的是故事情节相吻合的是()2021/8/8 星期日50【解题指南解题指南】乌龟和兔子所跑的路程相同，乌龟所用乌龟和兔子所跑的路程相同，乌龟所用的时间短，据此可选出答案的时间短，据此可选出答案.【解析解析】选选B.因为兔子先快、后停、又快、故排除因为兔子先快、后停、又快、故排除C；又兔子比乌龟晚到达终点，因此排除又兔子比乌龟晚到达终点，因此排除A，D，故选，故选B.2021/8/8 星期日512.作出下列函数的图像作出下列函数的图像.(1)y=x(-2x2，x Z且且x0).(2)y=-2x2+4x+1(0 x3).2021/8/8 星期日52【解析解析】(1)由于函数定义域为大于等于由于函数定义域为大于等于-2，小于等于，小于等于2且不等于且不等于0的整数组成的集合，所以函数图像为图中直的整数组成的集合，所以函数图像为图中直线线y=x上孤立的点上孤立的点.2021/8/8 星期日53(2)由题意可知，函数的定义域为由题意可知，函数的定义域为(0，3，因而这个函，因而这个函数的图像是二次函数数的图像是二次函数y=-2x2+4x+1在在(0，3上的部分上的部分.2021/8/8 星期日54类型三求函数的解析式类型三求函数的解析式角度角度1待定系数法求函数解析式待定系数法求函数解析式【典例典例】(1)已知已知f(x)是一次函数，且满足是一次函数，且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21，求，求f(x)的解析式的解析式.(2)已知已知f(x)为二次函数，且满足为二次函数，且满足f(0)=1，f(x-1)-f(x)=4x，求求f(x)的解析式的解析式.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日55【思维思维引引】(1)设设f(x)=ax+b(a0)，根据题意列方程组求，根据题意列方程组求a，b.(2)设设f(x)=ax2+bx+c(a0)，根据题意列方程组求，根据题意列方程组求a，b，c.2021/8/8 星期日56【解析解析】(1)设设f(x)=ax+b(a0)，则则2f(x+3)-f(x-2)=2a(x+3)+b-a(x-2)+b=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21，所以所以a=2，b=5，所以，所以f(x)=2x+5.2021/8/8 星期日57(2)(2)因为因为f(x)f(x)为二次函数，设为二次函数，设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a0).+bx+c(a0).由由f(0)=1f(0)=1，得，得c=1.c=1.又因为又因为f(x-1)-f(x)=4xf(x-1)-f(x)=4x，所以，所以a(x-1)a(x-1)2 2+b(x-1)+c-+b(x-1)+c-(ax(ax2 2+bx+c)=4x+bx+c)=4x，整理，得，整理，得-2ax+a-b=4x-2ax+a-b=4x，求得，求得a=-2a=-2，b=-2b=-2，所以，所以f(x)=-2xf(x)=-2x2 2-2x+1.-2x+1.2021/8/8 星期日58【素养素养探探】用待定系数法求函数解析式时，经常利用核心素养中用待定系数法求函数解析式时，经常利用核心素养中的数学运算，首先设出所求函数的一般形式，然后根的数学运算，首先设出所求函数的一般形式，然后根据题目条件建立等量关系，最后通过解方程组求出待据题目条件建立等量关系，最后通过解方程组求出待定系数，从而确定函数解析式定系数，从而确定函数解析式.2021/8/8 星期日59本例本例(2)条件条件“f(0)=1，f(x-1)-f(x)=4x”改为改为“f(1-x)=f(1+x)，f(2)=1，f(1)=3，”如何求如何求f(x).2021/8/8 星期日60【解析解析】由由f(1-x)=f(1+x)且且f(1)=3，可设可设f(x)=a(x-1)2+3(a0)，又又f(2)=a(2-1)2+3=1，故，故a=-2，所以所以f(x)=-2x2+4x+1.2021/8/8 星期日61角度角度2换元法换元法(或配凑法或配凑法)求函数解析式求函数解析式【典例典例】已知已知f(+1)=x-2，求，求f(x).世纪金世纪金榜导学号榜导学号2021/8/8 星期日62【思维思维引引】令令t=+1，将解析式中的，将解析式中的x用用t替代，即替代，即可求出函数的解析式可求出函数的解析式.2021/8/8 星期日63【解析解析】方法一：令方法一：令t=+1，则，则t1，x=(t-1)2，代，代入原式有入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3，f(x)=x2-4x+3(x1).2021/8/8 星期日64方法二：方法二：f(+1)=x+2 +1-4 -4+3=(+1)f(+1)=x+2 +1-4 -4+3=(+1)2 2-4(+1)+34(+1)+3，因为，因为 +11+11，所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3(x1).-4x+3(x1).2021/8/8 星期日65角度角度3方程组法求函数解析式方程组法求函数解析式【典例典例】已知函数已知函数y=f(x)满足满足f(x)=2+3x，则，则f(x)的解析式为的解析式为_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日66【思维思维引引】分析已知等式的特点，用分析已知等式的特点，用 代换上式中代换上式中的的x，构建关于，构建关于f(x)和和 的方程组，解方程组求出的方程组，解方程组求出f(x).2021/8/8 星期日67【解析解析】由题意知函数由题意知函数y=f(x)满足满足f(x)=2+3x，即即f(x)-2=3x，用，用 代换上式中的代换上式中的x，可得可得 -2f(x)=联立得，联立得，2021/8/8 星期日68解得解得f(x)=-x-(x0).答案：答案：f(x)=-x-(x0)2021/8/8 星期日69【类题类题通通】函数解析式的求法函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次如一次函数、二次函数、反比例函数等函数、反比例函数等)，可用待定系数法，可用待定系数法.2021/8/8 星期日70(2)换元法：已知函数换元法：已知函数f(g(x)的解析式，可用换元的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围法，此时要注意新元的取值范围.(3)解方程组法：已知解方程组法：已知f(x)与与 、f(-x)之间的关系之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出组，通过解方程组求出f(x).2021/8/8 星期日71【习练习练破破】1.已知已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且且f(2)=3，f(1)=3，则，则f(x)=_.2021/8/8 星期日72【解析解析】设设f(x)=k1x+，则，则 解得解得 所以所以f(x)=x+.答案：答案：x+2021/8/8 星期日732.(1)已知函数已知函数y=f(x)满足满足 =x+1.求求f(x)的解析式的解析式.(2)已知已知f(x)是一次函数，且是一次函数，且2f(x-1)+f(x+1)=6x，求，求f(x)的解析式的解析式.2021/8/8 星期日74【解析解析】(1)设设t=-2，则，则x=所以所以f(t)=+1=所以所以f(x)=(x-2).2021/8/8 星期日75(2)因为因为f(x)是一次函数，所以设是一次函数，所以设f(x)=kx+b(k0)，由由2f(x-1)+f(x+1)=6x，得，得2k(x-1)+b+k(x+1)+b=6x，即，即3kx-k+3b=6x，所以，所以 所以所以k=2，b=即即f(x)=2x+2021/8/8 星期日76【加练加练固固】1.设函数设函数 则则f(x)的表达式为的表达式为()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2021/8/8 星期日77【解析解析】选选C.令令t=解得解得 代入代入 可得可得 所以所以f(x)=2021/8/8 星期日782.已知二次函数已知二次函数f(x)的图像经过点的图像经过点(-3，2)，顶点是，顶点是(-2，3)，则函数，则函数f(x)的解析式为的解析式为_.2021/8/8 星期日79【解析解析】设所求解析式为设所求解析式为f(x)=a(x+2)2+3(a0)，因为抛物线过点因为抛物线过点(-3，2)，所以，所以2=a+3.所以所以a=-1，所以所以f(x)=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.答案：答案：f(x)=-x2-4x-12021/8/8 星期日802021/8/8 星期日812021/8/8 星期日82