2022年人教A版高中数学必修四32《简单的三角恒等变换》示范教案 .docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3.2 简洁的三角恒等变换整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简洁的恒等变换, 以及三角恒等变换在数学中的应用. 本节的内容都是用例题来呈现的 , 通过例题的解答 , 引导同学对变换对象和变换目标进行对比、分析 , 促使同学形成对解题过程中如何挑选公式 , 如何依据问题的条件进行公式变形 ,以及变换过程中表达的换元、逆向使用公式等数学思想方法的熟悉 , 从而加深懂得变换思想 ,提高同学的推理才能 . 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上, 从而使三角函数性质的争论得到延长 . 三角恒等变换不同于代数变换,后者往往着眼于式子结构形式的变换,变换内容比较单一 . 而对于三角变换,不仅要考虑三角函数是结构方面的差异,仍要考虑三角函数式所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,它是一种立体的综合性变换 .从函数式结构、 函数种类、 角与角之间的联系等方面找一个切入点,并以此为依据挑选可以联系它们的适当公式进行转化变形,是三角恒等变换的重要特点 . 三维目标1. 通过经受二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式 想,提高同学的推理才能 . , 体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思2. 懂得并把握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简洁的恒等变形 , 体会三 角恒等变换在数学中的应用 . 3. 通过例题的解答,引导同学对变换对象目标进行对比、分析, 促使同学形成对解题过程中 以及变换过程中表达的换元、逆向使用 如何挑选公式, 如何依据问题的条件进行公式变形,公式等数学思想方法的熟悉,从而加深懂得变换思想,提高同学的推理才能 . 重点难点教学重点： 1. 半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. . 不断提高从2. 三角变换的内容、思路和方法, 在与代数变换相比较中, 体会三角变换的特点教学难点： 熟悉三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,整体上把握变换过程的才能. 课时支配 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1. 我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角函数主要有 以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入帮助角的变换 .前面已经利用诱导公式进行了简洁的恒等变换,本节将综合运用和 进行更加丰富的三角恒等变换 . 思路 2. 三角函数的化简、 求值、 证明,都离不开三角恒等变换（差）角公式、 倍角公式. 学习了和角公式, 差角公式,倍角公式以后, 我们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和敏捷, 同时也为培育和提高我们的推理、运算、 实践才能供应了宽阔的空间和进展的平台 . 对于三角变换 , 由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异 , 而且仍会有所包含的角 , 以及这些角的三角函数种类方面的差异, 因此三角恒等变换常常第一查找式子所_精品资料_ 包含的各个角之间的联系, 并以此为依据挑选可以联系它们的适当公式, 这是三角式恒等变第 1 页,共 16 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 换的重要特点 . 推动新课新知探究提出问题 与 a 有什么关系 . 2如何建立 cos 与 sin 2 a 之间的关系？2sin 2 a2 = 1 cos2 a ,cos 2 a =2 1 cos2 a ,tan 2 a =2 11 coscos aa 这三个式子有什么共同特点？通过上面的三个问题,你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗 . 证明 1sin cos = 1 sin + +sin - ; 22sin +sin =2sin cos . 2 2并观看这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：老师引导同学联想关于余弦的二倍角公式 cos =1-2sin 2 a , 将公式中的 用 a 代替 ,2 2解出 sin 2 a 即可 . 老师对同学的争论进行提问,同学可以发觉： 是 a 的二倍角 . 在倍角公2 2式 cos2 =1-2sin 2 中, 以 代替 2 , 以 a 代替 , 即得 cos =1-2sin 2 a , 2 2所以 sin2 a = 1 cos a . 2 2在倍角公式 cos2 =2cos 2 -1 中, 以 代替 2 , 以 a 代替 , 即得2cos =2cos 2 a -1, 2所以 cos 2 a = 1 cos a . 2 2将两个等式的左右两边分别相除 , 即得tan 2 a = 1 cos a . 2 1 cos a老师引导同学观看上面的式,可让同学总结出以下特点：1 用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数; . . 提2 由左式的“ 二次式” 转化为右式的“ 一次式” 即用此式可达到“ 降次” 的目的老师与同学一起总结出这样的特点, 并告知同学这些特点在三角恒等变形中将常常用到醒 学 生 在 以 后 的 学 习 中 引 起 注 意 . 同 时 仍 要 强 调 , 本 例 的 结 果 仍 可 表 示为:sina =±21cosa ,cosa =±21cosa ,tana =±21cos a, 并称之为半角公式221cos a 不要求记忆 , 符号由a 所在象限打算 . 2老师引导同学通过这两种变换共同争论归纳得出：对于三角变换, 由于不同的三角函数式不_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 16 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 仅会有结构形式方面的差异,而且仍有所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此, 三角恒等变换常常先查找式子所包含的各个角间的联系,并以此为依据, 挑选可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点 . 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换 . 对于问题：（ 1）假如从右边动身, 仅利用和 （差）的正弦公式作绽开合并,就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能,把两个三角式结构形式上的不同点作为摸索的动身点,引导同学摸索,哪些公式包含 sin cos 呢？想到 sin + =sin cos +cos sin .从方程角度看这个等式,sin cos ,cos sin 分别看成两个未知数 . 二元方程要求得确定解,必需有 2 个方程,这就促使同学考虑仍有没有其他包含 sin cos 的公式,列出sin - =sin cos -cos sin 后,解相应的以 sin cos ,cos sin 为未知数的二元一次方程组,就简洁得到所需要的结果 . （2）由（ 1）得到以和的形式表示的积的形式后,解决它的反问题,即用积的形式表示和的形式,在思路和方法上都与（1）没有什么区分. 只需做个变换,令 + = , - = ,就 =2, =2, 代入 1 式即得 2 式. 证明 : 1 由于 sin + =sin cos +cos sin , sin - =sin cos -cos sin , 将以上两式的左右两边分别相加 , 得sin + +sin - =2sin cos , 即 sin cos = 1 sin + +sin - . 22 由1, 可得 sin + +sin - =2sin cos . 设 + = , - = , 那么 = , = . 2 2把 , 的值代入,即得 sin +sin =2sin2cos2. 老师给同学适时引导,指出这两个方程所用到的数学思想, 可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想, 如把 + 看作 , - 看作 , 从而把包含 , 的三角函数式变换成 , 的三角函数式 . 另外 , 把 sin cos看作 x,cos sin 看作 y, 把等式看作x,y 的方程 , 通过解方程求得x, 这就是方程思想的表达. 争论结果： 是a 的二倍角 . 2sin2a =1-cos 21cosa . 2略 见活动） . 应用示例思路 1 例 1 化简 :1sinxcosx. 1sinxcosx活动： 此题考查公式的应用,利用倍角公式进行化简解题. 老师提示同学留意半角公式和倍_精品资料_ 角公式的区分,它们的功能各异,本质相同,具有对立统一的关系. 第 3 页,共 16 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解: 原式 =2sin2x2sinxcos x2cos x22sinxsin x2cos x2cosx 2x 2=tanx . 2. 2 x2 x2 x22 cos2 sin2cossin222点评： 此题是对基本学问的考查,重在让同学懂得倍角公式与半角公式的内在联系变式训练化简:sin50 ° 1+ 3 tan10 ° .1 3解: 原式=sin50 °1 3 sin 10sin 50 2 2 cos 102 sin 10 cos 10 cos 10sin 30 cos 10 cos 30 sin 10=2sin50 ° 2cos 10=2cos40° 2 sin 40 sin 80 cos 10=1. cos 10 cos 10 cos 10例 2 已知 sinx-cosx= 1 , 求 sin 3x-cos 3x 的值 . 2活 动 ： 教 师 引 导 学 生 利 用 立 方 差 公 式 进 行 对 公 式 变 换 化 简 , 然 后 再 求 解 . 由 于a-b 3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3aba- b, a 3-b 3=a-b 3+3aba-b. 解完此题后 , 老师引导学生深挖本例的思想方法 , 由于 sinx2cosx 与 sinx ± cosx 之间的转化 . 提升同学的运算 . 化简能 力 及 整 体 代 换 思 想 . 本 题 也 可 直 接 应 用 上 述 公 式 求 之 , 即sin 3x-cos 3x=sinx-cosx 3+3sinxcosxsinx-cosx= 11 . 此方法往往适用于 sin 3x± cos 3x 的16化简问题之中 . 解: 由 sinx-cosx=1 , 得sinx-cosx 22=1 , 4. 即 1-2sinxcosx= 1 , sinxcosx=4sin 3x-cos 3x=sinx-cosxsin3 . 82x+sinxcosx+cos2x =1 1+ 23 = 811 . 16点评： 此题考查的是公式的变形、化简、求值, 留意公式的敏捷运用和化简的方法变式训练_精品资料_ 2022年高考浙江卷4,12 已知sin +cos =1 , 且 52 3, 就 cos2的值是第 4 页,共 16 页4_. A B1 求证:cos4Bsin4B1. 答案 :7 25例 1 已知cos4Asincos2Bsin2cos2Asin2A- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 活动：此题可从多个角度进行探究, 由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一样, 只是将A,B 的位置互换了 , 因此应从所给的条件等式入手 , 而条件等式中含有 A,B 角的正、余弦 , 可利用平方关系来削减函数的种类 . 从结构上看 , 已知条件是 a 2+b 2=1 的形式 , 可利用三角代换 . 4 4证明一 : cos2 A sin2 A 1 , cos B sin Bcos 4A2sin 2B+sin 4A2cos 2B=sin 2B2cos +B. cos 4A1-cos 2B+sin 4A2cos 2B=1-cos 2Bcos 2B, 即 cos 4A-cos 2Bcos 4A-sin 4A=cos 2B-cos 4B. cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0. cos 2A-cos 2B 2=0. cos 2A=cos 2B.sin 2A=sin 2B. 4 4cos2 B sin2 B cos 2B+sin 2B=1. cos A sin A2 2证明二 : 令 cos Acos a , sin A=sin , cos B sin B就 cos 2A=cosBcos ,sin 2A=sinBsin . 两式相加 , 得 1=cosBcos +sinBsin , 即 cosB- =1. B- =2k k Z, 即 B=2k + k Z. cos =cosB,sin =sinB. cos2A=cosBcos =cos2B,sin2A=sinBsin =sin2B. , 利用平方关系进cos4Bsin4B4 cosBsin4B=cos2B+sin2B=1. cos2Asin2A2 cosBsin2B点评 : 要善于从不同的角度来观看问题, 本例从角与函数的种类两方面观看行了合理消元 . 变式训练在锐角三角形ABC中,ABC 是它的三个内角, 记 S=11A11B, 求证 :S<1. tantan证明 : S=1tanA1tanB1tan1tanAtanB1tanA 1tanBAtanBtanAtanB又 A+B>90° , 90° >A>90°- B>0° .tanA>tan90 °-B=cotB>0, tanA2tanB>1. S<1.思路 2例 1 证明 1 sin x =tan + x . cos x 4 2活动：老师引导同学摸索,对于三角恒等式的证明,可从三个角度进行推导：左边右边；右边左边； 左边中间条件右边 . 老师可以勉励同学试着多角度的化简推导 . 留意式子左边包含的角为 x, 三角函数的种类为正弦,余弦,右边是半角 x ,三角函数的种类为正2切. _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 16 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解： 方法一：从右边入手,切化弦,得sin x sin cos x cos sin x cos x sin xtan + x = 2 2 4 2 4 2 2 2 , 由左右两边的角4 2 cos x cos cos x sin sin x cos x sin x4 2 2 2 2 2 2 2之间的关系,想到分子分母同乘以 cos x +sin x , 得2 2cos x2 sin x2 21 sin xcos xsin xcos xsin x cos x2 2 2 2方法二：从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,得1 sin x cos2 x sin2 x 2cos2 x sin2 xcos x cos xsin xcos xsin x cos xsin x2 2 2 2 2 2由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母同除以 cos x , 得21 tan x tan tan x2 4 2 =tan + x . 1 tan x 1 tan tan x 4 22 4 2点评： 此题考查的是半角公式的敏捷运用,以及恒等式的证明所要留意的步骤与方法 . 变式训练已知 , 0, 且满意 :3sin 2 +2sin 2 =1,3sin2 -2sin2 =0, 求 +2 的值 . 2解法一 : 3sin 2 +2sin 2 =1 3sin 2 =1-2sin 2 , 即 3sin 2 =cos2 , 3sin2 -2sin2 =0 3sin cos =sin2 , 2+ 2:9sin 4 +9sin 2 cos 2 =1, 即 9sin 2 sin 2 +cos 2 =1, sin 2 = 1 . 0, , sin = 1 . 9 2 3sin +2 =sin cos2 +cos sin2 =sin 23sin 2 +cos 23sin cos =3sin sin 2 +cos 2 =33 1 =1. 3 , 0, , +2 0, 3 . +2 = . 2 2 2解法二 : 3sin 2 +2sin 2 =1 cos2 =1-2sin 2 =3sin 2 , 3sin2 -2sin2 =0 sin2 = 3 sin2 =3sin cos , 2cos +2 =cos cos2 -sin sin2 _精品资料_ =cos 23sin2 -sin 2 3sin cos =0. 2. 第 6 页,共 16 页 , 0,2, +2 0,3. +2 =2- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解法三 : 由已知 3sin2 =cos2 ,3 sin2 =sin2 , 2两式相除 , 得 tan =cot2 , tan =tan2-2 . . 0,2, tan >0. tan2-2 >0. 又 0,2, 2<2-2 <2. 结合 tan2-2 >0, 得 0<2-2 <2. 由 tan =tan2-2 , 得 =2-2 , 即 +2 =2. 例 2 求证 :sina2sin1tan2sincos 2tan2活动：证明三角恒等式, 一般要遵循“ 由繁到简” 的原就, 另外“ 化弦为切” 与“ 化切为弦”也是在三角式的变换中常常使用的方法. 证明 : 证法一 : 左边 =sincoscossin2sin2coscossinsincos=sin2a2 cos22 cosasin212 cosasin21tan2a=右边. 原式成立sin2 cossin22 costan2证法二 : 右边 =1-2 cossin2sin22 cos2a2 cosasin2sin22 cossin2 cos=sinacoscosasinsin 2 cos 2acoscosasinsin=sina sin2 cos 2a=左边. 原式成立 . sin点评： 此题进一步训练同学三角恒等式的变形 才能 . 变式训练, 敏捷运用三角函数公式的才能以及规律推理1. 求证 :1sin4cos41sin4cos4. sin4cos412tan2, 此式右2sin1tan21分析： 运用比例的基本性质, 可以发觉原式等价于1sin4cos4tan边就是 tan2 . 4cos4tan2. 证明 : 原等式等价于1sin1sin4cos4而上式左边_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 16 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - sin41cos42sin2cos 22sin22=2sin2cos2sin2=tan2sin4 1cos42sin2cos222 cos22cos2sin2cos2右边. 上式成立 , 即原等式得证 . 2. 已知 sin =m2sin2 + , 求证 :tan + =1mtan . 2 +1-m1m分析 : 认真观看已知式与所证式中的角, 不要盲目绽开 , 要有的放矢 , 看到已知式中的可化为结论式中的 +与 的和 , 不妨将 + 作为一整体来处理. 证明 : 由 sin =msin2 + sin + - =msin + + sin + cos -cos + sin =m0sin + cos +cos + sin 2sin + cos =1+m2cos + sin tan + =1mtan . 1m知能训练1. 如 sin = 5 , 在其次象限 , 就 tan a 的值为 13 2A.5B.-5C. 1 D. 15 52. 设 5 < <6 ,cos = , 就 sin 等于 2 4A. 1 a B. 1 a C. 1 a D. 1 a2 2 2 23. 已知 sin = 3,3 < < 7 , 就 tan _. 5 2 2解答 : 1.A 2.D 3.-3 课堂小结1. 先让同学自己回忆本节学习的数学学问 : 和、差、倍角的正弦、 余弦公式的应用 , 半角公式、代数式变换与三角变换的区分与联系 . 积化和差与和差化积公式及其推导 , 三角恒等式与条件等式的证明 . 2. 老师画龙点睛总结: 本节学习了公式的使用, 换元法 , 方程思想 , 等价转化 , 三角恒等变形的基本手段 . 作业课本习题 3.2 B 组 2. 设计感想1. 本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、 和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简洁的恒等变换 . 在解题过程中,应留意对三角式的结构进行分析,依据结构特点挑选合适公式,进行公式变形 . 仍要摸索一题多解、一题多变,并体会其中的一些数学思想,如换元、方程思想,“1” 的代换,逆用公式等 . 2. 在近几年的高考中,对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主,突出对求值的考查 . 特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视,其中遇到对符号的判定是常常出问题的地_精品资料_ 方,同时要留意结合诱导公式的应用,应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方. 考试大第 8 页,共 16 页纲对本部分的详细要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式,体会向量方法的作用.- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、 正切公式, 二倍角的正弦、 余弦、正切公式,明白它们的内在联系,能运用上述公式进行简洁的恒等变换 .第 2 课时导入新课思路 1. 问题导入 三角化简、求值与证明中,往往会显现较多相异的角,我们可依据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问 题 获 得 解 决 , 如 ： = + - , 2 = + + - = + - ,4 4+ =- 等,你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨绽开 . 4 2 4思 路 2. 复 习 导 入 前 面 已 经 学 过 如 何 把 形 如 y=asinx+bcosx 的 函 数 转 化 为 形 如y=Asin x+ 的函数,本节主要争论函数 y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质 . 三角函数和代数、几何学问联系亲密,它是争论其他各类学问的重要工具. 高考题中与三角函数有关的问题,大都以恒等变形为争论手段 . 三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不行缺少的解题技巧,要学会创设条件敏捷运用三角公式,把握运算,化简的方法和技能 . 推动新课新知探究提出问题三角函数 y=sinx ,y=cosx 的周期 , 最大值和最小值是多少？函数 y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？三角变换在几何问题中有什么应用？活动：老师引导同学对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回忆,我们知道正弦函数,余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质. 而且正弦函数,余弦函数_精品资料_ 的周期都是2k （kZ 且 k 0）,最小正周期都是2 . 三角函数的定义与变化时,会对其第 9 页,共 16 页周期性产生肯定的影响,例如,函数y=sinx的周期是 2k （k Z 且 k 0）,且最小正周期是 2 ,函数 y=sin2x的周期是k （k Z 且 k 0）,且最小正周期是 . 正弦函数,余弦函数的最大值是1,最小值是 -1 ,所以这两个函数的值域都是-1 ,1. 函数 y=asinx+bcosx=a2b2（a2ab2sinxa2bb2cosx）, a2ab22a2bb221 从而可令a2ab2cos,a2bb2sin , 就有 asinx+bcosx=a2b2（sinxcos +cosxsin ）=a2b2sin （x+ ） . 因此,我们有如下结论：asinx+bcosx=a2b2sin （x+ ）,其中 tan =b . 在以后的学 a习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题. 我们知道角的概念起源于几何图形,从而使得三角函数与平面几何有着亲密的内在联系. 几何中的角度、长度、面积等几何问题,常需借助三角函数的变换来解决,通过三角变换来解决几何中的有关问题,是一种重要的数学方法. 争论结果： y=sinx , y=cosx 的周期是 2k （k Z 且 k 0）,最小正周期都是2 ；最大- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 值都是 1,最小值都是 -1. 略 见活动 . 应用示例思路 1 例 1 如图 1, 已知 OPQ是半径为 1, 圆心角为 的扇形 ,C 是扇形弧上的动点 ,ABCD是扇形的内3接矩形 . 记C OP= , 求当角 取何值时 , 矩形 ABCD的面积最大 .并求出这个最大面积 . 活动： 要求当角 取何值时,矩形 ABCD的面积 S 最大,先找出 S 与 之间的函数关系,再求函数的最值 . 找 S 与 之间的函数关系可以让同学自己解决,得到：S=AB2BC=cos 3sin sin =sin cos -3sin 2 . 3 3求这种 y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值,应先降幂,再利用公式化成 Asin x+ 型的三角函数求最值 . 老师引导同学摸索：要求当角 取何值时 , 矩形 ABCD的面积 S 最大 , 可分两步进行 : 图 1 1 找出 S与 之间的函数关系 ; 2 由得出的函数关系 , 求 S 的最大值 . 解: 在 Rt OBC中,BC=cos ,BC=sin , 在 Rt OAD中, DA =tan60° = 3 , OA所以 OA= 3 DA= 3 BC= 3 sin . 3 3 3所以 AB=OB-OA=cos 3sin . 3设矩形 ABCD的面积为 S, 就_精品资料_ S=AB2BC=cos 3sin sin =sin cos 3 3sin23第 10 页,共 16 页3=1 sin2 + 23 cos2 -63 = 61 33 sin2 + 21 cos2 -26=1 sin2 + 36-3 . 6- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 由于 0< <3, 所以当 2 +6=2, 即 =6时,S最大=1-3 = 63 . 63因此 , 当 = 时, 矩形 ABCD的面积最大 , 最大面积为 3 . 6 6点 评 ： 可 以 看 到 , 通 过 三 角 变 换 , 我 们 把 形 如 y=asinx+bcosx 的 函 数 转 化 为 形 如y=Asin x+ 的函数 , 从而使问题得到简化 . 这个过程中蕴涵了化归思想 . 此题可引申即可以去掉“ 记C OP= ” , 结论改成“ 求矩形ABCD的最大面积” , 这时,对自变量可多一种选择,如设 AD=x,S=x1x23x, 尽管对所得函数仍临时无法求其最大值,但能