数值分析插值法.ppt

上页上页下页下页在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数y=f(x)在区间在区间a,b中互异的中互异的n+1个个xi(i=0,1,.,n)处处的值的值yi=f(xi)(i=0,1,.,n),需要构造一个需要构造一个简单易简单易算的函数算的函数P(x)作为作为y=f(x)的近似表达式的近似表达式 y=f(x)P(x),使得使得P(xi)=f(xi)=yi (i=0,1,.,n)这类问题就称为这类问题就称为插值问题插值问题，P(x)称为称为插值函数插值函数，P(x)一般取最简单又便于计算得函数。一般取最简单又便于计算得函数。第第2章章 插插 值值 法法上页上页下页下页x0 x1x2x3x4xP(x)f(x)f(x)y=f(x)P(x),使得使得P(xi)=f(xi)=yi (i=0,1,.,n)其它点其它点P(x)f(x)=y上页上页下页下页2.1.1插值问题插值问题设设y=f(x)是区间是区间a,b 上的一个实函数上的一个实函数,xi(i=0,1,.,n)是是a,b上上n+1个互异实数个互异实数,已知已知y=f(x)在在xi 的值的值 yi=f(xi)(i=0,1,.,n),求一个求一个次数不超次数不超过过n的多项式的多项式Pn(x)使其满足使其满足Pn(xi)=yi (i=0,1,.,n)(5-1)这就是这就是多项式插值问题多项式插值问题.2.1 引言引言上页上页下页下页其中其中Pn(x)称为称为f(x)的的n次插值多项式次插值多项式,f(x)称为称为被插函被插函数数,xi(i=0,1,.,n)称为称为插值节点插值节点,(xi,yi)(i=0,1,n)称为称为插值点插值点,a,b称为称为插值区间插值区间,式式(5-1)称为称为插值插值条件条件。从几何意义来看从几何意义来看,上上述问题就是要求一条多述问题就是要求一条多项式曲线项式曲线y=Pn(x),使它使它通过已知的通过已知的n+1个点个点(xi,yi)(i=0,1,n),并用并用Pn(x)近似表示近似表示f(x).上页上页下页下页即即 P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn其中其中ai为实数，就称为实数，就称P(x)为为插值多项式插值多项式，相应的插，相应的插值法称为值法称为多项式插值多项式插值，若，若P(x)为分段的多项式，就为分段的多项式，就称为称为分段插值分段插值，若，若P(x)为三角多项式为三角多项式,就称为就称为三角插三角插值值，本章只讨论插值多项式与分段插值。，本章只讨论插值多项式与分段插值。本章主要研究如何求出本章主要研究如何求出插值多项式插值多项式，分段插值分段插值函数函数，样条插值函数样条插值函数；讨论插值多项式；讨论插值多项式P(x)的的存在存在唯一性唯一性、收敛些收敛些及及误差估计误差估计等。等。上页上页下页下页定理定理1设节点设节点xi(i=0,1,n)互异互异,则满足插值条则满足插值条件件Pn(xi)=yi (i=0,1,.,n)的次数不超过的次数不超过n的的多项多项式存在且唯一式存在且唯一.证证设所求的插值多项式为设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (5-2)则由插值条件式则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1,.,n)可得可得关于关于系数系数a0,a1,an的线性代数方程组的线性代数方程组2.1.2插值多项式的存在性和唯一性插值多项式的存在性和唯一性上页上页下页下页此方程组有此方程组有n+1个方程个方程,n+1个未知数个未知数,其系数行列式是其系数行列式是范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式：行列式：（5-3）由克莱姆法则知方程组由克莱姆法则知方程组(5-3)的解存在唯一的解存在唯一.证毕。证毕。上页上页下页下页考虑最简单、最基本的插值问题考虑最简单、最基本的插值问题.求求n次插值多项式次插值多项式l i(x)(i=0,1,n),使其满足使其满足插值条件插值条件2.2.1基函数基函数可知可知,除除xi点外点外,其余都是其余都是li(x)的零点的零点,故可故可设设Lagrange法法1736-18132.2 拉格朗日插值拉格朗日插值上页上页下页下页其中其中A为常数为常数,由由li(xi)=1可得可得称之为称之为拉格朗日基函数拉格朗日基函数,都是都是n次多项式次多项式。上页上页下页下页n=1时的时的一次基函数一次基函数为为:y1 Ox y1O x上页上页下页下页即已知函数即已知函数 f(x)在点在点x0和和x1点的函数值点的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性函数求线性函数 L(x)=a0+a1x使满足条件：使满足条件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此为两点线性插值问题此为两点线性插值问题上页上页下页下页或用或用直线的两点式表示为：直线的两点式表示为：插值基函数的特点插值基函数的特点：x0 0 x1 1l0 01 10 0l1 10 01 11x0 x1l0 0l1 1记记上页上页下页下页n=2时的时的二次基函数二次基函数为为:上页上页下页下页可知其满足可知其满足2.2.2拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数利用拉格朗日基函数l i(x),构造次数构造次数不超过不超过n的多项式的多项式称为称为拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性再由插值多项式的唯一性,得得特别地特别地,当当n=1时又叫时又叫线性插值线性插值,其几何意义其几何意义为过两点的直线为过两点的直线.当当n=2时又叫时又叫抛物（线）插值抛物（线）插值,其几何意义为过三点的抛物线其几何意义为过三点的抛物线.上页上页下页下页注意注意:(1)对于插值节点对于插值节点,只要求它们互异只要求它们互异,与大小次序无关与大小次序无关;以以xi(i=0,1,n)为插值节点为插值节点,函数函数f(x)1作插值作插值多项式多项式,由插值多项式的唯一性即得由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性基函数的一个性质质(2)插值基函数插值基函数l i(x)仅由插值节点仅由插值节点xi(i=0,1,n)确确定定,与被插函数与被插函数f(x)无关无关;(3)插值基函数插值基函数l i(x)的顺序与插值节点的顺序与插值节点xi(i=0,1,n)的顺序一致的顺序一致.上页上页下页下页这是因为若取这是因为若取(x)=xk(k=0,1,n),由插值多项式的由插值多项式的唯一性有唯一性有特别当特别当k=0k=0时时,就得到就得到上页上页下页下页所以所以例例1 已知已知用线性插值用线性插值(即一次插值多项即一次插值多项式式)求求的近似值。的近似值。基函数分别为基函数分别为:解解插值多项式为插值多项式为()上页上页下页下页例例2求过点求过点(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的抛物线插值的抛物线插值(即即三次插值多项式三次插值多项式).解解以以以为节点的基函数以为节点的基函数分别为分别为:上页上页下页下页则拉格朗日的三次插值多项式为则拉格朗日的三次插值多项式为上页上页下页下页截断误差截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)也称为也称为n n次次LagrangeLagrange插值多项式的余项插值多项式的余项。以下为。以下为拉格朗日余项定理拉格朗日余项定理。定理定理2设设f(x)在区间在区间a,b上存在上存在n+1阶导数阶导数,xia,b(i=0,1,n)为为n+1个互异节点个互异节点,则对任则对任何何xa,b,有有2.2.3插值余项插值余项且与且与x有关有关)上页上页下页下页证证由插值条件和由插值条件和 n+1(x)的定义的定义,当当x=xk时时,式子显式子显然成立然成立,并且有并且有 n+1(xk)=0(k=0,1,n),这表明这表明x0,x1,xn都是函数都是函数 n+1(x)的零点的零点,从而从而 n+1(x)可表示可表示为为其中其中K(x)是是待定函数待定函数。对于对于任意固定的任意固定的x a,b,x xk,构造自变量构造自变量t 的的辅助函数辅助函数上页上页下页下页由式由式 n+1(xk)=0和式和式Ln(xk)=yk(k=0,1,n),以以及及可知：可知：x0,x1,xn和和x 是是(t)在区间在区间a,b上的上的n+2个互异零点个互异零点,因此根据罗尔因此根据罗尔(Rolle)定理定理,至少存在至少存在一点一点 =(x)(a,b),使使即即所以所以上页上页下页下页一般来说一般来说,外推比内插效果差外推比内插效果差,在估计误差时下列在估计误差时下列不等式很有用。不等式很有用。上页上页下页下页的抛物插值多项式的抛物插值多项式,且计算且计算f(3)的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。例例3设设解解插值多项式为插值多项式为上页上页下页下页因为因为故故于是于是另见书另见书p29的例的例1.上页上页下页下页用二次插值计算用二次插值计算ln11.25ln11.25的近似值的近似值,并估计误差并估计误差.例例4 给定函数表给定函数表解解 取节点取节点x x0 0=10,x=10,x1 1=11,x=11,x2 2=12,=12,作二次插值有作二次插值有ln11.25ln11.25 L L2 2(11.25)(11.25)上页上页下页下页在区间在区间10,1210,12上上lnx lnx 的三阶导数的上限的三阶导数的上限M M3 3=0.002,=0.002,可得误差估计式可得误差估计式实际上实际上,ln11.25=2.420368,ln11.25=2.420368,|R|R2 2(11.25)|=0.000058.(11.25)|=0.000058.上页上页下页下页2.3.1均差及其基本性质均差及其基本性质定义定义1称称为为f(x)在在x0、x1点的点的一阶均差一阶均差.一阶均差的均差一阶均差的均差(差差商商)称为函数称为函数f(x)在在x0、x1、x2点的点的二阶均差二阶均差.英英1642-17272.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式上页上页下页下页一般地，一般地，n-1阶均差的均差阶均差的均差 称为称为f(x)在在x0,x1,xn点的点的n 阶均差阶均差。差商的计算步骤与结果可列成差商的计算步骤与结果可列成均差表均差表，如下，如下 一般一般f(xi)称为称为f(x)在在xi点的点的零阶均差零阶均差，记作，记作fxi。上页上页下页下页表表5-1（均差表）（均差表）上页上页下页下页给出节点给出节点x x0 0,x,x1 1,x,xn n和函数值和函数值(x(x0 0),),(x(x1 1),),(x(xn n),),可按如下的差商表顺序逐次可按如下的差商表顺序逐次计算各阶差商值计算各阶差商值.上页上页下页下页这一性质可以用数学归纳法证明，这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节它表明均差与节点的排列次序无关点的排列次序无关，即，即fx0,x1,x2,.,xn=fx1,x0,x2,.,xn=fx1,x2,.,xn,x0 性质性质1均差可以表示为函数值的线性组合，即均差可以表示为函数值的线性组合，即称之为称之为均差的对称性（也称为对称性质）均差的对称性（也称为对称性质）。上页上页下页下页性质性质2由性质由性质1立刻得到立刻得到或或上页上页下页下页性质性质3n次多项式次多项式f(x)的的k阶阶差商差商,当当k n时是一个时是一个n-k次多次多项式项式;当当kn时恒等于时恒等于0.性质性质4若若f(x)在在a,b上存在上存在n阶导数阶导数,且节点且节点x0,x1,xna,b,则至少存在一点则至少存在一点 a,b满足下式满足下式例例1f(x)=6x8+7x510,求求f 1,2,9及及f 1,2,10.解解f(8)(x)=68!,f 1,2,9=-6,f(9)(x)=0,f 1,2,10=0.上页上页下页下页2.3.2牛顿插值多项式牛顿插值多项式设设x是是a，b上一点，由一阶均差定义得上一点，由一阶均差定义得同理，由二阶均差定义同理，由二阶均差定义如此继续下去，可得一系列等式如此继续下去，可得一系列等式得得得得上页上页下页下页依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得上页上页下页下页其中其中上页上页下页下页可见可见,Nn(x)为次数不超过为次数不超过n 的多项式的多项式,且易知且易知Rn(xi)=0即即Nn(xi)=yi,(i=0,1,n)满足插值条件满足插值条件,故其为插值问题的解故其为插值问题的解,Nn(x)称为称为牛顿牛顿插值多项式插值多项式。Rn(x)称为称为牛顿型插值余项牛顿型插值余项。上页上页下页下页由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的是等价的,即即Ln(x)Nn(x)且有如下且有如下递推形式递推形式和和余项公式余项公式由此即得性质由此即得性质4。且。且上页上页下页下页例例1已知已知f(x)=shx的数表的数表,求二次牛顿插值多项式求二次牛顿插值多项式,并并由由此计算此计算f(0.596)的近似值。的近似值。解解由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为上页上页下页下页又又可得过前四点的三次牛顿插值多项式可得过前四点的三次牛顿插值多项式故故可得可得N3(x)的截断误差的截断误差上页上页下页下页设函数设函数y=f(x)在在等距节点等距节点xi=x0+ih(i=0,1,n)上的函数值为上的函数值为fi=f(xi)(h为为步长步长)定义定义2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1分别称为函数分别称为函数f(x)在点在点xi处的处的一阶向前差分一阶向前差分和和一阶向一阶向后差分后差分。一般地一般地,f(x)在点在点xi 处的处的m 阶向前差分阶向前差分和和m 阶向阶向后差分后差分分别为分别为 mfi=m-1fi+1-m-1fi 和和 mfi=m-1fi-m-1fi-12.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值2.4.1差分及其性质差分及其性质上页上页下页下页构造构造差分表差分表5-2上页上页下页下页容易证明，差分有如下容易证明，差分有如下基本性质基本性质性质性质1各阶差分均可用函数值表示各阶差分均可用函数值表示.即即且有等式且有等式 nfi=nfi+n.上页上页下页下页性质性质3均差与差分的关系式为均差与差分的关系式为性质性质2函数值均可用各阶差分表示函数值均可用各阶差分表示.即即且有差分与微商的关系式为且有差分与微商的关系式为差分的其它性质参看本章差分的其它性质参看本章p59习题习题8，9，10，11.上页上页下页下页代入牛顿插值公式代入牛顿插值公式,可得可得称为称为牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式，其，其余项余项为为插值节点为插值节点为xi=x0+ih(i=0,1,n),如果要计算如果要计算x0附附近点近点x 处的函数值处的函数值f(x),可令可令x=x0+th(0 t n)2.4.2等距节点差值公式等距节点差值公式上页上页下页下页类似地类似地,若计算若计算xn 附近的函数值附近的函数值f(x),可令可令x=xn+th (-n t 0)，可得，可得牛顿向后插值公式牛顿向后插值公式及其及其余项余项上页上页下页下页例例2设设y=f(x)=ex,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多项用三次插值多项式求式求f(1.2)及及f(2.8)的近似值的近似值.解解相应的函数值及差分表如下相应的函数值及差分表如下:上页上页下页下页求求f(1.2)用用牛顿前插公式牛顿前插公式,且由且由1.2=1+0.5t,得得t=0.4上页上页下页下页求求f(2.8)用用牛顿后插公式牛顿后插公式,且由且由2.8=3+0.5t,得得t=-0.4求求f(1.8)呢呢?上页上页下页下页2.5.1三次埃尔米特插值多项式三次埃尔米特插值多项式设设y=f(x)是区间是区间a,b上的实函数上的实函数,x0,x1是是a,b上相异两点上相异两点,且且x0 x1,y=f(x)在在xi上的函数值和一阶导数值分别为上的函数值和一阶导数值分别为yi=f(xi)(i=0,1)和和mi=f (xi)(i=0,1),求三次多项式求三次多项式H3(x),使其使其满足：满足：H3(x)称为称为三次埃尔米特插值多项式三次埃尔米特插值多项式。法法1822-19012.5 埃尔米特埃尔米特(Hermite)插值插值上页上页下页下页构造三次埃尔米特插值多项式如下构造三次埃尔米特插值多项式如下:定理定理3满足条件式满足条件式的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。上页上页下页下页由由可将它写成可将它写成上页上页下页下页上页上页下页下页即即插值点的插值点的Lagrange一次基函数一次基函数.上页上页下页下页可得满足条件的可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式三次埃尔米特插值多项式为为上页上页下页下页定理定理4设设f(x)在包含在包含x0、x1的区间的区间a,b内存在四阶内存在四阶导数，则当导数，则当xa,b时有时有余项余项设设则当则当x(x0,x1)时时,余项有如下估计式（余项有如下估计式（误差限误差限）2.5.2误差估计误差估计且与且与x有关有关)上页上页下页下页例例2已知已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表及其一阶导数的数据见下表,用埃尔用埃尔米特插值公式计算米特插值公式计算1251/2的近似值的近似值,并估计其截断误差并估计其截断误差.解解上页上页下页下页得得由由可求得可求得上页上页下页下页2.6 分段低次插值分段低次插值先看下面的例子先看下面的例子 对对(x)=(1+25x2)-1,在区间在区间-1,1上取等距节点上取等距节点xi=-1+ih,i=0,1,10,h=0.2,作作(x)关于节点关于节点xi(i=0,1,10)的的10次插值多项式次插值多项式L10(x),如图所示如图所示上页上页下页下页xyo1-10.511.5y=L10(x)这个现象被称为这个现象被称为Runge现象现象.表明高次插值的不稳定性表明高次插值的不稳定性.实际上实际上,很少采用高于很少采用高于7次的插值多项式次的插值多项式.上页上页下页下页2.6.1分段线性插值分段线性插值求一个分段函数求一个分段函数P(x),使其满足使其满足:(1)P(xi)=yi (i=0,1,.,n);(2)在每个子区间在每个子区间xi，xi+1上是线性函数上是线性函数.称满足上述条件的函数称满足上述条件的函数P(x)(1)为为分段线性插值函数分段线性插值函数.上页上页下页下页分别作线性插值得分别作线性插值得,在每个子区间在每个子区间xi，xi+1已知已知或或上页上页下页下页由线性插值的误差即得分段线性插值在区间由线性插值的误差即得分段线性插值在区间xi,xi+1上的上的余项估计式余项估计式为为因此因此,在插值区间在插值区间a,b上有余项上有余项上页上页下页下页2.6.2分段抛物线插值分段抛物线插值(2)在每个子区间在每个子区间xi-1,xi+1上，上，L(x)是次数不超过是次数不超过2的的多项式多项式.称满足上述条件的函数称满足上述条件的函数L(x)为为分段抛物线插值函数分段抛物线插值函数.(1)L(xi)=yi (i=0,1,.,n);对对求一个分段函数求一个分段函数L(x),使其满足使其满足:即将区间即将区间a,b分为小区间分为小区间xi-1,xi+1(i=1,2,n)上页上页下页下页2.6.3分段三次分段三次Hermite插值插值已知已知求一个分段函数求一个分段函数H(x),使其满足使其满足:(2)在每个子区间在每个子区间xi,xi+1上，上，H(x)是次数不超过是次数不超过3的的多项式多项式.称满足上述条件的函数称满足上述条件的函数H(x)为为分段三次分段三次Hermite插值插值函数函数.上页上页下页下页或或xi，xi+1上上得在每个子区间得在每个子区间由由上页上页下页下页分段三次埃尔米特插值在区间分段三次埃尔米特插值在区间xi,xi+1上上的的余项估计式余项估计式为为因此，因此，在插值区间在插值区间a,b上有余项上有余项上页上页下页下页例例3构造函数构造函数f(x)=lnx在在1x10上的数表上的数表,应如何应如何选取步长选取步长h,才能使利用数表进行分段插值时误差不才能使利用数表进行分段插值时误差不超过超过0.510-4。解解欲使欲使即进行分段线性插值时，应取即进行分段线性插值时，应取h210-2，误差不超，误差不超过过0.510-4。上页上页下页下页欲使欲使即进行分段三次埃尔米特插值时即进行分段三次埃尔米特插值时,应取应取误差不超过误差不超过0.510-4。上页上页下页下页2.7.1问题的提出问题的提出定义定义给定区间给定区间a,b的一个划分的一个划分a=x0 x1xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,n),如果函数如果函数S(x)满足：满足：(1)S(xi)=yi(i=0,1,n);(2)在每个小区间在每个小区间xi,xi+1(i=0,1,.,n-1)上是次数上是次数不超过不超过3的多项式的多项式;(3)(3)在每个内节点在每个内节点xi(i=1,2,.,n-1)上具有上具有二阶二阶连续导数连续导数,(4)则称则称S(x)为关于上述划分的一个为关于上述划分的一个三次多项式样三次多项式样条条(5)函数函数，简称，简称三次样条三次样条。2.7 三次样条插值三次样条插值上页上页下页下页 S(x)在每个小区间在每个小区间xi,xi+1上是一个次数不超上是一个次数不超过过3的多项式的多项式,因此需确定因此需确定四个待定常数四个待定常数,一共有一共有n个小区间个小区间,故应故应确定确定4n个系数个系数,S(x)在在n-1个内节点个内节点上上具有二阶连续导数，应满足条件具有二阶连续导数，应满足条件即有即有3n-3个连续条件，再加上个连续条件，再加上S(x)满足的插值条件满足的插值条件n+1个，共计个，共计4n-2个，因此还需要个，因此还需要2个条件才能确定个条件才能确定S(x)，通常补充两个，通常补充两个边界条件边界条件。上页上页下页下页2.7.2三弯矩方程三弯矩方程Mi来求来求S(x)的方法称为的方法称为三弯矩法三弯矩法。为参数为参数,这种通过这种通过确定确定设设在在xi,xi+1上是一次多项式上是一次多项式,且可表示且可表示为为对对积分两次并利用积分两次并利用S(xi)=yi和和S(xi+1)=yi+1定出积定出积分常数得分常数得上页上页下页下页对对S(x)求导得求导得上页上页下页下页所以所以(i=1,2,.,n-1)由由上页上页下页下页得得其中其中上页上页下页下页由公式由公式1.边界条件边界条件为为得得上页上页下页下页即即上页上页下页下页从中解出从中解出Mi(i=0,1,.,n)得三次样条得三次样条S(x).上页上页下页下页从中解出从中解出Mi(i=1,2,.,n-1)得得三次样条三次样条S(x)。2、边界条件、边界条件为为已知已知上页上页下页下页3、周期函数、周期函数M0=Mn上页上页下页下页整理得整理得其中其中上页上页下页下页从中解出从中解出Mi(i=1,2,.,n),得三次样条得三次样条S(x).上页上页下页下页2.7.3 2.7.3 三转角方程三转角方程用分段用分段埃尔米特插值埃尔米特插值，得到，得到S(x)在在上上S(x)的表达式为的表达式为设设为参数，这种通过为参数，这种通过确确定定m mi i 来求来求S(x)的方法叫的方法叫三转角法三转角法。上页上页下页下页所以所以同理同理上页上页下页下页其中：其中：同三弯矩方程一样，有三种条件同三弯矩方程一样，有三种条件：1 1、已知已知(6-42)由由S(x)二阶连续可微，即二阶连续可微，即上页上页下页下页2、已知已知由由可得可得由由可得可得则方程组化为：则方程组化为：上页上页下页下页于是有于是有)(,(446121-=niL即矩阵形式为：即矩阵形式为：上页上页下页下页3、已知已知则有：则有：上页上页下页下页上页上页下页下页则其则其I型和型和II型三次样条插值函数以及导数的型三次样条插值函数以及导数的误差有如下估计式误差有如下估计式设设f(x)在在a，b上有直到四阶的连续导数，上有直到四阶的连续导数，