数学分析第十章无穷级数.ppt

第十章第十章 无穷级数无穷级数1 无穷级数的基本概念无穷级数的基本概念1.无穷级数的概念无穷级数的概念2.无穷级数的收敛与发散无穷级数的收敛与发散 给定级数给定级数 ,将前将前 项之和项之和称为称为 的前的前 项部分和项部分和,或简称部分和或简称部分和.定义定义.若若 的部分和序列的部分和序列 ,当当 时时,有极限有极限,则称级数则称级数 收敛收敛,记记称为级数的和称为级数的和;否则称否则称 发散发散.3.收敛的必要条件收敛的必要条件4.Cauchy收敛原理收敛原理定理定理1.2.收敛的充要条件是收敛的充要条件是:当当 时时,对任意的自然数对任意的自然数 ,.例例3.证明证明:发散发散.5.收敛级数的性质收敛级数的性质定理定理1.3.若若 收敛收敛,则则 收敛收敛.注注.反之不成立反之不成立.定理定理1.4.若若 和和 都收敛都收敛,和分别为和分别为 ,则对任意实数则对任意实数 ,也也收敛收敛,和为和为 .思考思考.若若 收敛收敛,发散发散,能否推出能否推出 发散发散?若若 发散发散,也发散也发散,能否推出能否推出 发散发散?定理定理1.5.若存在若存在 ,使得使得 ,则则 与与 同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散.注注.改动一个级数的有限项值改动一个级数的有限项值,不改变级数不改变级数的的敛散性敛散性.定理定理1.6.若若 收敛收敛,则在保持项的次序不则在保持项的次序不变的条件下变的条件下,任意加括号所形成的级数任意加括号所形成的级数也收敛也收敛,且其和不变且其和不变.注注.收敛的级数可以任意加括号收敛的级数可以任意加括号,但不能去括号但不能去括号.注注.给定给定 ,生成级数生成级数 ,得到它的部得到它的部分分和序列和序列 .给定给定 ,一定可以找到级数一定可以找到级数 ,使得使得 是是 的部分和序列的部分和序列.例例6.讨论等比级数讨论等比级数 的敛散性的敛散性.2 正项级数正项级数 通项非负的级数称为正项级数通项非负的级数称为正项级数.设设 是正项级数是正项级数,.单调上升单调上升.要么要么 有上界有上界,要么要么 .1.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件2.比较判别法比较判别法定理定理2.1.设设 和和 是正项级数是正项级数,且且 ,使得使得 .则则(1)如果如果 收敛收敛,那么那么 收敛收敛;(2)如果如果 发散发散,那么那么 发散发散.例例2.证明证明:当当 时时,发散发散;当当 时时,收敛收敛.思考题思考题.证明证明:设设 是正项级数是正项级数,且且 单调下降单调下降则则 收敛的充要条件是收敛的充要条件是:收敛收敛.例例3.讨论下列级数的收敛性讨论下列级数的收敛性(1)(2)定理定理2.2.(比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式)设设 和和 是正项级数是正项级数,且且 ,又设又设 .则有下列结论则有下列结论(1)当当 时时,与与 同时收敛同时收敛或或 同时发散同时发散;(2)当当 时时,如果如果 收敛收敛,那么那么 收收敛敛;(3)当当 时时,如果如果 发散发散,那么那么 发发散散.例例4.讨论讨论 的收敛性的收敛性.3.Cauchy判别法判别法定理定理2.3.设设 为正项级数为正项级数.(1)若存在自然数若存在自然数 及及 ,使得使得 只要只要 ，则则 收敛收敛;(2)若存在自然数若存在自然数 ,使得使得 只要只要 ,则则 发散发散.定理定理2.4.(Cauchy判别法的极限形式判别法的极限形式)设设 为正项级数为正项级数,且且 .则则(1)当当 时时,收敛收敛;(2)当当 时时,发散发散;(3)当当 时时,不能由此法判别收敛性不能由此法判别收敛性.例例7.讨论讨论 的收敛性的收敛性.4.dAlembert判别法判别法定理定理2.5.设设 为正项级数为正项级数,且且 .(1)若存在自然数若存在自然数 及及 ,使得使得 只要只要 ，则则 收敛收敛;(2)若存在自然数若存在自然数 ,使得使得 只要只要 ,则则 发散发散.定理定理2.6.(dAlembert判别法的极限形式判别法的极限形式)设设 为正项级数为正项级数,且且 ,又设又设 ,.则则(1)当当 时时,收敛收敛;(2)当当 时时,发散发散;(3)当当 或或 时时,不能由此法判别收敛不能由此法判别收敛性性.推论推论.设设 为正项级数为正项级数,且且 ,又设又设 .则则(1)当当 时时,收敛收敛;(2)当当 时时,发散发散;(3)当当 时时,不能由此法判别收敛性不能由此法判别收敛性.例例9.设设 ,讨论讨论 的收敛性的收敛性.注注.Cauchy判别法比判别法比dAlembert判别法适用判别法适用 范围广范围广.5.Raabe判别法判别法定理定理2.7.设设 为正项级数为正项级数,且且 ,又设又设 .则则(1)当当 时时,收敛收敛;(2)当当 时时,发散发散;引理引理2.1.设设 ,则存在则存在 ,使得使得当当 时时,5.Raabe判别法判别法定理定理2.7.设设 为正项级数为正项级数,且且 ,又设又设 .则则(1)当当 时时,收敛收敛;(2)当当 时时,发散发散;注注.当当 时时,不能由此法不能由此法判判别收敛性别收敛性.例如例如6.积分判别法积分判别法定理定理2.8.设设 是正项级数是正项级数.若存在若存在 上连续非负单调递减函数上连续非负单调递减函数 ,满足满足则则 收敛的充要条件是收敛的充要条件是:有界有界.3 任意项级数任意项级数1.交错级数交错级数 定理定理3.1.(Leibniz判别法判别法)若若 满足满足(1)(2)则则(1)收敛收敛,(2)余和余和的符号与第一项的符号与第一项 的符号相同的符号相同,且且注注.满足定理满足定理3.1中条件中条件(1),(2)的级数的级数,称为称为 Leibniz型级数型级数.2.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义.若若 收敛收敛,则称则称 绝对收敛绝对收敛.若若 收敛收敛,但但 发散发散,则称则称 条件收敛条件收敛.3.Abel判别法与判别法与Dirichlet判别法判别法 设有两组数设有两组数 和和 .令令则有则有Abel变换式变换式注注.Abel变换式也称作分部求和式变换式也称作分部求和式.引理引理3.1.(Abel引理引理)若若 单调单调,又又 的部分和式的部分和式 有界有界,即即 ,使得使得则则定理定理3.2.(Dirichlet判别法判别法)若若(1)单调单调,且且 ;(2)的部分和有界的部分和有界,即即 ,使使得得 则则 收敛收敛.注注.Leibniz判别法是判别法是Dirichlet判别法的特例判别法的特例.定理定理3.3.(Abel判别法判别法)若若(1)单调单调,且有界且有界,即即 ,使得使得 (2)收敛收敛,则则 收敛收敛.注注.Abel判别法可由判别法可由Dirichlet判别法推出判别法推出.例例3.若若 单调趋于单调趋于 ,证明证明(1),收敛收敛.(2),都收敛都收敛.4.绝对收敛级数与条件收敛级数的性质绝对收敛级数与条件收敛级数的性质 给定给定 .定义定义显然显然 和和 都是正项级数都是正项级数,并有并有注注.若若 收敛收敛,则要么则要么 和和 同同时收敛时收敛,要么要么 和和 同时发散同时发散.命题命题3.1.(1)绝对收敛的充要条件是绝对收敛的充要条件是:和和 同时收敛同时收敛,(2)若若 条件收敛条件收敛,则则 和和 同时同时发散发散.定义定义.给定级数给定级数 .设设 是一一对是一一对应应,即即 既是单射又是满射既是单射又是满射.令令 ,并并令令 称为称为 的一个重排级数或更序级的一个重排级数或更序级数数.例例5.给定给定 ,讨论它的一个重排级数讨论它的一个重排级数定理定理3.4.若若 绝对收敛绝对收敛,则它的任何一个则它的任何一个重排级数也绝对收敛重排级数也绝对收敛,且重排不改变原级数且重排不改变原级数的和的和.定理定理3.5.(Riemann定理定理)若若 条件收敛条件收敛,则则 ,都存在都存在 的一个重排的一个重排 ,使得使得 收敛收敛,且且5.级数的乘法级数的乘法(1)正方形法正方形法(2)对角线法对角线法(1)正方形法正方形法(2)对角线法对角线法定理定理3.6.若若 与与 都绝对收敛都绝对收敛,则由则由 组成的级数组成的级数 ,以任意方式排以任意方式排列都绝对收敛列都绝对收敛,且和为且和为 .注注.对按对角线法排列所得级数对按对角线法排列所得级数,适当加上括适当加上括号号,得到级数得到级数其中其中 ,称称 为为 和和 的的Cauchy乘积乘积.例例7.求求4 无穷乘积无穷乘积1.概念概念 给定序列给定序列 ,称作无穷乘积称作无穷乘积.它的前它的前 次之积次之积称作部分乘积称作部分乘积.定义定义.设设 是是 的部分乘积的部分乘积.若若 有极有极限限,且极限值且极限值 ,则称则称 收敛收敛.记记若若 无极限无极限,或或 ,则称则称 发散发散.注注.为便于无穷乘积与对应级数的同一性为便于无穷乘积与对应级数的同一性,将将 也称作发散也称作发散.例例3.讨论讨论 收敛性收敛性.2.无穷乘积的性质无穷乘积的性质无穷乘积具有下列性质无穷乘积具有下列性质(1)若若 收敛收敛,则则 .(2)若若 收敛收敛,则余积则余积 .(3)若若 和和 收敛收敛,则则 和和都收敛都收敛,并有并有 注注.由性质由性质(1),若若 收敛收敛,则则 .在今后的讨论中可以假定在今后的讨论中可以假定 .定理定理4.1.设设 .则则 收敛的收敛的充要条件是充要条件是:收敛收敛.注注.若将若将 改为改为 ,定理定理4.2结论仍然结论仍然 成立成立.注注.若若 不保持定号不保持定号,收敛不能保证收敛不能保证 收敛收敛.3.无穷乘积的绝对收敛和条件收敛无穷乘积的绝对收敛和条件收敛定义定义.给定给定 ,.若若 收敛收敛,则称则称 绝对收敛绝对收敛.若若 收敛收敛,发散发散,则称则称 条件收敛条件收敛.定理定理4.4.设设 ,则下列命题等则下列命题等价价(A)绝对收敛绝对收敛(B)绝对收敛绝对收敛(C)绝对收敛绝对收敛例例8.讨论讨论 的绝对收敛性和条件的绝对收敛性和条件收敛性收敛性.附录附录Stirling公式公式.即即