2022年函数的奇偶性及周期性.docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第六节 函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性假如对于函数定义图象特点偶函数fx的定义域内任意一个x,都有 fxfx,关于 y 轴对称那么函数 fx是偶函数奇函数假如对于函数fx的定义域内任意一个x,都有 fx fx,关于原点对称那么函数 fx是奇函数二、周期性1周期函数对于函数 yfx,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 fxT fx,那么就称函数 yfx为周期函数,称 T 为这个函数的周期2最小正周期假如在周期函数fx的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期课前检测_精品资料_ 1以下函数为偶函数的是 第 1 页,共 13 页Aysin xB yx3x CyeD yln x 21 解析： 选 D四个选项中的函数的定义域都是R.y sin x 为奇函数幂函数yx3 也为奇函数 指数函数ye x为非奇非偶函数令 fxln x 21,得 fxln x21ln x21fx所以 ylnx 21为偶函数2已知 fx ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数,那么ab 的值是 A1B.133C.1 2D1 2解析： 选 B fxax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数,a12a 0, a1 3.又 fxfx,b0, ab1 3. 3已知定义在R 上的奇函数fx,满意 fx4fx,就 f8的值为 A 1 B0 - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - C1 精品资料D2 欢迎下载解析： 选 B fx为奇函数且fx4 fx,f00,T4. f8f00. 4如函数 fxx 2|xa|为偶函数,就实数 a_. 解析： 法一： fxfx对于 xR 恒成立,|xa|xa|对于 xR 恒成立,两边平方整理得 ax0,对于 xR 恒成立,故 a 0. 法二： 由 f1f1,得|a1| |a 1|,故 a0. 答案： 0 5设函数 fxx 3cos x1.如 fa11,就 fa_. 解析： 观看可知, yx3cos x 为奇函数,且faa 3cos a111,故 a3cos a10.就 fa a 3cos a1 101 9. 答案： 9 1.奇、偶函数的有关性质：1定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；2奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然；3如奇函数 fx在 x0 处有定义,就 f0 0；4利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同； 利用偶函数的图象关于 反y 轴对称可知, 偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相2如函数满意fxTfx,由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应留意 nTnZ 且 n 0也是函数的周期一、函数奇偶性的判定_精品资料_ 例 1设 Q 为有理数集,函数fx1,xQ,gxe e x1x1,就函数hx第 2 页,共 13 页1,x.RQ,fx ·gx - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答 当 xQ 时, xQ,fxfx1；当 x.RQ 时, x.RQ,fxex1fx 1.综上,对任意 xR,都有 fxfx,故函数 fx为偶函数gxex11e xe x1xx gx,函数gx为奇函数hxfx ·gxfx ·gx fxgx1e 1ee1 hx,函数 hxfx ·gx是奇函数 h1 f1 ·g1,h1f1 ·g 1e1e11 1e1×,h1 h1,函数 hx不是偶函数e11 1e答案 A 由题悟法利用定义判定函数奇偶性的方法1第一求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；2假如函数的定义域关于原点对称,可进一步判定fx fx或 f x fx是否对定义域内的每一个 x 恒成立 恒成立要赐予证明,否就要举出反例 留意 判定分段函数的奇偶性应分段分别证明 fx与 fx的关系,只有对各段上的 x都满意相同的关系时,才能判定其奇偶性以题试法1判定以下函数的奇偶性1fx1x2x21；2fx 3 x3 x；_精品资料_ 3fx2 4x；|x 3| 3第 3 页,共 13 页4fxx22,x>0,0,x0,x2 2,x<0.- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解： 1由x 210,精品资料欢迎下载得 x±1,1x20,fx的定义域为 1,1 又 f1 f10,f1f10,即 fx±fxfx既是奇函数又是偶函数2fx的定义域为 R,x 3x fx,fx3x3 x 3 所以 fx为奇函数3由4x20,得 2x2 且 x 0. |x3|3 0,fx的定义域为 2,00,2,fx2 4x|x3|32 4xx 3 34x2,xfx fx,fx是奇函数4fx的定义域为R,关于原点对称, 当 x>0 时,fx x 22 x22 fx；当 x<0 时, fxx22 x 2 2 fx；当 x0 时, f0 0,也满意 fx fx故该函数为奇函数二、函数奇偶性的应用_精品资料_ 例 21已知 yfxx 2 是奇函数, 且 f1 1.如 gxfx2,就 g1_. 第 4 页,共 13 页2设偶函数fx在0, 上为减函数,且f20,就不等式f x f x>0 的解集为x A2,02, B, 20,2 C, 2 2, D2,00,2 自主解答 1yfxx2 是奇函数,且x1 时, y2,当x 1 时, y 2,即f112 2,- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载得 f1 3,所以 g 1 f1 2 1. 2fx为偶函数,f x f xx2f x x>0. xfx>0. x>0,或x<0,f x >0f x <0.又 f2f20,fx在0, 上为减函数,故 x0,2或 x , 2答案 112B 本例 2的条件不变, 如 n2 且 nN*,试比较 fn,f1n,fn1,fn1的大小解： fx为偶函数,所以 fnfn,f1nfn 1又函数 y fx在0, 为减函数,且 0<n1<n<n1,fn 1<fn<fn1fn 1<fn<fn1f1 n由题悟法函数奇偶性的应用1已知函数的奇偶性求函数的解析式利用奇偶性构造关于fx的方程,从而可得fx的解析式2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数经常采纳待定系数法：利用 得知字母的值fx ±fx0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可3奇偶性与单调性综合时要留意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反以题试法_精品资料_ 21已知函数 fxx 2x,x0,为奇函数,就a b_. 第 5 页,共 13 页ax2bx, x>02已知定义在R 上的奇函数满意fxx22xx0,如 f3a 2>f2a,就实数 a 的取- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载值范畴是 _解析： 1当 x<0 时,就 x>0,所以 fxx 2x, fxax即 x 2 xax 2bx,所以 a 1,b1,故 ab0. 2bx,而 fx fx,2由于 fxx 22x 在0,上是增函数, 又由于 fx是 R 上的奇函数, 所以函数 fx是 R 上的增函数,要使 f3a 2>f2a,只需 3a 2>2a,解得 3<a<1. 答案： 10 2 3,1 三、函数的周期性及其应用例 3设函数 fx是定义在 R 上的周期为2 的偶函数, 当 x0,1 时,fxx1,就 f32_. 自主解答 依题意得, f2xfx,fxfx,就 f2f 1 2f 1 21 213 2. 答案 3 2由题悟法1周期性常用的结论：对 fx定义域内任一自变量的值 x：1如 fxa fx,就 T2a；12如 fxaf x,就 T2a；3如 fxa1,就 T2a. f x2周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调剂符号作用以题试法3设 fx是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有 fx2 fx当 x0,2时, fx2xx 2. 1求证： fx是周期函数；2当 x2,4 时,求 fx的解析式解： 1证明：fx2 fx,fx 4 fx2fxfx是周期为 4 的周期函数_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2x2,4 ,x 4, 2,4x0,2 ,f4 x24x4 x 2 x 26x8. 又f4xfx fx,fx x 26x 8,即 fxx 26x8,x2,4 课堂练习1以下函数中,既是奇函数又是减函数的是 Ay x3Bysin xCyxDy1x2答案： A _精品资料_ 2设 fx是周期为2 的奇函数,当0x 1 时, fx 2x1x,就 f5 2 第 7 页,共 13 页A1B1241 C. 4D.12解析： 选 A由题意得 f 5 2 f 5 2 f 5 22 f 1 2 2×1 2×111 2. 23已知函数fxx|x| 2x,就以下结论正确选项 Afx是偶函数,递增区间是0, Bfx是偶函数,递减区间是, 1 Cfx是奇函数,递减区间是1,1 Dfx是奇函数,递增区间是, 0 解 析 ： 选C将 函 数fx x|x| 2x 去 掉 绝 对 值 得fx x 22x,x0,x 22x,x<0,画出函数 fx的图象, 如图,观看图象可知, 函数 fx的图象关于原点对称,故函数fx为奇函数,且在1,1上单调递减4已知函数fx|xa|xa|a 0,hxx2 x,x>0,就 fx,hx的奇偶性x2x,x 0,依次为 - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - A偶函数,奇函数精品资料欢迎下载B奇函数,偶函数C偶函数,偶函数 D奇函数,奇函数解析： 选 D fx|xa|xa|xa|xa| fx,故 fx为奇函数画出 hx的图象可观看到它关于原点对称或当 x>0 时,x<0,就 hxx 2x x 2x hx,当 x<0 时 x>0,就 hx x 2x x 2x hxx0 时, h00,故 hx为奇函数5已知函数 fx为定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, fx2 x2xmm 为常数 ,就f1的值为 A 3 B 1 C1 D 3 解析： 选 A 函数 fx为定义在 R 上的奇函数,就 f0 0,即 f02 0m0,解得 m 1. 就 fx2 x2x1,f12 12× 113, f1 f1 3. 6如函数 fx2x1 xa x 为奇函数,就 a A.1 2 B.2 3 C.3 4 D1 解析： 选 Afxx是奇函数,2x1 xaf1 f1,12 1 1a1,21 1aa131a,解得 a1 2. 7已知 fx是偶函数,当x<0 时, fxx 2x,就当 x>0 时, fx_. 解析： x>0, x<0,fxf x x 2xx2x,故 x>0 时, fxx2x. 答案： x2x8.定义在 2,2上的奇函数 fx> x 的解集为 _解析：fx在0,2上的图象如下列图, 就不等式_精品资料_ 依题意,画出y fx与 yx 的图象,如下列图,留意到yfx的第 8 页,共 13 页图象与直线yx 的交点坐标是3,2 3和 2 3, 2 3,结合图象可知,fx>x- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 的解集为2,2 3 0,2 3 . 精品资料欢迎下载答案：2,2 3 0,2R 上的奇函数,其最小正周期为3,且 x 3 2,0 时, fx39已知函数fx是定义在log 23x1,就 f2 011_. 解析： f2 011f3× 6701 f1 f 1 log231 2. 答案： 2 10已知函数fxx2 a xx 0,常数 aR1判定 fx的奇偶性,并说明理由；2如 f12,试判定 fx在2, 上的单调性解： 1当 a0 时, fxx 2,fxfx,函数是偶函数当 a 0 时, fxx 2a xx 0,常数 aR,取 x±1,得 f1f1 2 0；f1f1 2a 0,即 f1 f1 ,f1 f1故函数 fx既不是奇函数也不是偶函数2如 f12,即 1a2,解得 a1,这时 fxx 21 x. 任取 x1,x22 , ,且 x1<x2,就 fx1fx2 x 11 x1 x 21 x2x2x1x1x2x1x2x1x2x1x2 x1x21 x 1x2. 由于 x12,x22,且 x1<x2. _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 故 x1x2<0,x1x2> 1 x1x2,精品资料欢迎下载所以 fx1< fx2,故 fx在2 , 上是单调递增函数x22x, x>0,11已知函数fx0,x0,是奇函数x2mx, x<01求实数 m 的值；2如函数 fx在区间 1,a 2上单调递增,求实数 a 的取值范畴解： 1设 x<0,就 x>0,所以 fx x 22x x 2 2x. 又 fx为奇函数,所以 fx fx,于是 x<0 时, fxx 22xx 2 mx,所以 m 2. 2要使 fx在1,a2上单调递增,结合 fx的图象知a2>1,a21,所以 1a 3,故实数 a 的取值范畴是 1,312已知函数fx是定义在R 上的奇函数,且它的图象关于直线x1 对称1求证： fx是周期为 4 的周期函数；2如 fxx0<x1,求 x5, 4时,函数 fx的解析式解： 1证明：由函数 fx的图象关于直线 x1 对称,得 fx1f1 x,即有 fxfx2R 上的奇函数,又函数 fx是定义在 故有 fx fx故 fx2 fx从而 fx 4 fx2fx,即 fx是周期为 4 的周期函数_精品资料_ 2由函数 fx是定义在R 上的奇函数,有f00. 第 10 页,共 13 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载x1,0时, x0,1,fx fxx,又 f00,故 x 1,0时,fx x. x5, 4,x4 1,0,fxfx4x4. 从而, x5, 4时,函数 fxx4. 课后练习1设 fx是奇函数, 且在 0, 内是增函数, 又 f30,就 x·fx<0 的解集是 A x|3<x<0,或 x>3 B x|x<3,或 0<x<3 C x|x<3,或 x>3 D x|3<x<0,或 0<x<3 解析： 选 D由 x·fx<0,x>0,f x <0,得x<0,或f x >0而 f30,f30,即x<0,或x>0,f x >f 3f x <f 3 ,所以 x·fx<0 的解集是 x|3<x<0,或 0<x<3 _精品资料_ 2 设fx 是 定 义 在R上 且 周 期 为2的 函 数 , 在 区 间 1,1 上 , fx 第 11 页,共 13 页ax1, 1x0,其中 a,bR.如 f 1 2f 3 2,就 a3b 的值为 _bx2 x1,0x1,解析： 由于 fx是定义在R 上且周期为2 的函数,所以f 3 2f 1 2,且 f1f1,故 f 1 2f 1 2,从而1 2b 211 2a1,3a2b 2. 21由 f1f1,得 a1b2,故 b 2a.2- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载由得 a2,b 4,从而 a3b 10. 答案： 10 3已知函数 fx的定义域是 0, ,且满意 fxyfxfy,f1 21,假如对于 0<x<y,都有 fx>fy,1求 f1；2解不等式 fxf3x 2. 解： 1令 xy1,就 f1f1 f1, f10. 2fxf3x2f1 2,f1,fxf2f3xf 1 20f1, f x 2f 3x 2f x 2·3xf1,2x>0,就 3x>0,解得 1x<0. x 2·3x2 1,故不等式的解集为 1,0才能提升1已知 fx, gx分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 fxgx12 x,就 f1,g0,g1之间的大小关系是 _解析： 在 fxgx1 2 x中,用 x 替换 x,得 fxgx2 x,由于 fx,gx分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以fx fx,gxgx,因此得 fxgx2 x.于是解得fx2 x2x2 x2x,于是 f13 4, g0 1,g 1 5 4,故,gx22f1>g0>g1答案： f1>g0>g1 2关于 y fx,给出以下五个命题：如 f1xf1x,就 yfx是周期函数；如 f1 x f1x,就 yfx为奇函数；_精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 13 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载如函数 yfx1的图象关于 x1 对称,就 yfx为偶函数；函数 yf1x与函数 yf1x的图象关于直线 x1 对称；如 f1 x f1x,就 yfx的图象关于点 1,0对称填写全部正确命题的序号 _解析： 由 f1xf1x可知,函数周期为 2,正确；由 f1x f1 x可知,yfx的对称中心为 1,0,错； yfx1向左平移 1 个单位得 yfx,故 yfx关于 y轴对称,正确；两个函数对称时,令 1x1x 得 x0,故应关于 y 轴对称,错；由f1xf1x得 yfx关于 x1 对称,错,故正确的应是 . 答案： 3已知 fx是偶函数, 且 fx在0, 上是增函数, 假如 fax1fx2在 x1 2, 1上恒成立,求实数 a 的取值范畴解： 由于 fx为偶函数,且在 0, 上为增函数,就在 ,0上为减函数,由 fax1fx2,就 |ax 1| |x2|,又 x1 2,1 ,故 |x2|2x,_精品资料_ 即 x2ax 12x.故 x3ax1x,13 xa1 x1,在 1 2,1 上恒成立第 13 页,共 13 页由于1 x1 min 0, 13max 2,故 2a 0. x- - - - - - -