数字PID算法分析.ppt

第三章 常规数字控制器的设计3 31 1 数字控制器的设计方法分类数字控制器的设计方法分类 按其设计特点分为二大类：计算机控制系统的描述方法分为：一是将连续的被控对象离散化等效的离散系统数学模型，然后在离散系统的范畴内分析整个闭环系统；二是将数字控制器等效为一个连续环节，然后采用连续系统的方法来分析与设计整个控制系统。相应地，在设计方法上就可以分为：模拟化设计方法和离散化设计方法。1.1.模拟化设计方法模拟化设计方法一般可按以下步骤进行：一般可按以下步骤进行：第三章 常规数字控制器的设计2.2.离散化设计方法离散化设计方法首先用适当的离散化方法将连续部分（如图首先用适当的离散化方法将连续部分（如图所示的保持器和被控对象）离散化，使整个系统所示的保持器和被控对象）离散化，使整个系统完全变成离散系统，然后用离散控制系统的设计完全变成离散系统，然后用离散控制系统的设计方法来设计数字控制器，最后用计算机实现控制方法来设计数字控制器，最后用计算机实现控制功能。功能。第三章第三章 常规数字控制器的设计常规数字控制器的设计3 3两种方法的比较两种方法的比较 模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论和方法。模拟化设计方法可引用成熟的经典设计理论和方法。但在但在“离散离散”处理时，系统的动态特性会因采样周期的增处理时，系统的动态特性会因采样周期的增加而改变，甚至导致闭环系统的不稳定。加而改变，甚至导致闭环系统的不稳定。离散化设计方法运用的数学工具是离散化设计方法运用的数学工具是Z Z变换与离散状态变换与离散状态空间分析法。这种方法是一种直接数字设计方法，不仅更空间分析法。这种方法是一种直接数字设计方法，不仅更具有一般性，而且稳定性好、精度高。相对而言有时称为具有一般性，而且稳定性好、精度高。相对而言有时称为精确法。精确法。需要注意的是，该法的精确性仅限于线性范围内需要注意的是，该法的精确性仅限于线性范围内以及采样点上才成立。以及采样点上才成立。32模拟控制器的离散化 表征模拟校正装置的重要参数是：表征模拟校正装置的重要参数是：极点与零点的数目；极点与零点的数目；频带宽度与截止频率；频带宽度与截止频率；DC增益；增益；相位裕度；相位裕度；增益裕度、超调量、闭环频率响应峰值等。增益裕度、超调量、闭环频率响应峰值等。在离散化过程中，上述特性都要保持下来是不在离散化过程中，上述特性都要保持下来是不大可能的。在选择模拟控制器的离散化方法时，首大可能的。在选择模拟控制器的离散化方法时，首先必须明白对离散化控制算法有何要求，以保证模先必须明白对离散化控制算法有何要求，以保证模拟校正装置的主要特性能得到保持。拟校正装置的主要特性能得到保持。321Z变化法变化法 Z变换法就是在D(z)与D(s)之间建立的一种映射关系（），这种映射关系保证模拟控制器的脉冲响应的采样值与数字控制器的输出相同。在设计中所需要的高频部分出现频率混迭问题。为了解决这一问题在设计中所需要的高频部分出现频率混迭问题。为了解决这一问题:增加采样角频率增加采样角频率 ，使，使 远高于控制器的截止频率。远高于控制器的截止频率。2.带有零阶保持器的带有零阶保持器的Z Z变换法变换法n在原线性系统的基础上串联一个虚拟的零阶保持器，再进行Z变换从而得到D(s)的离散化模型D(z)3.差分变换法（又称数值积分法）n将微分方程离散化为差分方程，最后求z传递函数。整理后得到整理后得到z z传递函数传递函数或 对比可看出：对比可看出：或或这就是后向差分变换式：这就是后向差分变换式：前向差分前向差分:或或4.双线性变换法根据z变换定义:展成级数：同理：得双线性变换公式：双线性变换公式可以进行实双线性变换公式可以进行实s传递函数与传递函数与z传递函数相传递函数相互转换，转换公式如下：互转换，转换公式如下：各种离散化方法的比较各种离散化方法的比较33 数字数字PID控制控制-模拟控制器的离散化设计方法模拟控制器的离散化设计方法331理想微分理想微分PID控制控制 设系统的误差为设系统的误差为e(t)，则模拟，则模拟PID控制规律为控制规律为 它所对应的连续时间系统传递函数为它所对应的连续时间系统传递函数为（1）比例调节器控制规律：（2）比例积分调节器控制规律：（3）PID调节器控制规律：PID控制器连续时间系统传递函数 PID模拟控制器的离散化n用矩形法来计算数值积分：n用后向差分来代替微分：则离散化的PID控制规律为：n上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为上式表示的控制算法提供了执行机构的位置所以称为PID位位置控制算法。置控制算法。n这种算式中有一累加项这种算式中有一累加项 ，随着时间，随着时间k的增加，累的增加，累加的项次也依次增加，不利于计算机计算。另外，如果由于加的项次也依次增加，不利于计算机计算。另外，如果由于某种干扰因素导致某种干扰因素导致u(k)为某一极限值时，被控对象的输出也为某一极限值时，被控对象的输出也将作大幅度的剧烈变化，由此可能导致严重的事故。就其原将作大幅度的剧烈变化，由此可能导致严重的事故。就其原因，因，位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出的只是位置式算式存在以上缺陷的主要原因是它所给出的只是当前控制量的大小，与此前时刻控制量的大小却完全不相关。当前控制量的大小，与此前时刻控制量的大小却完全不相关。为此，有必要改进上述算法。为此，有必要改进上述算法。在很多控制系统中，由于执行机构是采在很多控制系统中，由于执行机构是采用步进电机或多圈电位器进行控制的，所以，用步进电机或多圈电位器进行控制的，所以，只要给出一个增量信号即可。只要给出一个增量信号即可。n写出K-1的输出值：上两式相减得PID增量式控制算法增量式PID算法与位置式PID算法的比较：两者本质相同，只是前者需要使用有附加积分作用的执行机构。但有如下优点：1、计算机只输出增量，误动作时影响小，必要时可增设逻辑保护；2、手动/自动切换时冲击小；3、算式不需要累加，只需记住四个历史数据，即e(k-2),e(k-1),e(k)和u(k-1),占用内存少，计算方便，不易引起误差累积。数字PID控制算法程序框图 PID控制规律的脉冲传递函数形式两边求z变换，并注意到 ，得 理想微分PID控制的实际效果并不理想，从阶跃响应看，它的微分作用只能维持一个采样周期。由于工业用执行机构(如气动调节阀或电动调节机构)的动作速度限制，致使偏差大时，微分作用不能充分发挥，再加之理想微分还容易引进高频干扰。为此，实际应用中，几乎所有的数字控制回路，通常都加一低通滤波器来限制高频干扰的影响。问题：问题：(1)实际微分PID控制算式一 通过一级低通滤波器来限制高频干扰的影响 332实际微分PID控制 低通滤波器和理想微分PID算式相结合后的传递函数为：则差分方程：若令（Kd为微分系数）(2)实际微分PID控制算式之二 实际微分PID算式的传递函数：微分作用输出差分方程为：图中的前置方块主要起微分作用，所以它也图中的前置方块主要起微分作用，所以它也称为微分先行称为微分先行PIDPID控制。控制。积分作用输出差分方程为：比例作用输出差分方程为：位置型算式为：(3)实际微分实际微分PID控制算式之三控制算式之三 不完全微不完全微分分由图可见，本算法是微分环节上加一个惯由图可见，本算法是微分环节上加一个惯性环节，故也称不完全微分性环节，故也称不完全微分PID控制控制n它仅改变了标准PID控制器的微分部分，使得在偏差发生突变时，微分作用可比较平缓。比例、积分和微分三个框的输出差分方程 3.3.3 标准标准PID控制算法的改进控制算法的改进 在在实实际际应应用用中中，数数字字PID控控制制器器的的控控制制效效果果有有时时不不如如模模拟拟PID控制器。控制器。原原因因：主主要要是是因因为为数数字字调调节节器器的的控控制制量量在在一一个个采采样样周周期期内内保保持持不不变变，使使得得在在这这段段时时间间内内系系统统相相当当于于开开环环运运行行。其其次次由由于于计计算算机机的的数数字字运运算算以以及及数数字字量量输输入入输输出出的的时时间间，使使得得控控制制作作用用在在时时间间上上有有延延滞滞，计计算算机机的的有有限限字字长长及及AD，DA转换精度也给控制量带来了误差。转换精度也给控制量带来了误差。办法：充分发挥计算机运算速度快，逻辑判断功能强，办法：充分发挥计算机运算速度快，逻辑判断功能强，编制程序灵活等优势。编制程序灵活等优势。手段：对手段：对PID算法进行了一系列改进。算法进行了一系列改进。3.3.3 标准PID控制算法的改进 3.3.3.1 积分项的改进 在在PIDPID控制中，积分作用是消除余差。控制中，积分作用是消除余差。n梯形积分梯形积分提高积分项的运算精度提高积分项的运算精度 将矩形积分 用梯形积分来代替代价：增大存储量和需要更多的运算时间。n消除积分不灵敏度消除积分不灵敏度 容易出现小于字长的精度而丢弃，此时也就无积分作用，这种现象称为积分不灵敏区或称积分作用丢失。采用以下措施：1.增加A/D转换位数，加长运算字长，这样可提高运算精度。2.当积分项连续出现小于输出精度的情况下，不要把它们作为“零”舍掉，而是把它们一次一次累加起来，即直到累加值Si大于时，再输出Si。同时把累加单元Si清零。(3)PID(3)PID算法积分饱和现象及其抑制算法积分饱和现象及其抑制 图312 PID位置式算法的积分饱和现象 在实际过程控制中，控制变量由于受很多条件的约束而被限制在一个有限范围内,如：采用标准PID位置式算法，只要系统的偏差没有消除，积分作用就会继续增加或减少。最后使控制量达到上或下的极限值，使得系统进入饱和范围。过限削弱积分法过限削弱积分法一旦控制变一旦控制变量进入饱和区，量进入饱和区，则程序只执行削则程序只执行削弱积分项的运算，弱积分项的运算，而停止增大积分而停止增大积分项的运算。项的运算。积积分分离法分分离法 积积分分离法的基本思想分分离法的基本思想为为：当误差当误差e e大于某个规定的门限大于某个规定的门限值时，删去积分作用，从而使值时，删去积分作用，从而使eei i不至于过大。只有当不至于过大。只有当e e较小时，才引入积分作用，以消除稳态误差。较小时，才引入积分作用，以消除稳态误差。称为门限值。称为门限值。3.3.3.2 3.3.3.2 微分项的改进微分项的改进 由于微分作用是在相邻的采样周期内进行，因此它由于微分作用是在相邻的采样周期内进行，因此它的强弱不仅与微分时间的强弱不仅与微分时间T Td d，放大系数，放大系数K Kp p有关，而且与采样有关，而且与采样周期周期T T也有明显关系。当也有明显关系。当T T太小时，二次采样之间被控参太小时，二次采样之间被控参数变化一般不会太大，因而微分作用就弱。为了在数变化一般不会太大，因而微分作用就弱。为了在T T小时小时增加微分作用，可增加增加微分作用，可增加K Kp p或或T Td d，但这样一来，会使抗噪声，但这样一来，会使抗噪声特性恶化，微分作用对它们又特别敏感，因此应设法减特性恶化，微分作用对它们又特别敏感，因此应设法减少噪声和数据误差在微分项中的影响少噪声和数据误差在微分项中的影响。在数字在数字PIDPID算式的微分项中如何减少数据误差和噪声，也是应用算式的微分项中如何减少数据误差和噪声，也是应用中经常遇到的一个问题，这一点可以从微分项表达式看出。中经常遇到的一个问题，这一点可以从微分项表达式看出。微分项的改进方法 偏差平均 减少计算次数 测量值微分当控制系统给定值r(k)发生阶跃变化时，微分动作将导致控制量u(k)的大幅度变化，这不利于生产的稳定操作。因此，在微分项中不考虑给定值r(k)，只对测量值y(k)(即被控量)进行微分。式中平均项系数m的选取，取决于被控对象的特性。改成改成:必必须须注注意意，对对串串级级控控制制的的副副回回路路而而言言，给给定定值值是是由由主主回回路路输输出出给给定定的的，其其变变化化一一般般也也应应加加以以微微分分处处理理，因此，应采用原微分项算式对偏差进行微分。因此，应采用原微分项算式对偏差进行微分。需要指出的是，数字需要指出的是，数字PIDPID算式中的测量值微分的算式中的测量值微分的微分项的物理意义，与模拟微分项的物理意义，与模拟PIDPID算式中的微分项一样，算式中的微分项一样，它们的输出都与被控参数的变化率成正比。只是由于它们的输出都与被控参数的变化率成正比。只是由于数字数字PIDPID在采样周期内进行一次，因此这里所指的变在采样周期内进行一次，因此这里所指的变化率实际上具有平均变化率的概念。同样数字化率实际上具有平均变化率的概念。同样数字PIDPID微微分项具有超前作用，它与分项具有超前作用，它与“零阶保持器零阶保持器”具有的滞后具有的滞后正相反，因此可以互相补偿，以改善控制性能。正相反，因此可以互相补偿，以改善控制性能。3333 干扰的抑制 数字数字PIDPID控制器的输入量是系统的给定值控制器的输入量是系统的给定值r r和系和系统实际输出统实际输出y y的偏差值的偏差值e e。在进入正常调节过程后，。在进入正常调节过程后，由于由于e e值不大，相对而言，干扰对控制器的影响也值不大，相对而言，干扰对控制器的影响也就很大。为了消除干扰的影响，除了在硬件上采取就很大。为了消除干扰的影响，除了在硬件上采取相应的措施以外，在控制算法上也应采取一定措施。相应的措施以外，在控制算法上也应采取一定措施。四点中心差分法的思想是：不直接采用四点中心差分法的思想是：不直接采用误误差差e(i)e(i)，而是用，而是用过过去和去和现现在四个采在四个采样时样时刻的刻的误误差平均差平均值值作作为为基准基准：通过加权求和，构成近似微分通过加权求和，构成近似微分 修正后的修正后的PIDPID位置算法位置算法：修正后的修正后的PIDPID增量式算法增量式算法：334 数字PID调节器的参数整定 PIDPID调节器的设计一般来说可以分成两个部分，首先调节器的设计一般来说可以分成两个部分，首先是选择调节器的结构，以保证闭环系统的稳定，并尽可是选择调节器的结构，以保证闭环系统的稳定，并尽可能地消除稳态误差。一旦调节器的结构确定下来，调节能地消除稳态误差。一旦调节器的结构确定下来，调节器设计的下一步任务就归结为参数整定。器设计的下一步任务就归结为参数整定。3 33 34 41 PID1 PID调节器参数对系统性能的影响调节器参数对系统性能的影响 放大倍数放大倍数K Kp p对系统性能的影响对系统性能的影响 对对系系统统的的动动态态性性能能：加加大大，将将使使系系统统动动作作灵灵敏敏，响响应应速速度度加加快快，偏偏大大，衰衰减减振振荡荡次次数数增增多多，调调节节时时间间变变长长。当当太太小小又又会会使使系系统统的的响响应应速速度度缓缓慢慢。K Kp p的的选选择择以以输输出出响响应应产产生生4 4：1 1衰衰减减过程为宜。过程为宜。对系统的稳态性能：在系统的稳定性的前提下对系统的稳态性能：在系统的稳定性的前提下,加大加大K Kp p可可以减少余差以减少余差(又称残差或稳态误差又称残差或稳态误差)，但靠它不能消除余差。因，但靠它不能消除余差。因此，此，K Kp p的整定主要依据系统的动态性能。的整定主要依据系统的动态性能。积分时间对系统性能的影响积分时间对系统性能的影响 对对系系统统的的动动态态性性能能：积积分分时时间间T Ti i通通常常影影响响系系统统的的稳稳定定性性。T Ti i太太小小，系系统统将将不不稳稳定定，T Ti i偏偏小小振振荡荡次次数数较较多多；T Ti i太太大大，系系统统的动态性能变差；当的动态性能变差；当T Ti i较适合时，系统的过渡过程特性比较理想。较适合时，系统的过渡过程特性比较理想。对对系系统统的的稳稳态态性性能能：积积分分时时间间T Ti i的的作作用用有有助助于于消消除除系系统统余余差差，提提高高了了系系统统的的控控制制精精度度，但但若若T Ti i太太大大，积积分分作作用用太太弱弱，则则不不能减少余差。能减少余差。微分时间微分时间Td对系统性能的影响对系统性能的影响 对对系系统统的的动动态态性性能能：微微分分时时间间常常数数Td 的的增增加加即即微微分分作作用用的的增增加加可可以以改改善善系系统统的的动动态态特特性性，如如超超调调量量减减少少，调调节节时时间间缩缩短短，允允许许加加大大比比例例控控制制，使使稳稳态态误误差差(余余差差)减减少少，提提高高控控制制精精度度。但但微分作用有可能放大系统的噪声，减低系统的抗干扰能力。微分作用有可能放大系统的噪声，减低系统的抗干扰能力。对系统的稳态性能：微分环节的加入，可以在误差出现或对系统的稳态性能：微分环节的加入，可以在误差出现或变化瞬间，按偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正变化瞬间，按偏差变化的趋向进行控制。它引进一个早期的修正作用，有助于增加系统的稳定性。作用，有助于增加系统的稳定性。采采样样周周期期T的的选选取取应应与与PID参参数数的的整整定定综综合合起起来来考考虑虑，选选取取采采样样周周期期时时，一一般般应应考考虑虑以下因素：以下因素：(1)扰动信号(2)对象的动态特性(3)计算机所承担的工作量(4)对象所要求的控制品质(5)与计算机及AD、DA转换器性能有关(6)考虑执行机构的响应速度。3342 采样周期的选定 3 33 34 43 3 实验确定法整定实验确定法整定PIDPID参数参数(1)(1)试凑法试凑法:试凑法是通过计算机仿真或实际运行，观察系统对典型输入试凑法是通过计算机仿真或实际运行，观察系统对典型输入作用的响应曲线，根据各调节参数作用的响应曲线，根据各调节参数(，)对系统响应的影响，反对系统响应的影响，反复调节试凑，直到满意为止，从而确定复调节试凑，直到满意为止，从而确定PIDPID参数。参数。首先只整定比例系数，将首先只整定比例系数，将 由小变大，使系统响应曲线略有超调。由小变大，使系统响应曲线略有超调。若在比例调节的基础上，系统稳态误差太大，则必须加入积分环节。若在比例调节的基础上，系统稳态误差太大，则必须加入积分环节。若使用若使用PIPI调节器消除了稳态误差，但系统动态响应经反复调整后仍不调节器消除了稳态误差，但系统动态响应经反复调整后仍不能令人满意，则可以加入微分环节，构成能令人满意，则可以加入微分环节，构成PIDPID调节器。调节器。PIDPID参数的整定可以按模拟调节器的方法来进行。参数的整定可以按模拟调节器的方法来进行。参数整定通常有两种方法，即理论设计法和实验确定法。参数整定通常有两种方法，即理论设计法和实验确定法。(2)PID(2)PID参数的工程整定法参数的工程整定法 临界比例法 这一方法适用于能自平衡的被控对象，首先选定一个足够短的采样周期。用比例调节器构成闭环使系统工作。逐渐加大比例系数，直到系统发生持续等幅振荡，即系统输出或误差信号发生等幅振荡。记此时的比例系数为 ，临界比例度 ，临界振荡周期为 。按下面的经验公式得到不同类型调节器参数。控制度是以模拟调节为控制度是以模拟调节为基准，将直接数字控制基准，将直接数字控制即即DDCDDC的控制效果与模拟的控制效果与模拟控制效果相比较。控制效果相比较。(2)PID(2)PID参数的工程整定法参数的工程整定法 阶跃曲线法 让系统处于手动操作的开环状态下，将被调量调节到让系统处于手动操作的开环状态下，将被调量调节到给定值附近，并使之稳定下来。然后突然改变给定值，给给定值附近，并使之稳定下来。然后突然改变给定值，给对象一个阶跃输入信号，并记录下被控量在阶跃输入下的对象一个阶跃输入信号，并记录下被控量在阶跃输入下的整个变化过程曲线。在阶跃响应曲线的拐点处作切线求得整个变化过程曲线。在阶跃响应曲线的拐点处作切线求得滞后时间滞后时间，被控对象时间常数，然后根据表，被控对象时间常数，然后根据表3 34 4求得各求得各参数。参数。3344 数字PID的变参数整定(1)(1)按照负荷预先设置整定参数方法按照负荷预先设置整定参数方法(2)(2)时序控制时序控制按一定时间顺序采用相应的按一定时间顺序采用相应的KcKc、TdTd、TiTi参数。参数。(3)(3)人工模型人工模型模拟现场操作工人的操作方法，根据经验决定各种情况下模拟现场操作工人的操作方法，根据经验决定各种情况下的参数值，并编入程序中，然后在执行程序时，自动改变的参数值，并编入程序中，然后在执行程序时，自动改变这些参数和给定值。这些参数和给定值。举例：举例：1 1、对对于于一一阶阶惯惯性性对对象象，负负荷荷变变化化不不大大，工工艺艺要要求求不不变变，可可采用采用P P控制，例如：压力、液位、串级副付回路等。控制，例如：压力、液位、串级副付回路等。2 2、对于一阶惯性加纯滞后对象，负荷变化不大，要求控制、对于一阶惯性加纯滞后对象，负荷变化不大，要求控制精度较高的场合，可采用精度较高的场合，可采用PIPI控制，例如用于压力、流量、控制，例如用于压力、流量、液位控制。液位控制。3 3、对于纯滞后时间较大，控制性能要求高的场合，可采用对于纯滞后时间较大，控制性能要求高的场合，可采用PIDPID控制，如过热蒸汽温度控制，成分控制等。控制，如过热蒸汽温度控制，成分控制等。4 4、对于二阶以上惯性加纯滞后对象，负荷变化较大，控制对于二阶以上惯性加纯滞后对象，负荷变化较大，控制性能要求较高时，应采用串级、前馈性能要求较高时，应采用串级、前馈-反馈，前馈反馈，前馈-串级串级或纯滞后补偿等复杂控制。或纯滞后补偿等复杂控制。3345 数字PID参数的最优整定(1)性能指标的选择(2)(2)寻优方法寻优方法 多参数的多参数的寻优寻优已有不少成熟的算法，如已有不少成熟的算法，如单纯单纯型加速法、型加速法、梯度法等。梯度法等。由于单纯型加速法具有控制参数收敛快，计由于单纯型加速法具有控制参数收敛快，计算工作量小等优点，因此被普遍应用。算工作量小等优点，因此被普遍应用。34 最少拍数字控制系统的设计最少拍数字控制系统的设计 若已知广义对象的脉冲传递函数若已知广义对象的脉冲传递函数G(z)，并且根据对，并且根据对控制系统的性能的要求确定控制系统的性能的要求确定(z)，则数字控制器，则数字控制器D(z)也也就确定下来了。就确定下来了。直接设计法的步骤为：直接设计法的步骤为：1根据对控制系统性能指标的要求和其它的约束条件，确定闭环系统脉冲函数。2根据D(z)计算公式，确定数字控制器。3编程实现。最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达到在采样时最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达到在采样时刻输入输出无误差的系统。直接数字设计法设计最少拍控制系刻输入输出无误差的系统。直接数字设计法设计最少拍控制系统，要考虑以下几点。统，要考虑以下几点。(1)对于特定的参考输入信号，到达稳态后，系统在采样时刻精确实现对输入的跟踪。(2)系统以最快速度达到稳态。(3)D(z)应是物理可实现的。(4)闭环系统应是稳定的。数字控制器的直接数字设计方法，就是根据控制系统的数字控制器的直接数字设计方法，就是根据控制系统的性能要求，应用离散控制理论，直接设计数字控制系统。性能要求，应用离散控制理论，直接设计数字控制系统。(1)对系统稳态误差的要求对系统稳态误差的要求 阶跃信号阶跃信号 斜坡信号斜坡信号 加速度信号加速度信号 一般表达式：一般表达式：其中，其中，A(z)中不含中不含z=1的因子。的因子。系统的误差信号应满足系统的误差信号应满足 称称1-(z)为误差脉冲传递函数。为误差脉冲传递函数。根据根据z变换的终值定理变换的终值定理。系统的稳态误差系统的稳态误差e()为零，则要求为零，则要求1-(z)中必须含有中必须含有(1z-1)的至少的至少m次因子，即：次因子，即：其中，其中，F1(z)为一个待定的为一个待定的z-1多项式。多项式。(2)最快速达到稳态的要求最快速达到稳态的要求 因为因为A(z)和和F1(z)都是都是z-1多项式，所以多项式，所以E(z)是是z-1的有的有限阶多项式。它的次数等于限阶多项式。它的次数等于E(z)趋于零的拍数。为使趋于零的拍数。为使E(z)尽快为零，我们希望这个多项式的次数为最小尽快为零，我们希望这个多项式的次数为最小。选选 若要使设计的数字控制器最简单，且若要使设计的数字控制器最简单，且E(z)以最少的以最少的拍数达到零，可选拍数达到零，可选F1(z)1。但选。但选F1(z)1，可能使系，可能使系统不能满足统不能满足D(z)物理可实现和稳定性的要求，下面我们物理可实现和稳定性的要求，下面我们再进一步分析其它性能要求。再进一步分析其它性能要求。设计最少拍控制系统的一般公式。设计最少拍控制系统的一般公式。(3)D(z)物理可实现的要求物理可实现的要求 所谓数字控制器所谓数字控制器D(z)物理可实现问题，是要求数字物理可实现问题，是要求数字控制器算法中不允许出现对未来时刻的信息的要求。这控制器算法中不允许出现对未来时刻的信息的要求。这是因为未来信息尚属未知，不能用来计算控制量。具体是因为未来信息尚属未知，不能用来计算控制量。具体说来，就是说来，就是D(z)的无穷级数展开式中不能出现的无穷级数展开式中不能出现z的正幂项。的正幂项。设广义对象的脉冲传递函数为设广义对象的脉冲传递函数为 若我们希望闭环脉冲传递函数若我们希望闭环脉冲传递函数(z)为为其中：其中：可求得数字控制器的脉冲传递函数可求得数字控制器的脉冲传递函数 显然，显然，rlrl若，则若，则D(z)的无穷级数展开式将出现的无穷级数展开式将出现z的正幂的正幂项。这意味着在计算项。这意味着在计算u(k)时需要时需要e(k+1)，e(k+2)，等信息，等信息，这是不可能的。因为，这时的这是不可能的。因为，这时的D(z)不是物理可实现的。为此，不是物理可实现的。为此，闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数(z)应具有形式：应具有形式：(4)闭环稳定性要求闭环稳定性要求 G(z)若有单位圆上或单位圆外的极点，并且该极点没若有单位圆上或单位圆外的极点，并且该极点没有与有与D(z)或或1-(z)的零点对消的话，则它也将成为的零点对消的话，则它也将成为(z)的极点，从而造成闭环系统不稳定。如果我们利用的极点，从而造成闭环系统不稳定。如果我们利用D(z)的的零点去对消零点去对消G(z)不稳定的极点，虽然从理论上来说可以得不稳定的极点，虽然从理论上来说可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或者辨完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或者辨识的对象有误差时，这种零极点的对消不可能准确实现，识的对象有误差时，这种零极点的对消不可能准确实现，从而引起闭环系统不稳定。因此，我们只能利用从而引起闭环系统不稳定。因此，我们只能利用1(z)的零点来对消这些极点。的零点来对消这些极点。另外，另外，若G(z)有位于单位圆外或单位圆上的零点，则数字控制器输出序列u(k)将随着时间的推移而趋向于无穷大，造成闭环系统不稳定。为克服这一现象，(z)的零点必须包含G(z)的所有在单位圆外或单位圆上的零点。总之，为保证闭环系统稳定，1(z)的零点必须包含有G(z)的不稳定极点，而(z)零点必须包含有G(z)的不稳定零点。设设 G(z)是是G(z)的不包含单位圆外或单位圆上的零极点部分。的不包含单位圆外或单位圆上的零极点部分。上式表示上式表示G(z)有有Z1，Z2，Z3，Zw等等w个单位圆外或单个单位圆外或单位圆上的零点，位圆上的零点，P1，P2，P3，P等等单位圆外或单位单位圆外或单位圆上的极点。圆上的极点。为保证闭环稳定性，为保证闭环稳定性，(z)和和1(z)必须满足：必须满足：F2(z)是是z-1的有限阶多项式，可以利用它使的有限阶多项式，可以利用它使(z)满足其它的要满足其它的要求。求。F3(z)是是z-1的有限阶多项式，可以利用它使的有限阶多项式，可以利用它使1(z)满足其它的要满足其它的要求。求。应当指出，当应当指出，当G(z)有有z1的极点时，相对于该极点，根据的极点时，相对于该极点，根据对系统稳态误差要求导致的式对系统稳态误差要求导致的式与根据闭环稳定性要求导致的式与根据闭环稳定性要求导致的式是一致的。是一致的。为使系统具有最少拍响应，可以将这两项合并。换句话说，为使系统具有最少拍响应，可以将这两项合并。换句话说，若若P1，P2，P3，P中有中有k个为个为1时，则将式时，则将式中对应的中对应的(1-z-1)k与式与式中的中的(1-z-1)m合并为合并为(1-z-1)j，且取，且取j=max(k，m)。？综合以上综合以上4 4个对个对(z)(z)的要求，总结出最少拍控制系的要求，总结出最少拍控制系统设计步骤如下：统设计步骤如下：1求出广义对象的脉冲传递函数求出广义对象的脉冲传递函数 2.设设G(z)中有个采样周期的纯滞后，中有个采样周期的纯滞后，w个单位圆外或单个单位圆外或单位圆上的零点位圆上的零点Z1，Z2，Z3，Zw，个单位圆外或个单位圆外或单位圆上的极点单位圆上的极点P1，P2，P3，P。即。即 设输入信号为：问题：单位圆内的问题：单位圆内的零极点为什么不考虑？零极点为什么不考虑？其中，G(z)没有单位圆外或单位圆上的零、极点。3综合考虑前面讨论的对综合考虑前面讨论的对(z)的的4个要求，令个要求，令：4(z)的阶次为的阶次为(l+w+p)、1-(z)的阶次为的阶次为(m+q)因因(z)与与1-(z)的阶次相同，的阶次相同，应有：应有：若若G(z)有有k个个z=1的极点，则可将相应的的极点，则可将相应的(1-z-1)k由式由式 中的中提出，并与中的中提出，并与(1-z-1)m合并为一项合并为一项(1-z-1)j，其中，其中j=max(k，m)。其中其中p，q待定。为满足上式，且保证待定。为满足上式，且保证(z)有最低的阶次，应选有最低的阶次，应选 5根据下式根据下式 同次幂系数相等的原则同次幂系数相等的原则。可得出可得出个方程，由之确定个方程，由之确定0(z)和和F(z)中的未知系数和中的未知系数和 6得出最少拍数字控制器得出最少拍数字控制器 则可得：则可得：(z)与与1-(z)。例例31 设计算机控制系统结构如图设计算机控制系统结构如图221所示。其中所示。其中 已知：采样周期已知：采样周期T=0.025，输人为斜坡信号。试设计最少拍，输人为斜坡信号。试设计最少拍控制系统控制系统D(z)。系统广义对象传递函数为系统广义对象传递函数为 其脉冲传递函数其脉冲传递函数:G(z)的极点为的极点为1(单位圆上单位圆上)和和0.368(单位圆内单位圆内)；零点为一零点为一0.718(单位圆内单位圆内)。其中只有极点。其中只有极点1在单位圆在单位圆上，故上，故w=0，=1。对于斜坡信号有。对于斜坡信号有 ，即即m=2。由于稳态误差为零，要求。由于稳态误差为零，要求 必须有必须有因子因子 ，而稳定性要求必须有因子，而稳定性要求必须有因子 ，前，前者显然已包含了后者，故可取者显然已包含了后者，故可取m+=2。另外，由。另外，由G(z)可得出可得出 。从而有。从而有 ，。根据以上分析，设根据以上分析，设:对单位斜坡输入，闭环对单位斜坡输入，闭环系统的输出序列为系统的输出序列为:数字控制器的输出序列数字控制器的输出序列(即控制变量即控制变量)为为:例例32 考虑如图考虑如图221所示的系统，设广义对象的脉冲传递函数所示的系统，设广义对象的脉冲传递函数 设系统采样周期设系统采样周期T0.05s，典型输人信号为阶跃信号和斜坡信，典型输人信号为阶跃信号和斜坡信号，试设计最少拍控制系统。号，试设计最少拍控制系统。所求的最少拍数字控制器所求的最少拍数字控制器:在单位阶跃输入下系统的输出为在单位阶跃输入下系统的输出为:在单位斜坡输入下系统的输出在单位斜坡输入下系统的输出:最少拍控制系统具有最快速的向应。但是它的输出在采样点最少拍控制系统具有最快速的向应。但是它的输出在采样点之间存在有纹波，同时它还需要有很大的控制作用，这个控之间存在有纹波，同时它还需要有很大的控制作用，这个控制作用有可能加剧采样点之间的振荡，还可能在制作用有可能加剧采样点之间的振荡，还可能在DA输出输出 端引起饱和。另外，针对某一典型输入所设计的最少拍控制端引起饱和。另外，针对某一典型输入所设计的最少拍控制器，对其它输人信号适应性较差。同时，最少拍控制系统还器，对其它输人信号适应性较差。同时，最少拍控制系统还对参数变化过于敏感，参数变化有可能导致控制效果急剧下对参数变化过于敏感，参数变化有可能导致控制效果急剧下降。因此，除个别情况以外，最少拍控制系统实用意义不大。降。因此，除个别情况以外，最少拍控制系统实用意义不大。35 最少拍无纹波控制系统设计最少拍无纹波控制系统设计n 按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限拍后即进人稳态。这时闭环系统输出拍后即进人稳态。这时闭环系统输出c(k)在采样在采样时刻精确地跟踪输入信号。时刻精确地跟踪输入信号。n虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输入一致，但是在两个采样时刻之间，系统的输出入一致，但是在两个采样时刻之间，系统的输出存在着纹波或振荡。存在着纹波或振荡。n这种纹波不但影响系统的控制性能，产生过大的这种纹波不但影响系统的控制性能，产生过大的超调和持续振荡，而且还增加了系统功率损耗和超调和持续振荡，而且还增加了系统功率损耗和机械磨损。机械磨损。n最少拍系统产生纹波的原因最少拍系统产生纹波的原因 纹波产生根源是零阶保持器的输入序列纹波产生根源是零阶保持器的输入序列u(k)在稳态在稳态误差消除后，仍然围绕自己的平均值上下波动。误差消除后，仍然围绕自己的平均值上下波动。35 最少拍无纹波控制系统设计最少拍无纹波控制系统设计n由由n可以得到控制信号可以得到控制信号U(z)对输入对输入R(z)的脉的脉冲传递函数为：冲传递函数为：n设广义对象脉冲传递函数为设广义对象脉冲传递函数为 则：则：nP(z)的零点即是的零点即是G(z)的零点。的零点。n由于由于R(z)R(z)到到U(z)U(z)的脉冲传递函数是一个有理的脉冲传递函数是一个有理分式，从而它的单位脉冲响应为无限长。分式，从而它的单位脉冲响应为无限长。n如果我们在选择如果我们在选择 时，令时，令 包含包含G(z)的的所有零点，则由式所有零点，则由式(3105)，P(z)与与中相中相应因子产生相消，使得由应因子产生相消，使得由R(z)到到U(z)的脉冲的脉冲传递函数为一阶次有限的传递函数为一阶次有限的z-1多项式，这就表多项式，这就表示它的脉冲响应时间为有限长了。这样，经示它的脉冲响应时间为有限长了。这样，经过有限拍之后，控制变量过有限拍之后，控制变量u(k)或者为零，或或者为零，或者为常数，不会再产生振荡，从而避免了连者为常数，不会再产生振荡，从而避免了连续被控对象的输出续被控对象的输出c(t)在采样时刻之间的纹波。在采样时刻之间的纹波。则：则：n为消除纹波，对闭环系统传递函数为消除纹波，对闭环系统传递函数的附加要求是：的附加要求是：必须包含广义对象必须包含广义对象G(z)G(z)的所有零点。的所有零点。例例35 设计算机控制系统的结构及参数均与例设计算机控制系统的结构及参数均与例33相同，相同，试针对斜坡输入信号，设计最少拍无纹波控制系统。试针对斜坡输入信号，设计最少拍无纹波控制系统。由例由例33知广义对象脉冲传递函数知广义对象脉冲传递函数 分析可知，w=1(包括G(z)的所有零点)，=1（G(z)有一个位于单位圆上的极点1），l=1。对于斜坡信号m2。考虑到对稳态误差的要求所对应的因子(1-z-1)2，包含了对稳定性要求所对应的因子(1-z-1)，故将两者合并，即取m+=2。计算得：p=m+-1=1，q=l+w-1=1。则最少拍无纹波控制器为则最少拍无纹波控制器为:闭环系统输出序列闭环系统输出序列:数字控制器的输出序列数字控制器的输出序列(即系统的控制变量即系