2022年凸函数的性质.docx
_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载凸函数的性质【摘自前苏克拉斯诺西尔斯基等著凸函数与奥尔里奇空间（中译本）】x2通常称函数fx在区间a ,b 内是“下 上 凸函数 ” ,如对于a ,b 内任意两点1x 和01, x 1x2与任意t,都满意“琴生Jesen 不等式 ” f tx 11t x2tfx 11t fx 2或它的特殊情形 取t1f t x 1 1t x 2t f x 1ft f x 2x 1x2 其中 1t 和 2t为正数且t1t21 是2fx 1x 2fx 12x 22在§ 2-7 中曾把它作为下 上凸函数的定义 . ；我们将证明,对于连续函数来说, 不等式 与琴生不等式 是等价的；正由于这样,我们在教科书中就用简洁的不等式 定义了下 上 凸函数（由于我们争论的函数都是连续函数） ；下凸函数简称为 凸函数 ,上凸函数简称为 凹 函数；请读者留意,这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一样的 ；但是,我们的上述称呼与 新近出版的很多教科书或发表的论文中的称呼是一样的；由于函数的“ 上凸” 与“ 下凸” 是对偶的,所以,下面只争论下凸函数的性质；信任读者一 定能够把下面得出的结论,类比到上凸函数上；（一）琴生不等式的几何意义 我们先说明一下琴生不等式的几何意义；如图一,A B C x1 x3 x2 x 图一设x 1x 3x2,就x3x2x3x 1x3x 1x2（依据解析几何中的定比分点公式（*）；2x 2x 1xx 1依据琴生不等式 ,_精品资料_ fx3x2xx 3fx 1x 3tx 1x 1fx2 留意t1x2x3,t2x3x 1 第 1 页,共 4 页x2x 1x2x2x 1x2x 1（*） 区间 , a b 上的点ta1t b 01. - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载从而,得不等式fx3fx 1fx2fx 1fx 2fx 3（基本不等式 ）x 3x 1x 2x 1x2x3它说明 见图一 ,弦 AC 的斜率小于弦 AB 的斜率,而弦 AB 的斜率又小于弦 CB 的斜率；且f（二）凸函数的性质为简洁起见,下面只争论与我们的问题有关的凸函数的性质；性质 1如f x 在区间a ,b 内是下凸函数,就 在每一点xa,b都有左导数fx和右导数fx【因此（*）,凸函数是连续函数】,而xfx； 左导数fx和右导数fx都是单调增大的函数；证设0h 1h 2,并且满意不等式 图二 axh 2xh 1xxh 1xh 2b a x-h2x- h1xx+h1x+h2b x 图二依据基本不等式,就有fxfxh 2fxfxh 1fxh 1fxfxh 2fxh 2h 1h 1h 2考虑函数h（0hxa）h fxfxh依据上述不等式中最左边的不等式,当h0时,函数h 是单增的且有上界,所以有极限lim h 0h =lim h 0fxfxhfx h类似地,依据最右边的,函数 h f x h f x （0 h b x）h当 h 0 时是单减的且有下界,所以有极限lim h 0 h lim h 0 f x hh f x f x 依据中间一个不等式,h h ,再让 h 0,得 f x f x . 证 为证左、右导数都是单调增大的, 譬如证 f x 是单调增大的； 设 x 1 x 2,并取正数h足够小,使····x x 1 x 1 h x 2 h x 2（图三）x1 x1+h x2- h x2依据基本不等式,图三（*）有左导数 f x 说明函数 f x 在点 x 左连续,有右导数 f x 说明函数 f x 在点 x 右连续；_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 4 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载f x 1 h f x 1 f x 2 f x 2 h h h留意到当 h 0 时,左端（关于 h ）是单减的,右端是单增的,所以 f x 1 f x 2 . 再依据上面已证的结论 f x 2 f x 2 ,就得到 f x 1 f x 2 . 假如函数 f x 在区间 a , b 内可微分,依据教科书中的定理 2-3 ,就导数 f x 是增大的 函数 f x 是下凸的；现 在 , 我 们 又 证 明 了 “函 数 f x 是 下 凸 的 导 数 f x 是 增 大 的 ” 注 意 ,f x f x f x ；因此,对于可微函数来说,它是下凸的；依据对偶性, 它是上凸的；性质 2 如 f x 是区间 a , b 内的连续函数,就不等式x 1 x 2 f x 1 f x 2f x 1 x 2 2 2与琴生不等式ftx 11tx2tfx 11tfx2x 1x 2,0t1 是等价的；证明显,在琴生不等式中取t1 2,就是不等式 ；剩下来就是要证明,从不等式 也可以推出琴生不等式 ；为简洁起见,我们只证明其中的情形 “ ” ；事实上,反证法假如琴生不等式 不成立,即至少有一个ftx 11,0和有1x 与x2x 1x2,使ftx 1 1tx 2t 1tfx2作连续 函数 t f tx 1 1 t x 2 tf x 1 1 t f x 2 0 t ,1 x 1 x 2 并记它的最大值为 M ,就 M 0 依据反证法的假设 ；第一假定 M 0,并把函数 t 在区间 0 1, 上取到最大值 M 的最大值点的最小者记为 0t ,就 0 0t 1 由于 0 1 0 ；取正数 足够小,使 t 0 , t 0 0 1,于是对于点x 1 t 0 x 1 1 t 0 x 2 和 x 2 t 0 x 1 1 t 0 x 2就依据不等式 ,即_精品资料_ 可得 留意x 1x22=t0x 1fx 1x 2tfx 12f2x 2t0x 11t0x 2第 3 页,共 4 页2 1t0x 2ft0x 1 1t0x2ft0x 110x2f- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 两端再同时减去t0精品资料欢迎下载Mt0. 重复上面的作法,fx 1 1t0fx2,便得到MMt0t02t0这是不行能的 M ；01,使其次,如M0,依据反证法的假设, 就至少有一点t就得0t tt tM0x1x 1x2x,都有t0,2这也是不行能的00；因此,对于一切0 1,和任意x 与x2即函数fx满意琴生不等式1tfx 20t,12ftx 11tx2tfx 1正由于对于连续函数来说,不等式 与琴生不等式 是等价的,所以我们在教科书中就把简洁的不等式 作为下 上 凸函数的定义 . ；_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 4 页
