2022年抛物线的简单几何性质 .docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 课题2.4.2 抛物线的简洁几授课时间何性质一任课老师教 学 目 标教学重点教学难点教法闵海鹰授课年级高二学问目标把握抛物线的范畴、对称性、顶点、离心率等几何性质才能目标能依据抛物线的几何性质对抛物线方程进行争论,在此基础上列表、描 点、画抛物线图形；德育目标在对抛物线几何性质的争论中,留意数与形的结合与转化抛物线的几何性质及其运用抛物线几何性质的运用探究法 ,讲练结合法 ,讲授使用教具电脑直尺、投影仪、 运算法器一、复习引入：1抛物线定义：教学过程平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做yyylyO图OFxFOxlFxFx形Oll方y22px p0 y22px p0 x22py p0 x22py p0 程焦 p 20, p0, ,0p0,p点222准xpxpypyp线2222抛物线的 焦点 ,定直线 l 叫做抛物线的 准线 2抛物线的标准方程：相同点： 1 抛物线都过原点；2 对称轴为坐标轴；3 准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数肯定值的1 ,即 42pp42不同点： 1图形关于X 轴对称时, X 为一次项, Y 为二次项,方程右端为2px、沈阳市第六十八中学高中教务处制名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 左端为2 y ；图形关于Y 轴对称时, X 为二次项, Y 为一次项,方程右端为2py,左端为x22开口方向在X 轴或 Y 轴正向时,焦点在X 轴或 Y 轴的正半轴上,X 轴或 Y 轴负向时,焦点在X 轴或 Y 轴负半轴时,方方程右端取正号；开口在程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质 1范畴由于 p0,由方程 y 2 2 px p 0 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标 x ,y 满意不等式 x0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时, |y| 也增大,这说明抛物 线向右上方和右下方无限延长2对称性以 y 代 y,方程y22pxp0不变,所以这条抛物线关于x 轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程y22pxp0中,当 y=0 时,x=0,因此抛物线y22pxp0的顶点就是坐标原点4离心率 抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表 示由抛物线的定义可知,e=1对于其它几种形式的方程,列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率yy22pxOFx0 , 0x 轴p,0xpe1p022lyy202pxFOx0 , 0x 轴p,0xpe12p2lx22py0 , 0y 轴,0 p 2ype1p02沈阳市第六十八中学高中教务处制名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - x202py0 , 0y 轴0,pype1p22留意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线 通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异,当抛物线上的点趋向于无 穷远时,抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率,也就是说接近于和 对称轴所在直线平行,而双曲线上的点趋向于无穷远时,它的切线斜率接近于其渐近线 的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明反证法y1yyA0Axy 为假设抛物线y22px 存在渐近线ymxn,Ax,抛物线上一点,OA0x,y1为渐近线上与A 横坐标相同的点如图,就有y2px和 y1 mxny 1ymxn2pxxmn2pxx当 m 0 时,假设 x,就y1y当 m0 时,y1yn2px,当 x,就这与 ymxn 是抛物线 y 三、讲解范例：22px 的渐近线冲突,所以抛物线不存在渐近线例 1 已知抛物线关于x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M,222,求它的标准方程,并用描点法画出图形分析：第一由已知点坐标代入方程,求参数p,222,解：由题意,可设抛物线方程为y22px,由于它过点M所以22 22p2,即p2因此,所求的抛物线方程为y24x2x运算抛物线在x0的范畴内几个点的坐将已知方程变形为y2x,依据y沈阳市第六十八中学高中教务处制名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 标,得x0 1 2 3 4 y0 2 4 描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分点评：在此题的画图过程中,假如描出抛物线上更多的点,可以发觉这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延长,但并不能像双曲线那样无限地接近于某始终线,也就是说,抛物线没有渐近线例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径 60cm,灯深为 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置分析：这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,依据题设条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出 p 值解：如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点 即抛物线的顶点 与原点重合, x 轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程是y22px p 0 3022p40,x由已知条件可得点A 的坐标是 40 ,30 ,代入方程,得即p45Cy4所求的抛物线标准方程为y245xB2例 3 过抛物线y22px的焦点 F 任作一条直线m,交这HOE F抛物线于 A、B 两点,DA求证：以 AB为直径的圆和这抛物线的准线相切分析：运用抛物线的定义和平面几何学问来证比较简捷证明：如图设 AB的中点为 E,过 A、E、B 分别向准线 l 引垂线 AD,EH, BC,垂足为 D、H、C,就AF AD, BF BC AB AF BF AD BC 2 EH所以 EH是以 AB为直径的圆E 的半径,且EHl ,因而圆 E 和准线 l 相切四、课堂练习 ：1过抛物线 y 2 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A x 1, y 1,B x 2, y 2 两点,假如x 1 x 2 6,那么 | AB = B A 10 B8 C 6 D4 2 已知 M 为抛物线 y 2 4 x 上一动点,F 为 抛物线的焦点,定点 P 3 , 1, 就| MP | | MF | 的最小值为B A 3 B4 C5 D6 3过抛物线 y ax 2 a 0 的焦点F作直线交抛物线于 P 、Q 两点,假设线段 PF 、QF沈阳市第六十八中学高中教务处制名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的长分别是p 、 q ,就11= C pqA2 aB1C4 aD42 a a4过抛物线 y 2 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,就弦 AB 的中点的轨迹方程是_ 答案：y 2 2 x 1 3 的线段 AB 的端点 A 、B 在抛物线 y 2x 上移动,求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标答案：M 5, 2 , M 到 y 轴距离的最小值为 5 4 2 4五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业 ：1依据以下条件,求抛物线的方程,并画出草图1顶点在原点,对称轴是 x 轴,顶点到焦点的距离等于 82顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过 P4,2点3顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上点 Pm, 3到焦点距离为 52过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B两点,假设 A、B 在准线上的射影是 A2,B2,就 A2FB2等于3抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y 轴垂直的弦长为16,求抛物线方程4以椭圆x2y21的右焦点, F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭5圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶4 米时,水面宽40 米,当水面下降1 米时,水面宽是多少米？习题答案：11y 2± 32x2x28y3x2 8y290°3x 2± 16 y44 5520 5 米七、板书设计 略八、课后记：作业布置 习题沈阳市第六十八中学高中教务处制名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 板书设计 2.4.2 抛物线的简洁几何性质一抛物线的几何性质 1范畴 2对称性 3顶点 4离心率教学反思沈阳市第六十八中学高中教务处制名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
