2022年初三《圆》知识点及定理4.docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高图训练数学教研组卢老师专用四、圆与圆的位置关系无交点dRr ；Rr ；圆学问点及定理外离（图 1）一、圆的概念外切（图 2）有一个交点dRr ；集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；相交（图 3）有两个交点Rrd 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；内切（图 4）有一个交点dRr ； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合内含（图 5）无交点dRr ；轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；dd2（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线RrRr（也叫中垂线） ；图1图 2 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离RddrdRr等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直rR线距离都相等的一条直线；图 3二、点与圆的位置关系图 4图51、点在圆内dr点 C 在圆内；五、垂径定理2、点在圆上dr点 B 在圆上；Ad垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；3、点在圆外dr点 A 在圆外；BrdO推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；三、直线与圆的位置关系C（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧1、直线与圆相离dr无交点；以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2、直线与圆相切dr有一个交点；个即可推出其它3 个结论,即：3、直线与圆相交dr有两个交点； AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论；A推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；rdd=rrd即：在 O 中, AB CDCAOBDCOD弧 AC弧 BDEB_精品资料_ - 1 - 第 1 页,共 4 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高图训练数学教研组卢老师专用ACOBBED即：在 O中,PMOON六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相四边形 ABCD 是内接四边形等,所对的弧相等,弦心距相等；此定理也称1 推 3 定理,CBAD180BD180即上述四个结论中,FDAEC只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,九、切线的性质与判定定理即：AOBDOE ； ABDE ； OCOF ； 弧 BA弧 BDCOC（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行七、圆周角定理即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端1、圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半； MN 是 O 的切线B即：AOB和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）DAOB2ACBC推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；2、圆周角定理的推论：A推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 相等的圆以上三个定理及推论也称二推肯定理：A周角所对的弧是等弧；即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知即：在 O 中,C 、D 都是所对的圆周角BBOC道其中两个条件就能推出最终一个；CBOCDA十、切线长定理推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧切线长定理：BO是半圆,所对的弦是直径；从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相即：在 O 中, AB 是直径或C90A等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： PA 、 PB是的两条切线AC90 AB 是直径 PAPB推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形OCPO平分BPAD是直角三角形；B即：在ABC 中, OCOAOB十一、圆幂定理D ABC 是直角三角形或C90A（1） 相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上条线段的乘积相等；的中线等于斜边的一半的逆定理；PA即：在 O 中,弦 AB 、 CD 相交于点 P , PA PBPC PD八、圆内接四边形（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半OBA圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于是它分直径所成的两条线段的比例中项；E它的内对角；即：在 O 中,直径 ABCD ,_精品资料_ AE- 2 - D第 2 页,共 4 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高图训练数学教研组卢老师专用E- 3 - 行：OD:BD OB1:3 : 2；BOCCE2AE BE（2）正四边形（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比A例中项；D同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAE 中 进 行 ,即：在 O 中, PA是切线, PB 是割线POOE:AE OA1:1:2：PA2PC PBCB（3）正六边形AED（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）；同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在 Rt OAB 中 进 行 ,O即：在 O 中, PB、 PE 是割线AB OB OA1:3 : 2. PC PBPD PEABO十二、两圆公共弦定理十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式A圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；A1、扇形：（1）弧长公式：ln R；S如图：O O 垂直平分 AB ；O1O2180l（2）扇形面积公式：S2 n R1lR即：O 、O 相交于 A 、 B 两点BBCr底面圆周长 B1B3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长O O 垂直平分 ABS：扇形面积十三、圆的公切线AD12、圆柱：AD两圆公切线长的运算公式：CO1（1）圆柱侧面绽开图（1）公切线长：Rt O O C 中,AB2CO 122 O O 2CO 22；O2母线长S 表S 侧2S 底=2rh2r2（2）外公切线长：CO 是半径之差；内公切线长：CO 2C1（2）圆柱的体积：V2 r hBC是半径之和；CA十四、 圆内正多边形的运算（2）圆锥侧面绽开图OR（1）正三角形Rt BOD 中进O在 O 中ABC 是正三角形,有关运算在（1） S 表S 侧S 底=Rrr2BD_精品资料_ AB第 3 页,共 4 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高图训练数学教研组卢老师专用例 1 如图 23-11 ,CA为 O的切线,切点为A,点 B在 O上,假如 CAB55° ,那（2）圆锥的体积：V12 r h3十六、圆中常见的帮助线 1）作半径,利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距,利用垂径定理进行证明或运算,或利用“ 圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明3）作半径和弦心距,构造由“ 半径、半弦和弦心距” 组成的直角三角形进行运算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5 作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6 遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角7 遇到切线,作过切点的半径,构造直角么 AOB等于 A35°B90°C110°D120°例 2 假如圆柱的底面半径为4cm,母线长为5cm,那么侧面积等于 A B CD例 3 如图 23-12 ,在半径为4 的 O中, AB、CD是两条直径, M8 欲证直线为圆的切线时,分两种情形：1 如知道直线和圆有公共点时,常连结为 OB的中点,延长CM交 O于 E,且 EM>MC,连结 OE、DE,公共点和圆心证明直线垂直；2 不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂求： EM的长例 4 如图 23-13 ,AB是 O的直径, PB切 O于点 B,PA交 O线,证明垂线段的长等于圆的半径9 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10 遇到三角形的内心,常作：1 内心到三边的垂线；2 连结内心和三角形的顶点于点 C,PF分别交 AB、BC于 E、D,交 O于 F、G,且 BE、BD恰好是关于x 的方程11 遇相交两圆,常作：1 公共弦； 2 连心线 其中 m为实数 的两根1 求证： BEBD；12 遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线13 求公切线经常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一 条直角边十七、圆中较特别的帮助线2 如,求 A的度数1 过圆外一点或圆上一点作圆的切线2 将割线、相交弦补充完整3 作帮助圆_精品资料_ - 4 - 第 4 页,共 4 页- - - - - - -