数学建模层次分析法.ppt
层次分析法层次分析法Analytic Hierarchy ProcessAHP层次分析法建模层次分析法建模一一 问题的提出问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3 择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（Analytic Hierarchy Process,AHP)Analytic Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法层次分析法是系统分析的数学工具之一。选择钢笔层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。程大体一致。质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔二二二二 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1 1 建立层次结构模型建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层目标层，最下面为方案层方案层，中间是准则层或指标层准则层或指标层。例1 的层次结构模型 准则层 方案层目标层选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林例2 层次结构模型层次结构模型 准则层A 方案层B目标层Z若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。设某层有个因素，2 2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较矩阵成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1919尺度。尺度。尺度第 个因素与第 个因素的影响相同第 个因素比第 个因素的影响稍强 第 个因素比第 个因素的影响强 第 个因素比第 个因素的影响明强第 个因素比第 个因素的影响绝对地强 含义比较尺度：（1919尺度尺度的含义）2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。标度法标度法 10.心理学研究表明，人们通过感觉思维比较判断两个对象的相对差别是可能的。20.同时比较时能区别差异的心理学极限为72个。30.实验表明 9 级标度法是可行的。光源四面放四个物体,距离为 27,45,63,84。可算得它们的相对亮度为 0.607,0.219,0.111,0.063。记 W：较亮，S：亮，D：很亮，A：绝对亮。由人进行相对比较,得 (c1-c2):W-S,(c1-c3):S-D,(c1-c4):D,(c2-c3):W,(c2-c4):W-S,(c3-c4):W由上述定义知，成对比较矩阵则称为正互反阵正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A A的各因素对目标层Z Z的影响两两比较结果如下：满足一下性质Z ZA A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 5A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A A5 511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。由上表，可得成对比较矩阵旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。问题：问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？3 层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验层次单排序：层次单排序：确定下确定下层各因素各因素对上上层某因素影响程度的某因素影响程度的过程。程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量分别记为：则可得成对比较矩阵由右面矩阵可以看出，即，在正互反矩阵 中，若 ,则称 为一致阵。但在例2的成对比较矩阵中，一致阵的性质：5.的任一列(行)都是对应于特征根 的特征向量。一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量若特征向量为若特征向量为 w w=(w=(w1 1,w,wn n),),则有则有 a aij ij=a aik ik/a ajk jk=w=wi i/w/wj j表示表示w wi i 与与 w wj j之间的比值之间的比值,是这两者重要性之间的一是这两者重要性之间的一个判断个判断.ww 就是各对象之间的一个排序就是各对象之间的一个排序.即即:各列均表示被判断元素之间的排序。各列均表示被判断元素之间的排序。若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根 的归一化特征向量 ，且定理定理：阶互反阵 的最大特征根 ，当且仅 当 时，为一致阵。表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，SaatySaaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则这样确定权向量的方法称为特征根法特征根法.由于 连续的依赖于 ，则 比 大的越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量 的不一致程度。定义一致性指标一致性指标其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和。随机一致性指标随机一致性指标 固定 n,令 A 的上三角从1/9,1,2,9中随机取值,构成正互反矩阵。计算它的 CI。对每个 n=1,2,9 分别随机地抽取 n=100500 个样本,得到 Ank 和 CInk(不一致判断矩阵的指标)。取 则 CI RI 时,判断矩阵明显不具有一致性。取 1,则当 CI RI 时,A 在水准下有满意的一致性.则可得一致性指标 随机构造500个成对比较矩阵随机一致性指标随机一致性指标 RI RI 的数值：的数值：n n1 1 2 23 34 45 56 67 78 89 910101111RIRI0 0 0 00.580.58 0.900.90 1.121.12 1.241.24 1.321.32 1.411.41 1.451.45 1.491.49 1.511.51一致性检验一致性检验：利用一致性指标和一致性比率X,D=eig(A)的特征值：的特征向量：求矩阵SimplifyEigenvectorsa,b,-b,2aEigenvaluesa,b,-b,2a求矩阵
