第八章采样系统优秀课件.ppt

第八章采样系统第1页，本讲稿共61页 典型的采样控制系统方框图如典型的采样控制系统方框图如图图8181所示。其中，误差所示。其中，误差e e是时是时间的间的连续信号，经过连续信号，经过采样时间为采样时间为T T的的采样开关采样开关之后，之后，变成一组脉变成一组脉冲序列冲序列e*e*，脉冲控制器将离散脉冲控制器将离散的误差信号处理后，得到离散的的误差信号处理后，得到离散的控制信号，该信号经保持器变换控制信号，该信号经保持器变换为连续信号去控制被控对象。采为连续信号去控制被控对象。采样开关每隔时间样开关每隔时间T T开闭一次，每开闭一次，每次闭合时间为次闭合时间为，则，则称称T T为采样为采样周期，周期，为采样时间，为采样时间，T T，f f s s1/T1/T，s s2/T2/T分别成为采样频率和采样角频分别成为采样频率和采样角频率。率。这样图这样图8-2 a8-2 a所示模拟量所示模拟量e e被采样后变成了图被采样后变成了图8-2 b8-2 b所示的脉冲序列所示的脉冲序列e*e*。本图中，采样周期本图中，采样周期T T是固定的，我们称为等周期采样，另外还有多阶采样、是固定的，我们称为等周期采样，另外还有多阶采样、多速采样、及随机采样等，本书只介绍常用的等周期采样。多速采样、及随机采样等，本书只介绍常用的等周期采样。第2页，本讲稿共61页从从图图中中可可以以看看出出，采采样样后后为为脉脉冲冲序序列列，每每个个脉脉冲冲之之间间有有一一段段无无信信号号的的时时间间间间隔隔，在在这这段段时时间间内内系系统统工工作作在在开开环环状状态态。若若常常用用周周期期T T过过大大，则则包包含含在在被被采采样样信信号号中中的的大大量量信信息息将将因因采采样样而而丢丢失失，因因此此T T是是越越小小越越好好，但但是是T T过过小小，若若脉脉冲冲控控制制器器的的运运算算速速度度不不够够高高的的话话，就就会会造造成成系系统统严严重重失失真真，甚甚至至不不稳稳定定。因因此此保保证证系系统统不不严严重重失失真真而而允允许许的的最最大大采采样样周周期期，是是一一个个采采样样系系统统首首先先要要解解决决的的问问题题。下下面面我我们就介绍解决这一问题的采样定理。们就介绍解决这一问题的采样定理。8-2 8-2 采样定理采样定理前前节节已已经经提提到到过过，连连续续信信号号e e经经采采样样后后的的离离散散信信号号e*e*为为一一脉脉冲冲序序列列。如如果果采采样样所所得得的的脉脉冲冲序序列列的的脉脉冲冲持持续续时时间间极极短短，以以至至远远小小于于采采样样周周期期及及系系统统连连续续部部分分的的时时间间常常数数，那那么么就就可可以以认认为为趋趋近近于于零零。在在这这种种情情况况下下，采采样样过过程程可可看看成成一一个个理理想想单单位位脉脉冲冲序序列列发发生生器器对对模模拟拟信信号号的的脉脉冲冲调调制制过过程程。设设单单位位脉脉冲冲序序列列发发生生器器产产生生的的单单位位脉脉冲冲序序列列T T（t t）如如图图8383所示，则所示，则T T（t t）的数学表达式）的数学表达式为 第3页，本讲稿共61页式中式中 T T采样周期采样周期 n n整数整数脉脉冲冲调调制制器器（采采样样器器）的的输输出出信信号号e*(t)e*(t)可表示为可表示为 在控制系统中，当在控制系统中，当t t0 0时。时。e e（t t）0 0。因此式（。因此式（8-28-2）可以改写）可以改写为为 对式（对式（8-38-3）取拉氏变换得）取拉氏变换得第4页，本讲稿共61页 为了建立为了建立 与与E(s)E(s)的关系，可求周期函数的关系，可求周期函数T T（t t）的富氏级数，）的富氏级数，其复数形式为其复数形式为式中式中 富氏系数富氏系数 这样，式（这样，式（8-28-2）可以写成下式）可以写成下式 对上式的两边前拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理可得对上式的两边前拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理可得 式（式（8-78-7）表明）表明 是是s s的周期性函数。通常的周期性函数。通常 的全部极点均位的全部极点均位于于s s平面的左半平面，因此，将平面的左半平面，因此，将s sjj代入式（代入式（8-78-7），则可以得到），则可以得到e*(t)e*(t)的频谱，的频谱，即即第5页，本讲稿共61页 该式反映了离散信号频谱与对应连续信该式反映了离散信号频谱与对应连续信号频谱之间的关系。设连续信号频谱为有号频谱之间的关系。设连续信号频谱为有限带宽频谱，其最大频率为限带宽频谱，其最大频率为m m，如图，如图8-48-4所示。则采样后离散信号的频谱如图所示。则采样后离散信号的频谱如图8-8-5 5所示，离散信号的频谱中，所示，离散信号的频谱中，n n0 0的部的部分称为主频谱，它与连续信号频谱是对分称为主频谱，它与连续信号频谱是对应的，另外，应的，另外，还包含了无穷多个高还包含了无穷多个高频频谱，如果频频谱，如果采样频率采样频率s s22m m，则，则 的主频谱与高频频谱之间互不重叠，的主频谱与高频频谱之间互不重叠，如如图图8-5a8-5a所示，因此，可以通过图中所示，因此，可以通过图中虚线所示虚线所示的低通滤波器，的低通滤波器，滤掉所有的高频频谱，只滤掉所有的高频频谱，只保留主频谱，从而，可以保留主频谱，从而，可以将离散信号不失真将离散信号不失真地还原为原来的连续信号。地还原为原来的连续信号。第6页，本讲稿共61页 如果采样频率如果采样频率s s22m m，如图，如图8-5b8-5b所示，主频谱与附加高频频所示，主频谱与附加高频频谱出现相互重叠时的情况。在这种情况下，就不可能利用滤波方谱出现相互重叠时的情况。在这种情况下，就不可能利用滤波方法来无畸变地复现采样前的连续信号了。法来无畸变地复现采样前的连续信号了。从从上上面面的的分分析析可可知知，采采样样系系统统为为了了能能使使采采样样后后的的信信号号得得到到复复现现，从从而而确确保保控控制制精精度度，应应该该使使采采样样频频率率大大于于两两倍倍连连续续信信号号频频谱谱中中的的最最高高频频率，这就称为采样定理。率，这就称为采样定理。采采样样定定理理的的物物理理意意义义是是，采采样样频频率率越越高高，就就是是采采样样周周期期越越小小，故故采采样样越越细细密密，采采样样的的精精度度就就越越高高，就就能能充充分分反反映映连连续续信信号号变变化化的的所所有有信信息息，因因此此就就可可以以按按要要求求复复现现。反反之之，采采样样频频率率低低，不不能能反反映映信信息息的的全全部部变变化化情情况况，即即由由于于在在两两个个采采样样时时刻刻之之间间的的连连续续信信号号变变化化较较大大，而而这这种种变变化化未未能能在在采采样样信信号号中中得得到到反反映映，故故就就不不能能按按一一定定精精度度复现原连续信号。复现原连续信号。需需要要指指出出，实实际际的的非非周周期期函函数数，其其频频谱谱中中的的最最高高频频率率是是无无限限的的，不不过过由由于于高高频频分分量量的的幅幅值值不不大大，因因此此通通过过低低通通滤滤波波后后的的信信号号基基本本上上能复现。能复现。第7页，本讲稿共61页在这种情况下，选择采样频率所依据的在这种情况下，选择采样频率所依据的最高频率怎么确定呢最高频率怎么确定呢?一般可一般可先先不考虑采样开关，按连续系统绘出开环波得图，取不考虑采样开关，按连续系统绘出开环波得图，取A A（）0.010.01，即，即 时的频率为最大频率时的频率为最大频率m m，则则采样周期采样周期T T为为这这样样选选取取采采样样周周期期，连连续续信信号号的的信信息息损损失失几几乎乎为为零零，故故可可将将采采样样系系统统看看成成连连续续系系统统来来分分析析，其其结结果果非非常常近近似似。当当然然，若若数数字字控控制制器器的的运运算算速速度度较较慢慢，也也可可按按m m1010c c（甚甚至至更更低低，c c为为剪剪切切频频率率）来来确确定定采采样样周周期期，但但是是，这这样样有有可可能能使使信信号号失失真真严严重重，系系统统性性能能指指标标变变差差，因因此此，要要用用采采样样系系统统分分析析方方法法仔仔细细分分析析、校校正正，才才能能使使系系统统到到达达较较好好的的性性能能指标。指标。8-3 8-3 采样信号的复现采样信号的复现连连续续信信号号经经采采样样和和运运算算后后，输输出出为为一一串串脉脉冲冲信信号号，如如果果不不把把这这串串脉脉冲冲信信号号复复现现成成连连续续信信号号，则则将将给给系系统统带带来来严严重重失失真真，系系统统性性能能指指标标发发生很大改变，特别是系统的快速性会大幅生很大改变，特别是系统的快速性会大幅第8页，本讲稿共61页低。因此，要想完整地复现采样信号，就必须在满足采样定理的低。因此，要想完整地复现采样信号，就必须在满足采样定理的条件下，通过图条件下，通过图8-5a8-5a中虚线所示理想滤波器将采样信号频谱中的中虚线所示理想滤波器将采样信号频谱中的附加高频频谱分量去掉。就可不失真的再现连续信号。当然理想附加高频频谱分量去掉。就可不失真的再现连续信号。当然理想滤波器实际上是不存在的。因此，在工程上通常用具有低通滤波滤波器实际上是不存在的。因此，在工程上通常用具有低通滤波特性的零阶保持器来近似代替。特性的零阶保持器来近似代替。零阶保持器零阶保持器是采用是采用恒值外推恒值外推的工作的工作方法，它把前一个时刻方法，它把前一个时刻nTnT的采样信号的采样信号e(nT)e(nT)不增不减地一直保持到下一个不增不减地一直保持到下一个采样时刻（采样时刻（n+1n+1）T T，从而使，从而使采样信采样信号变成阶梯信号，号变成阶梯信号，如图如图8686所示。所示。由由图图可可见见，再再现现出出的的信信号号与与原原连连续续信信号号是是有有较较大大差差别别的的，它它包包含含着着高高次次谐谐波波。若若将将梯梯形形输输出出信信号号各各中中点点连连接接起起来来，可可得得到到一一条条比比原原连连续续信信号号迟迟后后T/2T/2的的曲曲线线，据据此此可可以以直直观观地地看看出出零阶保持器的零阶保持器的迟后特性迟后特性。第9页，本讲稿共61页 为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函数和频率为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函数和频率特性。特性。零阶保持器的单位脉冲响应函数为零阶保持器的单位脉冲响应函数为 由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取拉氏变换可得由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取拉氏变换可得零阶保持器的传递函数为零阶保持器的传递函数为 零阶保持器的频率特性为零阶保持器的频率特性为第10页，本讲稿共61页绘绘出出零零阶阶保保持持器器的的频频率率特特性性如如图图8-78-7所所示示，其其幅幅值值随随频频率率增增高高而而衰衰减减，因因此此它它是是一一个个低低通通滤滤波波器器。但但不不是是理理想想滤滤波波器器，它它除除了了允允许许主主频频谱谱通通过过以以外外，还还通通过过了了一一部部分分高高频频分分量量。因因此此，零零阶阶保保特特器器所所复复现现的的信信号号并并不不是是毫毫无无畸畸变变的的，另另外外，从从相相频频特特性性上上可可以以看看到到，零零阶阶保保持持器器还还会会产产生生相相位位滞滞后后。因因此此，零零阶阶保保持持器器的的引引入入会会给给系系统统的的稳稳定定性性带带来来不不利利的影响。的影响。除除了了零零阶阶保保持持器器以以外外，还还可可以以有有一一阶阶、二二阶阶等等保保持持器器，但但由由于于它它们们实实现现起起来来比比较较复复杂杂，相相位位滞滞后后比比零零阶阶保保持持器器更更大大，故故很很少少应用。应用。采采样样信信号号通通过过零零阶阶保保持持器器后后高高频频分分量量已已大大大大降降低低，又又考考虑虑到到控控制制对对象象一一般般都都具具有有低低通通滤滤波波特特性性的的作作用用，致致使使采采样样带带来来的的高高频频分分量量对对系系统统输输出出的的影影响响很很小小。另另外外，若若s sm m，则则采采样样信信号号的的高高频频分分量量集集中中在在保保持持器器幅幅值值近近似似为为零零的的nns s（n n1 1、22）附附近近，如如图图8-78-7虚虚线线所所示示，这这样样，采采用用信信号号的的高高频频分分量量也也将将被被大大幅幅衰衰减减。也也就就是是说说，图图8-68-6中中矩矩形形脉脉冲冲越越多多，还还原原出出来来的的信信号号与与原原信信号号误误差差越越小小，相相位位迟迟后后也也越越小。小。第11页，本讲稿共61页 另外，从式（另外，从式（8-78-7）可以知道，）可以知道，采样后连续信号幅值被乘以采样后连续信号幅值被乘以1/T1/T，若不加零阶保持器则计算结果将与实际系统不符。若不加零阶保持器则计算结果将与实际系统不符。加入零阶保加入零阶保持器后连续信号幅值被乘以持器后连续信号幅值被乘以T T，正好和采样引起的幅值变化相抵消，正好和采样引起的幅值变化相抵消，即即系统的等效开环放大倍数不变。系统的等效开环放大倍数不变。由由于于当当今今计计算算机机的的价价格格已已经经较较低低，且且运运算算速速度度很很快快，所所以以工工业业数数字字控控制制系系统统均均采采用用计计算算机机作作为为脉脉冲冲控控制制器器，其其数数/模模转转换换电电路路就就相相当当于于一一个个零零阶阶保保持持器器，而而模模/数数转转换换电电路路就就相相当当于于一一个个采采样样开开关关。计计算算机机控控制制系系统统可可以以取取较较大大的的采采样样频频率率s s，故故能能很很好好地地复复现现连连续续信信号号，使使系系统统具具有有优优良良的的性性能能指指标标。另另外外，计计算算机机控控制制系系统统集集成成度度很很高高，从从而而提提高高了了系系统统的的可可靠靠性性，因因此此，计计算算机机控控制制系系统统作作为为采采样样控控制制系系统统的主流被广泛应用于各种自动化设备之中。的主流被广泛应用于各种自动化设备之中。84 84 差分方程和差分方程和Z Z变换变换第12页，本讲稿共61页一一、差差分分方方程程 n n阶阶线线性性连连续续系系统统被被采采样样离离散散化化后后，系统的数学模型可用系统的数学模型可用n n阶差分方程来描述，即阶差分方程来描述，即式中式中 n n系统阶数系统阶数 k k第第k k个采样周期。个采样周期。已知采样系统的差分方程和初始条件已知采样系统的差分方程和初始条件 ，则可用迭代法求得差分方程的时间解。，则可用迭代法求得差分方程的时间解。第13页，本讲稿共61页例如，积分环节例如，积分环节例如，积分环节例如，积分环节 在在在在r r(t t)=1()=1(t t)时的输出时的输出c c(t t)=)=t t，如图所示。采样后的差分方程为：如图所示。采样后的差分方程为：如图所示。采样后的差分方程为：如图所示。采样后的差分方程为：迭代出差分方程的解为：迭代出差分方程的解为：迭代出差分方程的解为：迭代出差分方程的解为：结果模拟信号采样的结果一样。结果模拟信号采样的结果一样。结果模拟信号采样的结果一样。结果模拟信号采样的结果一样。第14页，本讲稿共61页 但是，采样一般系统的差分方程是很难求得但是，采样一般系统的差分方程是很难求得的，用迭代法求得的差分方程的时间解又是脉的，用迭代法求得的差分方程的时间解又是脉冲序列，故直接用差分方程分析采样系统是非冲序列，故直接用差分方程分析采样系统是非常不方便的，通常是常不方便的，通常是将连续系统离散化后，对将连续系统离散化后，对传递函数进行传递函数进行Z变换，求出脉冲传递函数及输变换，求出脉冲传递函数及输出量的出量的Z变换，再用变换，再用Z反变换的方法可求得采样反变换的方法可求得采样系统输出的时间解。系统输出的时间解。必要时必要时也可由脉冲传递函也可由脉冲传递函数求得采样系统的差分方程。数求得采样系统的差分方程。第15页，本讲稿共61页下面先介绍下面先介绍Z Z变换及变换及Z Z反变换反变换。二二、Z Z变变换换的的定定义义 Z Z变变换换是是拉拉氏氏变变换换的的一一种种变变形形，是是由由采采样样信信号号的的拉拉氏氏变换演变而来的。变换演变而来的。8282中式（中式（8-48-4）给出的采样信号的拉氏变换为）给出的采样信号的拉氏变换为引引入入新新的的变变量量z z，并并令令z ze eTSTS代代入入上上式式就就得得到到采采样样信信号号e*(t)e*(t)的的Z Z变变换换E(z)E(z)为为式式中中 z z是是用用复复数数z z平平面面来来定定义义的的一一个个复复变变量量，T T为为采采样样周周期期。上上式式就就是是Z Z变换的定义。变换的定义。三三、Z Z变变换换的的求求取取 Z Z变变换换的的求求取取方方法法有有：级级数数求求和和法法、部部分分分分式式法法及留数计算法等，其中以部分分式法最常用。及留数计算法等，其中以部分分式法最常用。第16页，本讲稿共61页例例8-1 8-1 求单位阶跃函数的求单位阶跃函数的Z Z变换。变换。解解 设设e(t)=1(t)e(t)=1(t)，则，则Z Z变换变换E(z)E(z)为为这这是是一一个个等等比比级级数数，时时，级级数数收收敛敛，因因此此上上式式可可以以写写成成闭闭合合形形式式用用这这样样的的级级数数求求和和的的方方法法可可以以求求出出典典型型函函数数的的Z Z变变换换，如如表表8-18-1所示。所示。表表8-18-1典型函数的典型函数的Z Z变换变换 f f（t t）F(s)F(s)F(z)F(z)1 1 1 1 第17页，本讲稿共61页 第18页，本讲稿共61页 若函数是以拉氏变换形式若函数是以拉氏变换形式E(s)E(s)给出的，则可用给出的，则可用部分分式法部分分式法将将E(s)E(s)分解分解成多个典型函数拉氏变换的代数和的形式，然后再查对表成多个典型函数拉氏变换的代数和的形式，然后再查对表8-18-1，求出求出Z Z变换。变换。第19页，本讲稿共61页四、四、Z变换的基本定理变换的基本定理 与拉氏变换一样，与拉氏变换一样，Z变换也有几个变换也有几个基本定理，熟悉这些基本定理，可以更加方便地应用基本定理，熟悉这些基本定理，可以更加方便地应用Z变换。变换。1.线性定理线性定理2.迟后定理迟后定理 设设e（t）的）的Z变换为变换为E（z），则有），则有第20页，本讲稿共61页 迟后定理说明，原函数在时间域中延迟迟后定理说明，原函数在时间域中延迟k k个采样周期，相当于个采样周期，相当于其其Z Z变换乘以变换乘以 。3.3.终值定理终值定理设设e e（t t）的的Z Z变变换换为为E E（z z），且且 在在以以原原点点为为圆圆心心的的单单位位圆圆上上和圆外均无极点，则有和圆外均无极点，则有 4.4.初值定理初值定理设设e e（t t）的）的Z Z变换为变换为E E（z z），且），且 存在，则有存在，则有 5.5.超前定理超前定理设设e e（t t）的）的Z Z变换为变换为E E（z z），则有），则有第21页，本讲稿共61页若若初始条件初始条件 ，则超前定理可表示为，则超前定理可表示为 6.6.复数偏移定理复数偏移定理设设e e（t t）的）的Z Z变换为变换为E E（z z），则有），则有7.7.卷积和定理卷积和定理设设 则有则有 式中式中,当当n n为负数时，为负数时，第22页，本讲稿共61页例例8-2 8-2 求求 对应时间函数的对应时间函数的Z Z变换。变换。解解 查表查表8-18-1得得例例8-3 用用Z变换求积分环节变换求积分环节 的差分方程。的差分方程。为使信息不丢失，需加保持器，即：为使信息不丢失，需加保持器，即：结果与前面直接求的差分方程一样。结果与前面直接求的差分方程一样。第23页，本讲稿共61页五、五、Z反变换反变换 和拉氏反变换类似，和拉氏反变换类似，Z反变换可以表示为反变换可以表示为 Z Z反变换的方法有，长除法、部分分式法及留数计算法等，反变换的方法有，长除法、部分分式法及留数计算法等，其中其中以部分分式法最常用。以部分分式法最常用。例例8-3 8-3 用用部分分式法部分分式法求求 的的Z Z反变换。反变换。解解 用部分分式法将用部分分式法将E E（z z）展开为）展开为 式中式中 c c1 1、c c2 2为待定系数，由于典型函数的为待定系数，由于典型函数的Z Z变换的分子上均有一变换的分子上均有一个个z z（脉冲函数除外），所以展开时保留分子上的（脉冲函数除外），所以展开时保留分子上的z z。查表。查表8-18-1，并，并由线性定理得由线性定理得Z Z反变换为反变换为第24页，本讲稿共61页例例8-4 8-4 用用长除法长除法求求 的的Z Z反变换。反变换。解解 用长除法求得用长除法求得对上式取对上式取Z Z反变换为反变换为结果与例结果与例8-38-3一样。一样。第25页，本讲稿共61页从从上上例例看看出出，长长除除法法求求Z Z反反变变换换非非常常简简单单、方方便便，但但是是，求求出出的的是是离散函数的脉冲序列，要得到离散函数的闭合形式是比较困难的。离散函数的脉冲序列，要得到离散函数的闭合形式是比较困难的。85 85 脉冲传递函数脉冲传递函数一、基本概念一、基本概念 在在线线性性连连续续系系统统理理论论中中，把把初初始始条条件件为为零零的的情情况况下下系系统统输输出出信信号号的的拉拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定义为传递函数。普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定义为传递函数。与与此此相相类类似似，在在线线性性采采样样系系统统理理论论中中，把把初初始始条条件件为为零零的的情情况况下下系系统统的的离离散散输输出出信信号号的的z z变变换换与与离离散散输输入入信信号号的的z z变变换换之之比比，定定义义为为脉脉冲冲传传递递函函数数，或或称称z z传传递递函函数数。它它是是线线性性采采样样系系统统理理论论中中的的一一个个重重要要概概念。念。对于图对于图8-88-8所示的采样系统，脉冲传递函数为所示的采样系统，脉冲传递函数为 第26页，本讲稿共61页 如果已知系统的脉冲传递函数和输入量的如果已知系统的脉冲传递函数和输入量的Z Z变换，由上式变换，由上式可求出采样系统的可求出采样系统的离散输出信号为离散输出信号为 在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入端采样开关的相同。端采样开关的相同。第27页，本讲稿共61页二、采样系统的开环脉冲传递函数二、采样系统的开环脉冲传递函数 讨讨论论采采样样系系统统的的开开环环脉脉冲冲传传递递函函数数时时，应应该该注注意意图图8989中中所所示示的两种不同的情况。的两种不同的情况。在图在图89a89a所示的开环系统中，所示的开环系统中，两个串联环节之间有采样开关两个串联环节之间有采样开关脉冲传递函数可由下式求得脉冲传递函数可由下式求得 即即系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g(t)g(t)，经过采样后，经过采样后的离散信号的离散信号g*(t)g*(t)的的z z变换。变换。又由于单位脉冲响应又由于单位脉冲响应g(t)g(t)等于传递函等于传递函数数G G（s s）的拉氏反变换，故）的拉氏反变换，故可根据部分分式法直接由可根据部分分式法直接由 G G（s s）求）求出系统的脉冲传递函数出系统的脉冲传递函数G G（z z）。）。第28页，本讲稿共61页存在，这时存在，这时 X(z)G1(z)R(z)C(z)=G2(z)X(z)=G2(z)G1(z)R(z)由此可得由此可得 G(z)=C(z)/R(z)=G G(z)=C(z)/R(z)=G1 1(z)G(z)G2 2(z)(z)上上式式表表明明，有有采采样样开开关关分分隔隔的的两两个个环环节节串串联联时时，其其脉脉冲冲传传递递函函数数等等于于两两个个环环节节的的脉脉冲冲传传递递函函数数之之积积。上上述述结结论论可可以以推推广广到到有有采采样开关隔离的样开关隔离的n n个环节串联的情况。个环节串联的情况。在在图图89b89b所所示示的的系系统统中中，两两个个串串联联环环节节之之间间没没有有采采样样开开关关隔隔离离。这这时时系统的开环脉冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为 G(z)=C(z)/R(z)=Z G(z)=C(z)/R(z)=ZG G1 1(s)G(s)G2 2(s)(s)G G1 1G G2 2(z)(z)请请读读者者注注意意，脉脉冲冲传传递递函函数数书书写写方方式式的的区区别别，G G1 1(z)G(z)G2 2(z)(z)表表示示两两个个环环节节分分别别被被采采样样开开关关隔隔开开，必必须须先先求求各各自自的的Z Z变变换换，然然后后再再相相乘乘；G G1 1G G2 2(z)(z)表表示示两两个个环环节节没没有有被被采采样样开开关关隔隔开开，必必须须先先将将两两个个环环节节的的传传递递函函数数相乘，然后再求相乘，然后再求Z Z变换。变换。通常，通常，G G1 1(z)G(z)G2 2(z)G(z)G1 1G G2 2(z)(z)。第29页，本讲稿共61页例例8-5 8-5 设设在在图图8-98-9中中 。求求系系统统的的开开环环脉脉冲冲传递函数。传递函数。解解 图图8-9a8-9a所示系统的开环脉冲传递函数为所示系统的开环脉冲传递函数为 图图8-9b8-9b所示系统的开环脉冲传递函数为所示系统的开环脉冲传递函数为 显然，有无采样开关隔开其结果是大不一样的。显然，有无采样开关隔开其结果是大不一样的。三、采样系统的闭环脉冲传递函数三、采样系统的闭环脉冲传递函数在在采采样样控控制制系系统统中中，由由于于采采样样器器的的设设置置方方式式是是多多样样的的，因因此此闭闭环环系系统统的的结结构构形形式式也也不不统统一一。比比较较常常见见的的系系统统结结构构之之一一如如图图8-108-10所所示示。图图中中输输出出端端的的采采样样开开关关是是为为了了便便于于分分析析而而虚虚设设，由由图图可可知知，误误差差的的Z Z变变换换为为 第30页，本讲稿共61页以以误误差差 的的采采样样信信号号为为输输入入量量，可以得可以得 到反馈量到反馈量B B（s s）为）为故反馈量的故反馈量的Z Z变换为变换为 将上式代入式（将上式代入式（8-268-26）整理得）整理得 仿照连续系统，仿照连续系统，把把e e（z z）称为误差脉冲传递函数。）称为误差脉冲传递函数。又因系统的输出为又因系统的输出为第31页，本讲稿共61页将式（将式（8-278-27）代入上式可得）代入上式可得系统脉冲传递函数为系统脉冲传递函数为综综上上所所述述，采采样样系系统统方方框框图图的的等等效效变变换换方方法法与与连连续续系系统统一一样样，只只是是要要注注意意各各环环节节被被采采样样开开关关分分隔隔的的情情况况，若若输输入入量量与与前前向向通通道道某某环环节节之之间间无无采采样样开开关关，则则脉脉冲冲传传递递函函数数不不能能写写成成式式（8-288-28）那那样样的的形形式式，而而只只能能写写成输出量成输出量Z Z变换的形式。变换的形式。例例8-6 8-6 求求图图8 81111所所示示系系统统的的脉脉冲冲传递函数。传递函数。解解 前前向向通通道道中中，R(s)R(s)与与G G1 1（s s）之之间无采样开关，必须先相乘间无采样开关，必须先相乘 后取后取Z Z变换，反馈环中，变换，反馈环中，G G3 3（s s）、）、H(s)H(s)、G G1 1（s s）之间无采样开）之间无采样开关，也必须先相乘后取关，也必须先相乘后取Z Z变换，故求得系统输出量的变换，故求得系统输出量的Z Z变换为变换为第32页，本讲稿共61页 86 86 采样系统的性能分析采样系统的性能分析分分析析采采样样传传统统性性能能指指标标时时，应应注注意意两两点点，第第一一，若若无无零零阶阶保保持持器器，则则必必须须将将开开环环放放大大倍倍数数乘乘上上采采样样周周期期T T，再再进进行行分分析析，因因为为，采采样样后后相相当当于于开开环环放放大大倍倍数数除除了了一一个个T T，乘乘上上一一个个T T后后才才能能抵抵消消这这一一影影响响，使使计计算算结结果果与与实实际际结结果果一一致致。第第二二，若若无无零零阶阶保保持持器器，除除了了将将开开环环放放大大倍倍数数乘乘上上T T外外，还还必必须须满满足足n nm m2 2（n n、m m传传递递函函数数分分母母、分分子子阶阶数数），这这样样才才能能避避免免信信号号在在采采样样点点前前后后的的跳跳变变，否否则则计计算算结结果果将将与与实实际际结结果果相相差差很大。很大。一、采样控制系统的稳态误差一、采样控制系统的稳态误差连连续续系系统统稳稳态态误误差差的的分分析析方方法法可可以以推推广广到到采采样样系系统统中中来来，只只是是拉氏变换与拉氏变换与Z Z变换的终值定理有所不同，其方法有些不同而已。变换的终值定理有所不同，其方法有些不同而已。对对于于图图8-108-10所所示示采采样样系系统统，误误差差的的定定义义与与连连续续类类似似，即即误误差差等等于于输入量减反馈量，式（输入量减反馈量，式（8-278-27）已经给出了误差脉冲传递函数，即）已经给出了误差脉冲传递函数，即第33页，本讲稿共61页 当采样系统为当采样系统为l l型系统，即型系统，即GH(z)GH(z)中包含一个积分环节时，中包含一个积分环节时，GH(z)GH(z)具有一个具有一个z z1 1的极点，这时，的极点，这时，K Kp p，e esrsr0 0。设闭环系统稳定，根据设闭环系统稳定，根据Z Z变换的终值定理可以求出在输入信号作变换的终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的用下采样系统的稳态误差终值稳态误差终值 上式表明，采样系统的稳态误差决定于系统的脉冲传递函数上式表明，采样系统的稳态误差决定于系统的脉冲传递函数GH(z)GH(z)和和输入信号的形式。输入信号的形式。下面讨论三种典型输入信号的情况下面讨论三种典型输入信号的情况 1.1.输入信号为单位阶跃函数输入信号为单位阶跃函数 ，代入式（，代入式（8-298-29），得），得 为系统的为系统的位置误差系数。位置误差系数。第34页，本讲稿共61页2.2.输入信号为单位斜坡信号输入信号为单位斜坡信号 ，代入式（，代入式（8-298-29），得），得 为系统的为系统的速度误差系数。速度误差系数。为系统的为系统的加速度误差系数加速度误差系数。当采样系统为当采样系统为0 0和和1 1型系统时，型系统时，K Kv v0 0，e esrsr。当采样系统为当采样系统为0 0型系统，即型系统，即GH(z)GH(z)中不包含一个积分环节时，中不包含一个积分环节时，GH(z)GH(z)没有没有z z1 1的极点，这时，的极点，这时，K Kv v0 0，e esrsr。当采样系统为当采样系统为2 2型系统，即型系统，即GH(z)GH(z)中包含两个积分环节时，中包含两个积分环节时，GH(z)GH(z)有两个有两个z z1 1的极点，这时，的极点，这时，K Kv v，e esrsr0 0。3.3.输入信号为单位抛物信号输入信号为单位抛物信号 ，代入式（，代入式（8-298-29），得），得第35页，本讲稿共61页二、采样控制系统的稳定条件二、采样控制系统的稳定条件下下面面通通过过Z Z反反变变换换直直接接求求出出采采样样系系统统输输出出信信号号的的采采样样信信号号来来分分析析采样系统的性能。采样系统的性能。设采样系统的设采样系统的闭环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为设设闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数的的极极点点为为i i （i=1i=1、2 2、n n，假假设设无无重重极极点点）。设设输输入入为为单单位位阶阶跃跃函函数数，即即 ，代代入入式式（8-338-33）并并用用部分分式法展开，得到输出的部分分式法展开，得到输出的Z Z变化为变化为对上式进行对上式进行Z Z反变换得系统输出的采样信号为反变换得系统输出的采样信号为第36页，本讲稿共61页上上式式中中，第第一一项项为为系系统统输输出出采采样样信信号号的的稳稳态态分分量量，与与系系统统暂暂态态性性能能及及稳稳定定性性无无关关。第第二二项项为为系系统统输输出出采采样样信信号号的的暂暂态态分分量量，该该项项与与系系统统暂暂态态性性能能及及稳稳定定性性密密切切相相关关。随随时时间间的的增增长长暂暂态态分分量量趋趋于于零零采采样样系系统统稳稳定定，因因此此，闭闭环环极极点点i i在在Z Z平平面面的的位位置置决决定定了了系系统统的的暂暂态态性性能能及及稳稳定定性性。随随着着k k趋趋于于无无穷穷大大，若若所所有有闭闭环环极极点点的的模模|i i|1 1，则则暂暂态态分分量量趋趋于于零零，系系统统稳稳定定。反反之之，只只要要有有一一个个极极点点的的模模|i i|1 1，则则暂暂态态分分量量不不可可能能趋趋于于零零，系系统不稳定。若统不稳定。若|i i|1 1，系统处于临界稳定。，系统处于临界稳定。另另外外，由由第第三三章章中中已已知知，线线性性连连续续系系统统稳稳定定的的充充分分和和必必要要条条件件是是系系统统特特征征方方程程的的所所有有根根都都位位于于s s平平面面虚虚轴轴的的左左半半部部，即即都都具具有有负负实实部。部。我我们们知知道道Z Z变变换换是是拉拉氏氏变变换换的的变变形形，即即对对线线性性采采样样系系统统进进行行了了拉拉氏氏变变换换以以后后，令令 ，因因此此要要用用Z Z平平面面分分析析系系统统的的稳稳定定性性，首先要弄清这两个复平面的映射关系。首先要弄清这两个复平面的映射关系。如图如图8-128-12所示，所示，S S平面的虚轴为平面的虚轴为s sjj，对应的复变量，对应的复变量 ，即即S S平面的虚轴对应于平面的虚轴对应于Z Z平面上圆心在坐标圆点的单位圆。在平面上圆心在坐标圆点的单位圆。在S S平平面的左半平面上的任意一点其实部均小于零，即面的左半平面上的任意一点其实部均小于零，即第37页，本讲稿共61页s sjj（00）,对应的复变量对应的复变量 ，其幅值其幅值 。因此，因此，S S平面的左半平面相当于平面的左半平面相当于Z Z平面上圆平面上圆心在坐标圆点的单位圆的内部。心在坐标圆点的单位圆的内部。设采样系统的闭环脉冲传递函数为设采样系统的闭环脉冲传递函数为 相应的相应的特征方程式为特征方程式为 1 1十十GH(z)GH(z)0 0系系统统特特征征方方程程式式的的根根1 1，2 2，n n 。即即为为闭闭环环脉脉冲冲传传递递函数的极点。函数的极点。根根据据以以上上的的分分析析可可知知，闭闭环环采采样样系系统统稳稳定定的的充充分分和和必必要要条条件件是是，系系统统特特征征方方程程的的所所有有根根（即即闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数的的极极点点）均均位位于于Z Z平面上以原点为圆心的单位圆之内。平面上以原点为圆心的单位圆之内。第38页，本讲稿共61页三、采样控制系统的暂态性能三、采样控制系统的暂态性能像像连连续续系系统统一一样样，对对于于高高阶阶系系统统首首先先要要确确定定对对系系统统性性能能影影响响最最大大的的主主导导极极点点，显显然然,|,|i i|越越小小，即即极极点点越越靠靠近近Z Z平平面面的的坐坐标标原原点点，衰衰减减越越快快，对对系系统统性性能能影影响响越越小小，故故可可忽忽略略不不计计。|i i|越越靠靠近近单单位位圆圆，衰衰减减越慢，对系统性能影响越大，故越慢，对系统性能影响越大，故可视为主导极点。可视为主导极点。1.1.主主导导极极点点i i为为正正实实数数(0(0i i1)1)系系统统近近似似为为一一阶阶系系统统，系系统统的的单位阶跃响应为单调上升的脉冲序列，无超调量。单位阶跃响应为单调上升的脉冲序列，无超调量。2.2.主主导导极极点点i i为为负负实实数数(11i i0)0)系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应为为衰衰减振荡的脉冲序列，系统出现超调量。减振荡的脉冲