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第四章机器人运动学第1页，本讲稿共39页4.1.1D-H方法建立坐标系方法建立坐标系第2页，本讲稿共39页Oi关节关节i和和i+1轴线的公垂线与关节轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点。关节轴线的交点。关节i和和i+1的轴线相交时，的轴线相交时，Oi选在交点上；关节选在交点上；关节i和和i+1的轴线平行时，的轴线平行时，Oi选在选在使使di+1=0处（关节处（关节i+1和和i+2的公垂线与关节的公垂线与关节i+1轴线的交点处）。轴线的交点处）。A）中间连杆坐标系的建立中间连杆坐标系的建立相交时相交时平行时平行时Zi与关节与关节i+1的轴线重合，方向任意的轴线重合，方向任意第3页，本讲稿共39页Xi与与关关节节i和和i+1轴轴线线的的公公垂垂线线重重合合，指指向向为为ii+1；关关节节i和和i+1的的轴轴线线相相交交时时，Xi/（Zi-1Zi）；关关节节i和和i+1的的轴轴线线平平行行时时，选选定定Oi，Xi为过点为过点Oi且与关节且与关节i和和i+1的公垂线重合，指向为的公垂线重合，指向为ii+1Yi与与Zi和和Xi构成右手系，即构成右手系，即Yi=ZiXi第4页，本讲稿共39页连杆四参数连杆四参数（）ai是是Zi-1和和Zi两两轴轴线线的的公公垂垂线线长长度度，一一般般称称ai为为连连杆杆长长度度。它它是是从从Zi-1到到Zi沿沿Xi测量的距离；测量的距离；ai-1（）两两公公垂垂线线ai-1和和ai之之间间的的距距离离称称为为连连杆杆距距离离di，或或者者称称为为两两连连杆杆的的偏偏置置。它是从它是从Xi-1到到Xi沿沿Zi-1测量的距离；测量的距离；（）Zi-1轴轴与与Zi轴轴之之间间的的夹夹角角为为i，i称称为为扭扭转转角角。它它是是从从Zi-1到到Zi绕绕Xi旋旋转转的的角角度度，右旋为正右旋为正。（）Xi-1轴轴与与Xi轴轴之之间间的的夹夹角角i，一一般般称称i为为连连杆杆的的夹夹角角，或或称称为为两两连连杆杆的的关关节节角角。它是从它是从Xi-1到到Xi绕绕Zi-1旋转的角度，旋转的角度，右旋为正右旋为正；第5页，本讲稿共39页C）手爪坐标系手爪坐标系z轴设在手指接近物体的方轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量向，称为接近矢量；y轴设在轴设在两手指的连线方向，称为方位两手指的连线方向，称为方位矢量矢量；x轴由右手系确定，即轴由右手系确定，即，称为法向矢量。，称为法向矢量。a(z)o(y)n(x)B）基座坐标系和基座坐标系和n坐标系的确定坐标系的确定从基座到末端执行器，给各关节依次标号：从基座到末端执行器，给各关节依次标号：1，2，、，、，n；在基座上设置右手直角坐标系在基座上设置右手直角坐标系O0，使使Z0沿着关节沿着关节1的轴线，的轴线，X0或或Y0可以任选。可以任选。最后一个坐标系最后一个坐标系On与末端执行器（手爪）的坐与末端执行器（手爪）的坐标系重合。标系重合。第6页，本讲稿共39页下面来建立下面来建立i-1和和i坐标系之间的变换关系。坐标系之间的变换关系。D）A矩阵和矩阵和T矩阵矩阵Tn=A1 A2 A3AnA矩矩阵阵表表示示两两连连杆杆相相对对位位姿姿关关系系的的矩矩阵阵，也也称称着着连连杆杆变变换换矩矩阵阵。Ai为为连连杆杆i相相对对于于连连杆杆i-1的的变变换换矩矩阵阵，即即。两两个个或或两两个以上的个以上的A矩阵的乘积称为矩阵的乘积称为T矩阵。矩阵。T=A1 A2T3=A1 A2 A3第7页，本讲稿共39页对于对于 旋转关节：旋转关节：（1）绕绕Zi-1轴旋转轴旋转i角，使角，使Xi-1轴与轴与Xi轴和轴和Zi-1轴在同一平面上；轴在同一平面上；（2）沿沿Zi-1轴平移一距离轴平移一距离di，使使Xi-1轴与轴与Xi轴重合；轴重合；（3）沿沿Xi轴轴平平移移一一距距离离ai，使使连连杆杆i-1的的坐坐标标系系原原点点与与连连杆杆i的的坐坐标标系原点重合；系原点重合；（4）绕绕Xi轴旋转轴旋转i角，使角，使Zi-1轴与轴与Zi轴重合。轴重合。第8页，本讲稿共39页将上式展开将上式展开第9页，本讲稿共39页同理，对于移动副关节同理，对于移动副关节Ai矩阵可以简化为（矩阵可以简化为（ai=0）所以，机械手的末端执行器相对于基坐标系的变换为所以，机械手的末端执行器相对于基坐标系的变换为第10页，本讲稿共39页4.1.2运动学正解运动学正解 依次写出从基坐标系到手爪坐标系之间相邻两坐标系的齐次依次写出从基坐标系到手爪坐标系之间相邻两坐标系的齐次变换矩阵，它们依次连乘的结果就是末端执行器（手爪）在基坐变换矩阵，它们依次连乘的结果就是末端执行器（手爪）在基坐标系中的空间描述，即标系中的空间描述，即已知已知q q1 1,q,q2 2,q,qn n，求求 ，称为运动学正解；，称为运动学正解；已知已知 ，求，求q q1 1,q,q2 2,q,qn n，称为运动学反解。称为运动学反解。上式称为上式称为运动方程运动方程。第11页，本讲稿共39页例例例例1 1：PUMA560PUMA560运动学方程运动学方程运动学方程运动学方程第12页，本讲稿共39页（）i是是从从Xi-1到到Xi绕绕Zi-1旋旋转转的的角角度度；（）di是是从从Xi-1到到Xi沿沿Zi-1测测量量的的距距离离；（）ai是是从从Zi-1到到Zi沿沿Xi测测量量的的距距离离；（）i是从是从Zi-1到到Zi绕绕Xi旋转的角度。旋转的角度。第13页，本讲稿共39页（1）连杆参数）连杆参数（2）A矩阵矩阵解：解：第14页，本讲稿共39页零位零位校验：校验：零位校零位校验：验：零位零位校验：校验：第15页，本讲稿共39页零位校零位校验：验：零位校零位校验：验：零位校零位校验：验：第16页，本讲稿共39页=第17页，本讲稿共39页零位校验：零位校验：令令 得得 第18页，本讲稿共39页例例2：Stanford机器人机器人 运动学运动学（）i是是从从Xi-1到到Xi绕绕Zi-1旋旋转转的的角角度度；（）di是是从从Xi-1到到Xi沿沿Zi-1测测量量的的距距离离；（）ai是是从从Zi-1到到Zi沿沿Xi测量的距离；测量的距离；（）i是从是从Zi-1到到Zi绕绕Xi旋转的角度。旋转的角度。第19页，本讲稿共39页解：解：（1）连杆参数）连杆参数（2）A矩阵矩阵第20页，本讲稿共39页第21页，本讲稿共39页本本文文讲讲述述的的方方法法书书上上讲讲述述的的方方法法 两种连杆坐标系建立方法的对比两种连杆坐标系建立方法的对比两种连杆坐标系建立方法的对比两种连杆坐标系建立方法的对比 第22页，本讲稿共39页结论：结论：结论：结论：3.选择不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会发生变化。选择不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会发生变化。选择不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会发生变化。选择不同的连杆坐标系，相应的连杆参数将会发生变化。.一般来说，机器人的坐标系可以任意建立；一般来说，机器人的坐标系可以任意建立；一般来说，机器人的坐标系可以任意建立；一般来说，机器人的坐标系可以任意建立；.如果不是按照如果不是按照如果不是按照如果不是按照D-HD-H方法建立连杆坐标系，则不能按照方法建立连杆坐标系，则不能按照方法建立连杆坐标系，则不能按照方法建立连杆坐标系，则不能按照A A矩阵矩阵矩阵矩阵表达式来求解相邻连杆坐标系之间的变换；表达式来求解相邻连杆坐标系之间的变换；表达式来求解相邻连杆坐标系之间的变换；表达式来求解相邻连杆坐标系之间的变换；第23页，本讲稿共39页4.1.34.1.3运动学反解运动学反解运动学反解运动学反解反解就是已知手爪位姿求关节变量。反解就是已知手爪位姿求关节变量。正解正解正解正解反解反解反解反解第24页，本讲稿共39页反变换法反变换法是一种把关节变量分离出来从而求解的方法，是一种把关节变量分离出来从而求解的方法，也称也称代数法。代数法。第25页，本讲稿共39页上式两端的元素（上式两端的元素（3，4）对应相等，得：）对应相等，得：-s1px+c1py=d2首先求首先求1，将等式两端左乘，将等式两端左乘，得，得再利用三角代换再利用三角代换:和，其中和，其中第26页，本讲稿共39页把它们代入代换前的式子得：把它们代入代换前的式子得：再求再求3。再令矩阵方程两端的元素（。再令矩阵方程两端的元素（1，4）和（）和（2，4）分别对）分别对应相等得：应相等得：第27页，本讲稿共39页两边平方相加得：两边平方相加得：合并同类项并整理得：合并同类项并整理得：令令，再利用三角代换可得：，再利用三角代换可得：式中正，负号对应着式中正，负号对应着3的两种可能解。的两种可能解。第28页，本讲稿共39页最后求最后求2：将展开并整理得：将展开并整理得：同样再利用三角代换容易求得同样再利用三角代换容易求得2的四种可能解：的四种可能解：其中其中第29页，本讲稿共39页结论：结论：1.反解的可能解有多个，但由于结构限制，例如各关节变量反解的可能解有多个，但由于结构限制，例如各关节变量不能在全部不能在全部360范围内运动，有些解甚至全部解都不能实现。范围内运动，有些解甚至全部解都不能实现。2.机器人存在多种解时，应选取其中最满意的一组解，譬如机器人存在多种解时，应选取其中最满意的一组解，譬如满足行程最短，功率最省，受力最好，回避障碍等要求。（实际满足行程最短，功率最省，受力最好，回避障碍等要求。（实际上就是加约束条件）。上就是加约束条件）。第30页，本讲稿共39页4.1.4运动学反解的有关问题运动学反解的有关问题一、解的存在性和工作空间一、解的存在性和工作空间通常把反解存在的区域通常把反解存在的区域(如圆环如圆环)称为该机器人的工作空间。称为该机器人的工作空间。严格地讲，工作空间分为两种：严格地讲，工作空间分为两种：(1)灵活（工作）空间灵活（工作）空间，是指机器，是指机器人手爪能以任意方位到达的目标点集合；人手爪能以任意方位到达的目标点集合；(2)可达（工作）空间可达（工作）空间，是指机器人手爪至少能以一个方位到达的目标点集合。是指机器人手爪至少能以一个方位到达的目标点集合。两自由度平面机械手两自由度平面机械手 容易求得容易求得第31页，本讲稿共39页二、反解的唯一性和最优解二、反解的唯一性和最优解ai反解数目反解数目a1=a3=a5=0a3=a5=0a3=0所有所有ai不等于不等于0小于等于小于等于4小于等于小于等于8小于等于小于等于16小于等于小于等于16一般而言，非零连杆参数越多，一般而言，非零连杆参数越多，到达某一目标的方式也越多，到达某一目标的方式也越多，即运动学反解的数目越多。即运动学反解的数目越多。最优解遵循的一般准则：最优解遵循的一般准则：最优解遵循的一般准则：最优解遵循的一般准则：(1)通常按通常按“最短行程最短行程”择优，即使每个关节的移动量为最小；择优，即使每个关节的移动量为最小；(2)多移动小关节，少移动大关节。多移动小关节，少移动大关节。第32页，本讲稿共39页三、求解方法三、求解方法工业机器人运动学反解的方法可分为两类：封闭解和数值解。工业机器人运动学反解的方法可分为两类：封闭解和数值解。其封闭解可通过两种途径获得：代数解和几何解。其封闭解可通过两种途径获得：代数解和几何解。第33页，本讲稿共39页4.1.54.1.5关节空间和操作空间关节空间和操作空间关节空间和操作空间关节空间和操作空间机械手的末端位姿由机械手的末端位姿由n个关节变量所决定，这个关节变量所决定，这n个关节变量统个关节变量统称为称为n维关节矢量维关节矢量，所有关节矢量，所有关节矢量构成的空间称为构成的空间称为关节空间关节空间。末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用末端手爪的位姿是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间操作空间或作业定向空间来表示。或作业定向空间来表示。各驱动器的位置统称为驱动矢各驱动器的位置统称为驱动矢量量。所有驱动矢量构成的空间称为。所有驱动矢量构成的空间称为驱动空间。驱动空间。第34页，本讲稿共39页4.2移动机器人运动学移动机器人运动学以以两两轮轮差差速速驱驱动动方方式式的的移移动动机机器器人人为为例例，建建立立其其运运动动学学方方程程。所做的基本假设如下：所做的基本假设如下：(1)车体所在路面为光滑平面；车体所在路面为光滑平面；(2)车轮在运动过程中，在纵向作纯滚动，没有侧向滑移；车轮在运动过程中，在纵向作纯滚动，没有侧向滑移；(3)车车体体有有关关参参数数，如如左左右右轮轮直直径径和和左左右右轮轮间间距距在在车车体体负负载载与与空空载载情况下相同。情况下相同。第35页，本讲稿共39页第36页，本讲稿共39页由理论力学的知识可知，由理论力学的知识可知，P是机器人的速度瞬心，所以在两轮是机器人的速度瞬心，所以在两轮的连线上速度呈梯形线形分布，则的连线上速度呈梯形线形分布，则o点的速度，也即移动机器人移点的速度，也即移动机器人移动的线速度动的线速度Vo为：为：将线速度分别投影到世界坐标系上得：将线速度分别投影到世界坐标系上得：第37页，本讲稿共39页由由VL和和VR与与P构成的几何关系可得构成的几何关系可得从而可知移动机器人的角速度从而可知移动机器人的角速度于是可得移动机器人的运动学方程于是可得移动机器人的运动学方程又因为有：又因为有：第38页，本讲稿共39页Class is Class is over.over.Bye-Bye!Bye-Bye!第39页，本讲稿共39页