2022年有理数知识点及经典题型总结讲义 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导一对一七年级数学老师辅导讲义课题第 1 讲有 理 数授课时间：备课时间： 1 、把握有理数的分类 , 学会把有理数对应的点画在数轴上；教学目标 2 、把握相反数、肯定值、倒数的求法, 会比较有理数的大小； 3 、把握有理数的大小比较； 4 、把握有理数的加减乘除幂的运算法就,并会敏捷解题；教学内容一、正数和负数正数和负数的概念负数：比 0 小的数正数：比 0 大的数 0既不是正数,也不是负数留意 ：字母 a 可以表示任意数,当a 表示正数时, -a 是负数；当 a 表示负数时, -a 是正数；当 a 表示 0 时,-a 仍是 0；（假如出判定题为：带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如 +a,-a 就不能做出简洁判定）正数有时也可以在前面加“+”,有时“+” 省略不写；所以省略“+” 的正数的符号是正号；2. 具有相反意义的量 如正数表示某种意义的量,就负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如：零上 8表示为： +8；零下 8表示为： -8 3.0 表示的意义 0 表示“没有” ,如教室里有 0 个人,就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线,0 既不是正数,也不是负数；练习一 例1、向北走 2000米与向南走 1000米,如规定向北走为正,就向北走 2000米可记作,向南走 1000 米记作,原地不动课记作 例2、七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成果为 85 分,一名同学以平均成果为标准,超过平均分记正,将五名同学的成果分别记作学的实际成果分别是多少分？15 分, 4 分, 0 分, 4 分,15 分；这五名同例3、观看下面依次排列的一列数,请接着写出后面的数,你能说出第15 个、第 101 个、第 2022 个的数是什么？1）、 1、2、+3、 4、5、+6、7、 8、 2）、 1、1 、 3、21 、 5、41 、 7、61 、8、 易错点：1）误认为凡带正号的数就是正数,误认为凡带负号的数就是负数例：a 肯定是正数吗？2）对于“0” 的含义懂得不精确1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导例：以下说法错误选项（）、0 是偶数 D、海拔 0 米表示没有海拔A、0 是自然数 B、0 是整数 C二、有理数1. 有理数的概念 正整数、 0、负整数统称为整数（ 0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数 正整数, 0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数；懂得 ：只有能化成分数的数才是有理数； 是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数；有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数；留意 ：引入负数以后, 奇数和偶数的范畴也扩大了, 像-2,-4,-6,-8 也是偶数, -1,-3,-5 也是奇数；2. 有理数的分类 有理数的意义分类按正、负来分正整数（0 不能忽视）正整数整数 0 正有理数正分数负整数有理数有理数 0 负整数正分数分数负有理数负分数负分数总结： 正整数、 0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、 0 统称为非正整数 正有理数、 0 统称为非负有理数 负有理数、 0 统称为非正有理数练习二 例 1、把以下各数填在相应的集合内：1 ,4 错误. 未找到引用源；,-3 ,2,-1 ,-0.58 ,0,-3.14 ,错误 . 未找到引用源；,0.618 ,10 整数集合： 分数集合： 非负数集合： 例 2、以下说法正确选项（）A 有理数分为正数和负数 B 有理数 -a 肯定表示负数C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数数轴 数轴的概念 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴；留意 ：数轴是一条向两端无限延长的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一 不行；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是依据实际需要规定的；2. 数轴上的点与有理数的关系 全部的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左 边的点表示, 0 用原点表示；全部的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与 数轴上的点不是一一对应关系； （如,数轴上的点 不是有理数）3. 利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大；正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于负数；两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小；4. 数轴上特别的最大（小）数 最小的自然数是 0,无最大的自然数；1,无最大的正整数；最小的正整数是 最大的负整数是 -1 ,无最小的负整数 5.a 可以表示什么数 a>0 表示 a 是正数；反之, a 是正数,就 a>0；a<0 表示 a 是负数；反之, a 是负数,就 a<0 a=0 表示 a 是 0；反之, a 是 0, ,就 a=0 6. 数轴上点的移动规律 依据点的移动,向左移动几个单位长度就减去几,向右移动几个单位长度就加上几,从而得到所需的 点的位置；练习三3例 1、请画出一条数轴,并且在数轴上标出下面的有理数：3,-2 ,-3.5 ,2,0,+2,0.5.例 2、如下列图,在数轴上,点 A,B,C,D 依次表示 1.5 ,-2 ,2,-2.5 ；说出各点与原点的位置关系以 及与原点的距离是多少个单位长度？DBACA 表示的数为（）-3-2-1012 1.53-2.5例 3、如图,数轴上所标出的点中,相邻两点间的距离相等,就点A、30 B、50 C、60 D、80 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导例 5、如图,数轴的一部分被墨水污染,被污染的部分内含有的整数为_ 例 6、文具店、书店和玩具店一次坐落在一条笔直的东西走向的大街上,文具店位于书店西边 20m处,玩具店位于书店东边 100m处；小明从书店沿街向东走了 40m,接着又向东走了 60m,你知道此时小明 的位置在哪吗？例 7、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如下列图,求abc的值0baabcc四、相反数 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0 的相反数是 0；留意：相反数是成对显现的；相反数只有符号不同,如一个为正,就另一个为负；0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0；2. 相反数的性质与判定 任何数都有相反数,且只有一个；0 的相反数是 0；互为相反数的两数和为0,和为 0 的两数互为相反数,即a,b 互为相反数,就 a+b=0 3. 相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数；互为相反数的两个数,在数轴上的对应点（ 0 除外）在原点两旁,并且与原点的距离相等；0 的相反数对应原点；原点表示0 的相反数；说明 ：在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称；4. 相反数的求法求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“- ” 即可求得（如： 5 的相反数是 -5 ）；求多个数的和或差的相反数是, 要用括号括起来再添 “ - ”,然后化简（如；5a+b 的相反数是 -（5a+b）；化简得 -5a-b ）；求前面带“- ” 的单个数,也应先用括号括起来再添“- ”,然后化简 如：-5 的相反数是 - （-5 ）,化简得 5 5. 相反数的表示方法 一般地,数 a 的相反数是 -a ,其中 a 是任意有理数,可以是正数、负数或 0；当 a>0时, -a<0（正数的相反数是负数）当 a<0时, -a>0（负数的相反数是正数）当 a=0时, -a=0,（0 的相反数是 0）考试常考：已知a,b 互为相反数,立马要想到a+b=0. 6. 多重符号的化简 多重符号的化简规律 : “ +” 号的个数不影响化简的结果,可以直接省略；“ - ” 号的个数打算最终化简4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导结果；即：“ - ” 的个数是奇数时,结果为负, “ - ” 的个数是偶数时,结果为正；如. 314152 25练习四1例 1、有理数3 的相反数是（）1 1（A）3（B）3（C）3 （D） 3 例 2、a 的相反数是, -a 的相反数是, 0 的相反数是例 3、如 a 和 b 互为相反数,就 a+b= 例 4、假如 a b 0,那么a,b两个实数肯定是（）A.都等于 0 B. 一正一负 C. 互为相反数 D. 互为倒数例 5、假如a与 1 互为相反数,就| a 2| 等于（）A2 B2 C1 D1五、肯定值肯定值的几何定义一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的肯定值,记作 |a| ；2. 肯定值的代数定义一个正数的肯定值是它本身；一个负数的肯定值是它的相反数；0 的肯定值是 0. 可用字母表示为：假如 a>0,那么 |a|=a ；假如 a<0,那么 |a|=-a ；假如 a=0,那么 |a|=0 ；可归纳为： a0,< > |a|=a （非负数的肯定值等于本身；肯定值等于本身的数是非负数；）a0,< > |a|=-a （非正数的肯定值等于其相反数；肯定值等于其相反数的数是非正数；）3. 肯定值的性质任何一个有理数的肯定值都是非负数,也就是说肯定值具有非负性；所以,a 取任何有理数,都有 |a|0；即 0 的肯定值是 0；肯定值是 0 的数是 0. 即：a=0 < > |a|=0 ；一个数的肯定值是非负数,肯定值最小的数是 0. 即：|a| 0；任何数的肯定值都不小于原数；即：|a| a；肯定值是相同正数的数有两个,它们互为相反数；即：如|x|=a （a>0）,就 x=± a；互为相反数的两数的肯定值相等；即：|-a|=|a| 或如 a+b=0,就|a|=|b|；肯定值相等的两数相等或互为相反数；即：|a|=|b|,就 a=b 或 a=-b；如几个数的肯定值的和等于 0,就这几个数就同时为 0；即|a|+|b|=0,就 a=0且 b=0；（非负数的常用性质：如几个非负数的和为 0,就有且只有这几个非负数同时为 0）4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小；利用肯定值比较两个负数的大小：两个负数比较大小,肯定值大的反而小；异号两数比较大小,正5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导数大于负数；5. 肯定值的化简当 a0 时, |a|=a ；当 a0 时, |a|=-a 6. 已知一个数的肯定值,求这个数一个数 a 的肯定值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离,一般地,肯定值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,肯定值为 0 的数是 0,没有肯定值为负数的数；例 1. 已知 a=5, b=8, 且 a+b= -a+b, 试求 a+b 的值；练习 2. 已知 a=5, b=8, 且 ab = -ab, 试求 a+b的值；有理数的加减法 1. 有理数的加法法就 同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加；肯定值不相等的异号两数相加,取肯定值较大的加数的符号,并用较大的肯定值减去较小的肯定值；互为相反数的两数相加,和为零；一个数与零相加,仍得这个数；2. 有理数加法的运算律 加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： a+b+c=a+b+c 在运用运算律时,肯定要依据需要敏捷运用,以达到化简的目的,通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加“ 相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“ 同号结合法”；分母相同的数先相加“ 同分母结合法”；几个数相加得到整数,先相加“ 凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“ 同形结合法”；3. 加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0 后的和等于原数；即：当 b>0时, a+b>a 当 b<0 时,a+b<a 当 b=0时, a+b=a 4. 有理数减法法就 减去一个数,等于加上这个数的相反数；用字母表示为：a-b=a+-b ；5. 有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中,依据有理数减法法就,可以将减法转化成加法后,再依据加法法就进行 运算；在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式；如：-8+-7+-6+5=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“ 负 6 8、负 7、负 6、正 5 的和”名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导按运算意义读作“ 负 8 减 7 减 6 加 5”6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：. 把符号相同的加数相结合（同号结合法） -33-18+-15-+1+23 原式 =-33+18+-15+-1+23 （将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）=-33-15-1+18+23 （把符号相同的加数相结合）=-49+41 （凑整法）（运用加法法就一进行运算）=-8 （运用加法法就二进行运算）. 把和为整数的加数相结合 +6.6+-5.2-3.8+-2.6-+4.8 原式 =+6.6+-5.2+3.8+-2.6+-4.8 （将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）=6.6-2.6+-5.2-4.8+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法就进行运算）=7.8-10 （把符号相同的加数相结合,并进行运算）=-2.2 （得出结论）. 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）-3 -51 + 23 -42 + 51 -271 + 23 -47 88原式 =-3 -52 +-51 + 21 =-1 81 8=-1+0-. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） +0.125-33 +-3 41 -10 82 -+1.25 3原式 =+ 1 +3 3 +-3 1 +108 4 8= 1 +3 3 -3 1 +10 2 -1 18 4 8 3 4=3 3 -1 1 + 1 -3 1 +10 24 4 8 8 32 +-1 31 4=21 -3+10 223=-3+13=10 16. 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）-31+10 56 -12 111 +4 227157 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导原式 =-3+10-12+4+-1 + 57 + 156 -111 22=-1+4 + 151122=-1+8 + 301530= -7 30. 分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9 +66-67-68+69 原式 =2-3-4+5+6-7-8+9+ +66-67-68+69 =0 . 先拆项后结合（1+3+5+7 +99）- （2+4+6+8 +100）有理数的乘除法 1. 有理数的乘法法就法就一：两数相乘,同号得正,异号得负,并把肯定值相乘；乘” 的情形,假如因数超过两个,就必需运用法就三）法就二：任何数同 0 相乘,都得 0；（“ 同号得正,异号得负” 专指“ 两数相法就三：几个不是 0 的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数；负因数的个数是奇数时,积是负数；法就四：几个数相乘,假如其中有因数为 0, 就积等于 0. 2. 倒数乘积是 1 的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·1 =1（a 0）,就是 a说 a 和1 互为倒数,即 a 是 a1 的倒数,a1 是 a 的倒数；a留意 ：0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数,负数的倒数是负数；（求一个数的倒数,不转变这个数的性质）；倒数等于它本身的数是 1 或-1, 不包括 0；考试常常考：已知 a,b 互为倒数,立马要想到 ab=1. 例 2. 已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的肯定值为 5试求下式的值：x2abcdab1998cd19993. 有理数的乘法运算律8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导乘法交换律：一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等；即 ab=ba 乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等；即 abc=abc. 乘法安排律：一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加；即 ab+c=ab+ac 4. 有理数的除法法就（1）除以一个不等 0 的数,等于乘以这个数的倒数；（2）两数相除,同号得正,异号得负,并把肯定值相除；0 除以任何一个不等于0 的数,都得 0 5. 有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最终求出结果；（2）有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,就依据先乘除,后加减的次序进行；练习 3. 快速运算（1 331561 -减法没有结合律 . （2）3 2 -除法没有结合律 . 54（3）6084 -除法没有安排律 . （4）62 1 -同一级运算时肯定要从左向右. 3有理数的乘方 1. 乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂；在an中, a 叫做底数, n 叫做指数；2. 乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数；（2）正数的任何次幂都是正数,0 的任何正整数次幂都是0；9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导练习 4：运算：2232+1n122）2223221 202233练习 5 n 为正整数时,1 n的值是（A2 B-2 C0 D不能确定 2.已知x2y420,求xy练习 6：1. 运算：1242148的值；练习 7：观看以下算式发觉规律：717,7249,73343,742401,7516807,76117649, ,用你所发觉的规律写出：72022的末位数字是 _；练习 8：某校初一年级共有8 个班,以每班 65 人为标准, 超过的人数记为正数, 不足的人数记为负数,统计情形记录如下： -1 ,-6 ,+2,-3 ,+4,0,-7 ,+3,求该校初一年级总人数；有理数的混合运算做有理数的混合运算时,应留意以下运算次序：1. 先乘方,再乘除,最终加减；2. 同级运算,从左到右进行；3. 如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行；科学记数法把一个大于 10 的数表示成 如: 地球上的陆地面积约为an 10 的形式（其中1a10, n 是正整数）,这种记数法是科学记数法；149 000 000km2,用科学记数法表示为；第 1 讲作业一填空题1 7 的相反数为 _,相反数等于本身的数为 _2已知 x =3 2, y =1 2,且 xy>0,就 xy=_10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导3x 与 21 的差为1,就 x=_2 2 4近似数 1.50 精确到 _,78950 用科学记数法表示为 _5按规律写数1,1,1,1, 第 6 个数是 _2 4 8 16 二、挑选题1. 以下说法正确选项（）A. 最小的有理数是 0；B. 最大的负整数是 1；C. 最小的自然数是 1；D. 最小的正数是 1. 2. 以下说法正确选项（）A. 两个有理数的和为零,就这两个有理数都为 0；B. 两个有理数的和肯定大于其中任何一个加数；C. 两个有理数的和为正数,就这两个数中至少有一个加数是正数；D. 两个有理数的和为负数,就这两个数肯定都是负数 . 3. 以下说法正确选项（）A. 一个正数减去一个负数,结果是正数；B. 零减去一个数肯定是负数；C. 一个负数减去一个负数,结果是负数；D. “ 23” 读作“ 负 2 减负 3”4. 以下说法正确选项（） A. n 个有理数相乘,当因数是奇数个时,积为负； B. n 个有理数相乘,当正因数有奇数个时,积为负； C. n 个有理数相乘,当负因数有奇数个时,积为负； D. n 个有理数相乘,当积为负时,负因数有奇数个 . ）5. 以下说法正确选项（A. 相反数是本身的数是 1 和 0；B. 倒数是本身的数是 1 和 0；C. 肯定值是 本身的数是 0 和正数；D. 平方等于 64 的数是 8. 6、已知字母 a 、 b表示有理数,假如 a +b =0,就以下说法正确选项（）A . a 、 b中肯定有一个是负数 B. a、 b 都为 0 C. a 与 b不行能相等 D. a与 b 的肯定值相等7、一个数的平方为 16,就这个数是（）A. 4或 4 B. 4 C. 4 D. 8或 8 8、肯定值大于 2 且小于 5 的全部整数的和是（）A. 7 B. 7 C. 0 D. 5 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导310、4 等于（）A12 B. 12 C. 64 D. 6411、数轴上的点 A、B、C、D分别表示数 a、b、c、d,已知 A 在 B 的右侧, C 在 B 的左侧, D 在 B、C之间,就以下式子成立的是（）A、a<b<c<d B、b<c<d<a C、c<d<b<a D、c<b<d<a 12、如 x 为有理数,就 x x 必是（）A、非正数 B、非负数 C、0 D、正数13、以下各语句中正确选项（）A、如 a>-0.5 ,就 a 是正数 B、如 a <0,就 a aC、如 a b,就 a b D、如 a b,就 a b14、a,b,c 三个数在数轴上的位置如下列图,就以下结论中错误选项（）A、a+b<0 B、a+c<0 C、a-b>0 D、b-c< 三、运算1、55.+532.72 .54.8 2、82510.0215、11 3 、36 42961232 5 、 2 1 +321 6 2、82 34 3187、1111111123243100099912 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导四、解答题1假如 a 、 b 互为相反数, c 、 d 互为倒数,y1没有倒数,x1的肯定值等于 2那么代数式2 |ab|cdy1ab1的值是多少？请你求出来的值；x2、已知| a2|与|b3|互为相反数,求3 a2 b3、已知a、b、c均为非零的有理数,且abc1,求abc 的值；abcabc4“” 代表一种新运算,已知abab,求 xy 的值其中 x 和 y 满意方程x12|13y| 0ab2五、 某地探空气球的气象观测资料说明,高度每增加1 千米,气温大约降低6；如该地地面温度为21,高空某处温度为 39,求此处的高度是多少千米？六、 找规律：以下数中的第 2003 项是多少？ 2004 项呢？第 n 个呢？ 1,2,3,4,5, 6· · ·· · ·13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一对一个性辅导七、 下表记录的是流花河今年某一周内的水位变化情形,上周末（星期六）的水位已达到戒备水位 33 米；（正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于戒备水位之上仍是之下？与上周末相比 , 本周末河流的水位是上升了仍是下降了？以戒备水位作为零点,用折线统计图表示本周的水位情形；水位变化（米）星期日一二三四五六水位变化0.2 +0.8 -0.4 +0.2 +0.3 -0.5 -0.2 （米）解：1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 日一 二 三四 五 六星期14 名师归纳总结 - 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