高考数学一轮复习讲义 10.1 分类计数原理与分步计数原理课件.ppt
一轮复习讲义一轮复习讲义分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 2021/8/11 星期三1忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点2021/8/11 星期三2忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点2021/8/11 星期三32021/8/11 星期三42021/8/11 星期三5分类计数原理分类计数原理分类计数原理分类计数原理 2021/8/11 星期三62021/8/11 星期三750 2021/8/11 星期三8分步计数原理分步计数原理分步计数原理分步计数原理 2021/8/11 星期三92021/8/11 星期三102021/8/11 星期三112021/8/11 星期三12两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 2021/8/11 星期三132021/8/11 星期三142021/8/11 星期三152021/8/11 星期三162021/8/11 星期三172021/8/11 星期三182021/8/11 星期三192021/8/11 星期三2012分类不准、计数原理使用不当致误分类不准、计数原理使用不当致误 2021/8/11 星期三212021/8/11 星期三22正确答案正确答案 112021/8/11 星期三232021/8/11 星期三242021/8/11 星期三25排列、组合排列、组合计数原理计数原理计计数数原原理理二项式定理二项式定理组合组合通项通项二项式定理二项式定理二项式系数性质二项式系数性质分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理排列排列排列的定义排列的定义排列数公式排列数公式组合的定义组合的定义组合数公式组合数公式组合数性质组合数性质应应用用2021/8/11 星期三26 名称内容加法原理加法原理乘法原理乘法原理定定 义义相同点相同点不同点不同点做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接直接(分类分类)完成完成间接间接(分步骤分步骤)完成完成 做做一一件件事事,完完成成它它可可以以有有n类类办办法法,第第一一类类办办法法中中有有m1种种不不同同的的方方法法,第第二二类类办办法法中中有有m2种种不不同同的的方方法法,第第n类类办办法法中中有有mn种种不不同同的的方方法法,那那么么完完成成这这件件事事共共有有N=m1+m2+m3+mn种种不同的方法不同的方法.做做一一件件事事,完完成成它它可可以以有有n个个步步骤骤,做做第第一一步步中中有有m1种种不不同同的的方方法法,做做第第二二步步中中有有m2种种不不同同的的方方法法,第第n步步中中有有mn种种不不同同的的方方法法,那那么么 完完 成成 这这 件件 事事 共共 有有N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.1.两个原理的区别于联系两个原理的区别于联系2021/8/11 星期三27 【结论】【结论】集合集合A中有中有m个元素，集合个元素，集合B中有中有n个元素，个元素，那么从那么从A到到B可以构造可以构造nm个映射个映射.解解:第一步，给第一步，给a找对应元素，有找对应元素，有3种方法；种方法；第二步，给第二步，给b找对应元素，有找对应元素，有3种方法；种方法；第三步，给第三步，给c找对应元素，有找对应元素，有3种方法；种方法；第四步，给第四步，给d找对应元素，有找对应元素，有3种方法；种方法；第五步，给第五步，给e找对应元素，有找对应元素，有3种方法种方法.例例1.设设 A=a,b,c,d,e,B=x,y,z,从从A到到B共有多少共有多少 种不同的映射种不同的映射?一一 映射个数问题映射个数问题形成一个映射形成一个映射,就是让就是让A中所有元素都找到对应元素中所有元素都找到对应元素.则共有方法种数则共有方法种数N=35.2021/8/11 星期三28例例1.设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共共有多少种不同的映射有多少种不同的映射?【1】设】设A=1,2,3,B=4,5,6,从从A到到B满足满足1的象是的象是4的映射有多少种的映射有多少种?【2】设集合】设集合A=x,y,z,B=-1,0,1,映射映射f:AB满足满足f(x)+f(y)+f(z)=0的映射的映射有多少有多少种种?2021/8/11 星期三29 【3】已知集合】已知集合Aa,b,c,d,集合集合B1,2,3,4,5,集合集合C=e,f,g,h.(1)从集合从集合B 到集合到集合A可以建立多少个不同的映射可以建立多少个不同的映射?(2)在集合在集合A到集合到集合B的映射中的映射中,若要求集合若要求集合A中的不同中的不同元素的象也不同元素的象也不同,这样的映射有多少个这样的映射有多少个?(3)从集合从集合A到集合到集合C可以建立多少个一一映射可以建立多少个一一映射?2021/8/11 星期三30例例2.集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数为它的子集个数为_,真子集个数为真子集个数为_,非空子集个数为非空子集个数为_,非空真子集个数为非空真子集个数为_.二二 子集问题子集问题 【1】集合集合M满足满足1,2 M 0,1,2,3,4,5,则这样的集合则这样的集合M有多少个？有多少个？2021/8/11 星期三31真子集有真子集有_个，个，非空子集个数为非空子集个数为_，非空真子集个数有非空真子集个数有_.【规律】【规律】n元集合元集合a1,a2,an,的的不同子集有个不同子集有个_个个.2n二二 子集问题子集问题2021/8/11 星期三32解解:按地图按地图A,B,C,D四个区域依次分四步完成四个区域依次分四步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,三、着色问题三、着色问题例例3.如如图图,要要给给地地图图A,B,C,D四四个个区区域域分分别别涂涂上上3种种不不同同颜颜色色中中的的某某一一种种,允允许许同同一一种种颜颜色色使使用用多多次次,但但相相邻邻区域必须涂不同的颜色区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有得到不同的涂色方案种数共有N=3211=6 种种.2021/8/11 星期三33例例3.如如图图,要要给给地地图图A,B,C,D四四个个区区域域分分别别涂涂上上3种种不不同同颜颜色色中中的的某某一一种种,允允许许同同一一种种颜颜色色使使用用多多次次,但但相相邻邻区域必须涂不同的颜色区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？三、着色问题三、着色问题2021/8/11 星期三34 用红用红,黄黄,绿绿,黑四种不同的颜色涂入下图中黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都不要求相邻的两个区域的颜色都不相同相同,则有多少种不同的涂色方法？则有多少种不同的涂色方法？当当B B与与D D不同色时不同色时,有有4 3 2 1 1=24种种.A AB BC CD DE E解解:当当B B与与D D同色时同色时,有有4 3 2 1 2=48种种;故共有故共有48+24=72种不同的涂色方法种不同的涂色方法.2021/8/11 星期三35点点评评:像像这这类类给给区区域域涂涂色色的的问问题题,我我们们应应该该给给区区域域依依次次标标上上相相应应的的序序号号,以以便便分分析析问问题题,在在给给各各区区域域涂涂色色时时,要要注注意意不不同同的的涂涂色色顺顺序序其其解解题题就就有有繁简之分繁简之分.A AB BC CD DE E 如如本本例例若若按按A A、B B、E E、D D、C C顺顺序序涂涂色色时时,在在最最后后给给区区域域C C涂涂色色时时,就就应应考考虑虑A A与与E E是是否否同同色色,B B与与D D是是否否同同色色这这两两种种情情况况.因因此此在在分分析析解解决决这这类类问问题题时时,应应按按不不同同的的涂涂色色顺顺序序多多多多尝尝试试,看看那那一一个最简单个最简单.本例易错点本例易错点:未考虑未考虑B B与与D D是否同色是否同色.2021/8/11 星期三36 (2003年年全全国国高高考考题题)如如图图所所示示,一一个个地地区区分分为为5个个行行政政区区域域,现现给给地地图图着着色色,要要求求相相邻邻区区域域不不得得使使用用同同一一颜颜色色,现现有有4种种颜颜色色可可供供选选择择,则则不不同的着色方法有同的着色方法有_种种.(以数字作答以数字作答)同类变式同类变式解解:因因区区域域1与与其其他他四四个个区区域域都都相相邻邻,宜宜先先考考虑虑区区域域1,有有4种涂法种涂法.134252021/8/11 星期三37同类变式同类变式(2)若若区区域域2,4不不同同色色,先先涂涂区区域域2有有3种种方方法法,再再涂涂区区域域4有有2种种方方法法,此此时时区区域域3,5也也都都只只有有1种种涂涂法法,涂法总数为涂法总数为4 3 2 1=24种种,因此涂法共有因此涂法共有72种种.(1)若区域若区域2,4同色同色,有有3种涂法种涂法,此时区域此时区域3,5均有均有两种涂法两种涂法,涂法总数为涂法总数为4 3 2 2=48种种;134252021/8/11 星期三38例例4.用用0,1,2,3,4,5这六个数字这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的六位可以组成多少个各位数字不允许重复的六位的自然数？的自然数？(2)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数的奇数?(3)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数的自然数?(4)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000,小于小于5421且各位数且各位数字不允许重复的四位数字不允许重复的四位数?四、排数字问题四、排数字问题2021/8/11 星期三39 【1】1,2,3,4数字可以组成多少个没有重复数字数字可以组成多少个没有重复数字能被能被3整除的三位数？整除的三位数？【2】随随着着人人们们生生活活水水平平的的提提高高，某某城城市市家家庭庭汽汽车车拥拥有有量量迅迅速速增增长长，汽汽车车牌牌照照号号码码需需要要扩扩容容.交交通通管管理理部部门门出出台台了了一一种种汽汽车车牌牌照照组组成成办办法法，每每一一个个汽汽车车牌牌照照都都必必须须有有个个不不重重复复的的英英文文字字母母和和个个不不重重复复的的阿阿拉拉伯伯数数字字,并并且且个个字字母母必必须须合合成成一一组组出出现现,个个数数字字也也必必须须合合成成一一组组出出现现，那那么么这这种种办法共能给多少辆汽车上牌照办法共能给多少辆汽车上牌照?2021/8/11 星期三40第二步第二步:让与甲取走的卡片相对应的人来拿让与甲取走的卡片相对应的人来拿,有有3种拿种拿法法.(例如甲拿的是例如甲拿的是2，则乙有，则乙有3种拿法种拿法.)总的方法数总的方法数 N=3311=9.方法一方法一:采用采用”分步分步”处理处理第一步第一步:甲先拿甲先拿,按规定甲可拿按规定甲可拿2，3，4当中的一张当中的一张,有有3种方法种方法.第三步第三步:让剩余的两个人拿，都均有让剩余的两个人拿，都均有1种拿法种拿法.例例5.同同室室4人人各各写写1张张贺贺年年卡卡，先先集集中中起起来来，然然后后每每人人从从中中各各拿拿1张张别别人人送送出出的的贺贺年年卡卡，则则4张张贺贺年年卡卡不不同同的的分配方式有分配方式有 种种.五、综合问题五、综合问题92021/8/11 星期三41树图法树图法甲甲乙乙丙丙丁丁21 3 44 4 13 1 331 4 42 2 14 1 241 3 32 1 23 2 1解解:四名同学分别为四名同学分别为:甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁,所写贺卡依次为所写贺卡依次为 1，2，3，4.2021/8/11 星期三42例例6.自然数自然数4320有多少个正约数？有多少个正约数？解：解：432025335,其正约数的结构式为其正约数的结构式为其中其中可取可取0,1,2,3,4,5;可取可取0,1,2,3;可取可取0,1.即在即在,所形成的取值集合中所形成的取值集合中,各取一个元素填各取一个元素填入上式入上式,就得就得4320的一个约数的一个约数.第一步：取第一步：取20，21，22，23，24，25有有6种种;第二步：取第二步：取30，31，32，33有有4种；种；第三步：取第三步：取50，51有有2种种.由分步计数原理，共有由分步计数原理，共有64248种种.2021/8/11 星期三43【1】630630的不同的正的不同的正约约数的个数是数的个数是_.解解:63023257 【2】5张张1元币，元币，4张张1角币，角币，1张张5分币，分币，2张张2分币，可组成分币，可组成_种不同的币值？种不同的币值？(1张不取，张不取，即即0元元0分分0角不计在内角不计在内)元：元：0，1，2，3，4，5角：角：0，1，2，3，4分：分：0，2，4，5，7，9 65611791792021/8/11 星期三44 【3】三三边边长长均均为为整整数数,且且最最大大边边长长为为11的的三三角形共有多少个角形共有多少个?解解:另另两两边边长长用用x,y表表示示,且且不不妨妨设设1xy11,要要构构成成三三角角形形,必须必须x+y12.当当 y=11时时,有有11个三角形个三角形;当当 y=10时时,有有9个三角形个三角形;当当 y=6时时,有有1个三角形个三角形;所以所以,所求三角形的个数共有所求三角形的个数共有2021/8/11 星期三45 【3】在所有的两位数中】在所有的两位数中,个位数字大于十位个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？数字的两位数共有多少个？分析分析1:按个位数字是按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类类,在在每一类中满足条件的两位数分别是每一类中满足条件的两位数分别是 1个个,2个个,3个个,4个个,5个个,6个个,7 个个,8 个个.则根据加法原理共有则根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个个).分析分析2:按十位数字是按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成分成8类类,在在每一类中满足条件的两位数分别是每一类中满足条件的两位数分别是 8个个,7个个,6个个,5个个,4个个,3个个,2个个,1个个.则根据加法原理共有则根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个)2021/8/11 星期三46例例7.一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有个拨号盘，每个拨号盘上有从从0到到9共共10个数字，这个数字，这4个拨号盘可以组成多少个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？个四位数字的号码？解：解：1010101010 000.用用0,1,2,，9可以组成多少个可以组成多少个8位码位码；1010101010101010108.9101010101010109107.用用0,1,2,，9可以组成多少个可以组成多少个8位整数；位整数；2021/8/11 星期三4791010109 00099874 536用用0,1,2,，9可以组成多少个可以组成多少个无重复数无重复数字的字的4位整数；位整数；用用0,1,2,，9可以组成多少个可以组成多少个有有重复数字重复数字的的4位整数；位整数；例例7.一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有个拨号盘，每个拨号盘上有从从0到到9共共10个数字，这个数字，这4个拨号盘可以组成多少个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？个四位数字的号码？2021/8/11 星期三48例例8.4 4个个人人各各写写一一张张贺贺年年卡卡,放放在在一一起起,然然后后每每个个人人取取一一张张不不是是自自己己写写的的贺贺年年卡卡,共共有有多多少少种种不不同同的取法的取法?解解:把把4个个人人编编号号为为甲甲、乙乙、丙丙、丁丁,他他们们写写的的4张张贺贺年年卡卡依依次次为为、，则则取取贺贺年年卡的各种方法全部列举出来为卡的各种方法全部列举出来为4人各种各种取取贺年卡的方法贺年卡的方法甲甲乙乙丙丙丁丁2021/8/11 星期三49例例4.4 4个个人人各各写写一一张张贺贺年年卡卡,放放在在一一起起,然然后后每每个个人人取取一一张张不不是是自自己己写写的的贺贺年年卡卡,共共有有多多少少种种不不同同的取法的取法?解解:把把4个个人人编编号号为为甲甲、乙乙、丙丙、丁丁,他他们们写写的的4张张贺贺年年卡卡依依次次为为、，则则取取贺贺年年卡卡的各种方法全部列举出来为的各种方法全部列举出来为2021/8/11 星期三50个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析分析1:按个位数字是按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类类,在在每一类中满足条件的两位数分别是每一类中满足条件的两位数分别是 1个个,2个个,3个个,4个个,5个个,6个个,7 个个,8 个个.则根据加法原理共有则根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个个).分析分析2:按十位数字是按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成分成8类类,在在每一类中满足条件的两位数分别是每一类中满足条件的两位数分别是 8 8个个,7,7个个,6,6个个,5,5个个,4,4个个,3,3个个,2,2个个,1,1个个.则根据加法原理共有则根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).2021/8/11 星期三51 【2】集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4.从从 A,B 中各取中各取1个元素作为点个元素作为点P(x,y)的坐标的坐标 (1)可以得到多少个不同的点？可以得到多少个不同的点？(2)这些点中，位于第一象限的有几个？这些点中，位于第一象限的有几个？(1)344324(2)222282021/8/11 星期三52
