2022年概率论知识点总结 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点概率论学问点总结第一节基本概念第一章随机大事及其概率随机试验 ：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（ 2）多结果性（ 3）不确定性的试验或观看称为随机试验,简称为试验,常用 E 表示；随机大事 ：在一次试验中,可能显现也可能不显现的事情（结果）称为随机大事,简称为事件；不行能大事 ：在试验中不行能显现的事情,记为；多点集必定大事 ：在试验中必定显现的事情,记为； . 样本点 ：随机试验的每个基本结果称为样本点,记作样本空间 ：全部样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用 表示 . 一个随机大事就是样本空间的一个子集；基本领件单点集,复合大事一个随机大事发生,当且仅当该大事所包含的一个样本点显现；大事的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系 ：如大事 A 发生必定导致大事 B 发生,就称 B 包含 A,记为 B A 或 A B；相等关系 ：如 B A 且 A B,就称大事 A 与大事 B 相等,记为 A B；大事的和 ：“ 大事 A 与大事 B 至少有一个发生”是一大事,称此大事为大事 A 与大事 B 的和大事；记为 AB；大事的积 ：称大事 “大事 A 与大事 B 都发生 ”为 A 与 B 的积大事,记为 A B 或 AB ；大事的差 ：称大事 “ 大事 A 发生而大事 B 不发生”为大事 A 与大事 B 的差大事 ,记为 A B；用交并补可以表示为 A B A B；互斥大事 ：假如 A,B 两大事不能同时发生,即 AB ,就称大事 A 与大事 B 是互不相容大事或互斥大事；互斥时 A B 可记为 AB；对立大事 ：称大事 “ A不发生 ”为大事 A 的对立大事（逆大事） ,记为 A ；对立大事的性质：A B , A B；大事运算律：设 A, B,C 为大事,就有（1）交换律： AB=B A,AB=BA （2）结合律： ABC=A BC=A BC ABC=ABC=ABC （3）安排律： ABCABAC AB CABAC= ABAC （4）对偶律（摩根律） ：ABABABAB其次节大事的概率概率的公理化体系：（1）非负性： PA 0；（2）规范性： P 1 名师归纳总结 （3）可数可加性：A 1A 2A n两两不相容时第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P A 1A 2A nP名师总结A 2精品学问点A nA 1PP概率的性质：（1）P 0 （2）有限可加性：A 1A 2A 1PA n两两不相容时nP A 1A 2A nPA2P A当 AB= 时 PABPA PB（3）PA 1PA （4）PABPA PAB （5）P（A B） PAPB PAB 第三节 古典概率模型1、设试验 E 是古典概型 , 其样本空间义大事 A 的概率为PA kn 由 n 个样本点组成 ,大事 A 由 k 个样本点组成 .就定2、几何概率：设大事 A 是 的某个区域,它的面积为 A,就向区域 上随机投掷一点,该点落在区域 A 的概率为 P A A 假如样本空间 可用一线段,或空间中某个区域表示,就大事 A 的概率仍可用上式确定,只不过把 懂得为长度或体积即可 . 第四节 条件概率条件概率：在大事 B 发生的条件下,大事 A 发生的概率称为条件概率,记作 PA|B. P AB P A | B P B 乘法公式： PAB=PBPA|B PAPB|A 全概率公式：设A 1,A 2,A n是一个完备大事组,就PB= P iA PB|iA A、贝叶斯公式：设A 1,A 2,A n是一个完备大事组,就P A i|B P A iBPA iP B|A ijP BPAjPB|A第五节大事的独立性两个大事的相互独立：如两大事A 、B 满意 PAB= PA PB ,就称 A、 B 独立,或称B 相互独立 . 三个大事的相互独立：对于三个大事A、B、C,如 PAB= PA PB,PAC= PAPC ,PBC= PB PC ,PABC= PA PBPC ,就称 A、B、C 相互独立名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三个大事的两两独立：对于三个大事名师总结精品学问点,PAC= PAPC ,A、B、C,如 PAB= PA PBPBC= PB PC ,就称 A 、 B、C 两两独立独立的性质：如A 与 B 相互独立,就A 与 B,A 与 B , A 与 B 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有亲密的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色；2.乘法公式、 全概公式、 贝叶斯公式在概率论的运算中常常使用,应坚固把握； 3.独立性是概率论中的最重要概念之一,应正确懂得并应用于概率的运算；其次章 一维随机变量及其分布其次节 分布函数分布函数：设 X 是一个随机变量,x 为一个任意实数,称函数 F x P X x 为 X 的分布函数；假如将 X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 Fx 的值就表示 X 落在区间 , x 内的概率分布函数的性质： （1）单调不减； （2）右连续；（3）F 0 , F 1第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设 kx k=1,2, 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值,称P X x k p k 为离散型随机变量 X 的分布律,也称概率分布 . 当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时,常用表格形式表示分布律；分布律的性质： （1）0pk1；（2）p k1离散型随机变量的概率运算：（1）已知随机变量kX 的分布律,求X 的分布函数；Fx P Xx P xk（2）已知随机变量x kxX 的分布律 , 求任意随机大事的概率；（3）已知随机变量X 的分布函数,求X 的分布律P XxkFxFx k0三种常用离散型随机变量的分布：1.（01）分布：参数为p 的分布律为P X1p,P X0 1p0 ,1,2 ,n；例如2.二项分布：参数为n,p 的分布律为P XkCkpk1p nk,knn 重独立重复试验中,大事A 发生的概率为p,记 X 为这 n 次试验中大事A 发生的次数,就 X B（ n,p）k名师归纳总结 3.泊松分布： 参数为 的分布率为P Xk k.e,k0,1,2 ,；例如记 X 为某段事第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点件内电话交换机接到的呼叫次数,就 XP（ ）第四节 连续型随机变量连续型随机变量概率密度 fx 的性质（1）fx 0（2）P fxdx1,P Xa b afxdxX0bP aXb bfxdxa（3）b aXP aXP aa（4）fx Fx,Fxxfxdx连续型随机变量的概率运算：（1）已知随机变量X 的密度函数,求X 的分布函数；Fxxfxdxfxdxa （2）已知随机变量X 的分布函数,求X 的密度函数；fxFx b（3）已知随机变量X 的密度函数 , 求随机大事的概率；P aXb a（4）已知随机变量X 的分布函数,求随机大事的概率；PaXb Fb F三种重要的连续型分布：1匀称分布：密度函数fx1aeaxb,记为XUa ,b. b0else2. 指数分布：密度函数fx exx0 0,记为 XE（ ）0x3. 正态分布：密度函数fx 1x222,记为XN,22N（0,1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,然后再运算概率a. P aXb F b F ab第五节随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型： 查找分布函数间的关系,再求导得到密度函数间的关系；留意分段函数情形可能需要争论,得到的结果也可能是分段函数；名师归纳总结 FYy P Yy P gXyP XGyFGy 第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点第三章 多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的联合分布函数y ,表示随机点落在以（x ,y）为顶点的左下无穷联合分布函数Fx,yP Xx ,Y矩形区域内的概率；联合分布函数的性质：（1）分别关于 x 和 y 单调不减；（2）分别关于 x 和 y 右连续；（3）F - , y = 0,F x ,- =0,F- ,- = 0 F + ,+ = 1yjujpij11；P x ,y DDfx ,y dxdy其次节二维离散型随机变量联合分布律：P Xxi,Y联合分布律的性质：pij0；p iji第三节二维连续性随机变量xf,v du dxdy联合密度：Fx ,yydv联合密度的性质：fx,y0；fx ,y第四节边缘分布R2二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘,对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数,在求导求出边缘密度第六节 随机变量的独立性 独立性判定：（1）如X ,Y取值互不影响,可认为相互独立；Yy（2）依据独立性定义判定Fx,yFXxF离散型可用p ijp ipj连续型可用fx,yfXxfYy 独立性的应用： （1）判定独立性； （2）已知独立性,由边缘分布确定联合分布名师归纳总结 第四章随机变量的数字特点EXkxkp k,EgXkgxkpkdx第 5 页,共 6 页离散型随机变量数学期望的运算连续型随机变量数学期望的运算EXxfx dx,EgXgx fx - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方差的运算：DXEXEX2名师总结E精品学问点2X,DXX2E数学期望的性质（1）E C = C （2）E CX = CE X （3）E X + Y = E X + E Y （4）当 X ,Y 独立时, E X Y = E X E Y 方差的性质（1）D C = 0 （2）D CX = C2DX D X ± Y = D X + D Y （3）如X ,Y 相互独立,就常见分布的数学期望和方差 两点分布,二项分布,泊松分布,匀称分布,正态分布,指数分布名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页