大学物理振动和波动课件讲义教学提纲.ppt

大学物理振大学物理振动和波和波动课件件讲义 振振动动（vibration）是是自自然然界界中中最最普普遍遍的的一一种种运运动动形形式式。物物体体在在平平衡衡位位置置附附近近做做往往复复的的周周期期性性运运动动，称称为为机机械械振振动动。电电流流、电电压压、电电场场强强度度和和磁磁场场强强度度围围绕绕某某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。虽虽然然各各种种振振动动的的具具体体物物理理机机制制可可能能不不同同，但但是是作作为为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。广义振动广义振动：任任一一个物理个物理量在某一定值附近往复变化，量在某一定值附近往复变化，该物理量的运动称为该物理量的运动称为振动。振动。如物理量：如物理量：引言引言共振共振(简谐振动）简谐振动）振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式振动的形式:最基本、最重要的振动形式是最基本、最重要的振动形式是简谐振动简谐振动 (S.H.V.)simple harmonic vibration一般运动可以看作是多个简谐振动的合成一般运动可以看作是多个简谐振动的合成也可以说也可以说 S.H.V.是振动的基本模型是振动的基本模型或说或说 振动的理论建立在振动的理论建立在S.H.V.的基础上的基础上本章将以：机械振动为例本章将以：机械振动为例 说明振动的一般性质说明振动的一般性质 1 简谐振动的描述简谐振动的描述 （运动学和动力学）（运动学和动力学）2 简谐振动的能量简谐振动的能量 3 简谐振动的合成简谐振动的合成 4 阻尼振动与阻尼受迫振动阻尼振动与阻尼受迫振动 F=kx当物体当物体相对于平衡位相对于平衡位并令并令则则有有1 简谐振动描述简谐振动描述oxl0 x一、一、简谐振动的定义简谐振动的定义谐振动方程谐振动方程又由又由置的位移为置的位移为x 时时解为：解为：x=Acos(t+)以弹簧原长为坐标原点以弹簧原长为坐标原点定义定义物体离开平衡位置的位移按余弦函数物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数或正弦函数)的规律随时间变化的规律随时间变化的振动，的振动，称为称为简谐振动简谐振动弹簧振子弹簧振子F=-kx简谐振动的判据简谐振动的判据1.运动学表达式运动学表达式弹簧谐振子弹簧谐振子2.动力学方程动力学方程 加速度与位移成正比而反向加速度与位移成正比而反向 F=kx 合外力与位移成正比而反向合外力与位移成正比而反向 准弹性力准弹性力 （恢复力）（恢复力）1.振幅振幅 A：A=xmax振动物体离开平衡位置的最大距离。振动物体离开平衡位置的最大距离。二、二、简谐振动的简谐振动的三个三个特征量特征量表征了系统的能量表征了系统的能量振幅振幅最大位移最大位移由初始条件决定由初始条件决定2.周期和周期和频率频率：表示：表示：2s 时间内物体所作完全振动时间内物体所作完全振动的次数。的次数。反映系统的周期性反映系统的周期性 固有的性质固有的性质称称固有周期、固有频率固有周期、固有频率圆频率圆频率角频率角频率频率频率周期周期振动一次所需时间振动一次所需时间 单位时间内的振动次数单位时间内的振动次数 3.相位和初相相位和初相确定确定决定振动物体的运决定振动物体的运动状态，称为动状态，称为相位相位-初相初相(位位)由由知：知：t 时刻的时刻的相位相位:t=0时相位时相位:初相初相反应了反应了t=0时刻时刻的振动状态的振动状态(x0，0)v0=Asin x0=Acos；得得：A和和 的值的值由初始条件由初始条件(x0，v0)确定确定,即：即：确定确定/位相位相/周相周相位相差位相差 0,称称 x2比比 x1超前超前(x1比比 x2落后落后)。若若相相的概念在比较两个谐振动的步调时也很有用！的概念在比较两个谐振动的步调时也很有用！两个两个频率相同频率相同的谐振动在某一时刻的的谐振动在某一时刻的相位差相位差等于等于它们的它们的初相差。初相差。2比比1超前超前x2TxoA-Ax1t21x2 比比 x1 较早达到正最大较早达到正最大 若若 ,称称 x2和和 x1 同相同相(k为整数为整数)若若 ,称称 x2和和 x1 反相反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相同相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相反相三、简谐振动的描述三、简谐振动的描述1.解析描述解析描述均是作谐振动均是作谐振动频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系相位的关系相位的关系超前超前比比超前超前比比2.曲线描述曲线描述xt 振动振动曲线曲线同样可画同样可画14又又：要能由图得知初要能由图得知初始条件始条件(x0,v0)等等OA-AtxT例例19.1 已知某已知某简谐振动简谐振动曲曲线如图，求其线如图，求其振动方程振动方程。x0=0v0=Asin由图可知：由图可知：x0=Acos；可得可得设振动方程为设振动方程为解：解：v00 解：解：例例19.2 两个谐振动的振动曲线如图所示，两个谐振动的振动曲线如图所示，则则x1的相位比的相位比x2的相位超前的相位超前.由图，由图，x1比比x2在时间上超前在时间上超前3T/8.ox2x1tX因此，相位超前因此，相位超前:3.旋转矢量描述旋转矢量描述用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述 S.H.V.规定规定:振幅矢量振幅矢量矢量端点矢量端点在在x轴上的投影点的运动轴上的投影点的运动逆时针转逆时针转以匀角速度以匀角速度xxt t=0 o旋转旋转矢量的长度矢量的长度振幅振幅旋转矢量旋转矢量旋转的角速度旋转的角速度圆频率圆频率(角频率角频率)矢量与矢量与 x 轴的夹角轴的夹角位相位相t=0时与时与 x 轴的夹角轴的夹角初位相初位相参考圆参考圆v 矢量端点的投影坐标矢量端点的投影坐标振动的位移振动的位移旋转的振幅矢量旋转的振幅矢量 t+x=A cos(t+)矢量端点的线速度投影矢量端点的线速度投影振动速度振动速度(上负下正上负下正)优点优点1）直观地表达振动状态（易于直观地表达振动状态（易于确确定定位相）位相）v 0A/2例如，例如，已知某时刻已知某时刻质点经二分之一振幅处向正方质点经二分之一振幅处向正方向运动向运动,确定其振动状态确定其振动状态则由旋转矢量图可知则由旋转矢量图可知x0.（0）OX x0=+A,初相初相=?x0=0且向负最大位移运动且向负最大位移运动,初相初相=?x0=-A,初相初相=?x0=0且向正最大位移运动且向正最大位移运动,初相初相=?（）（/2）（-/2）由图看出由图看出：速度超前位移：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2）方便地）方便地比较振动步调（易于比较振动步调（易于求位相差）求位相差）加速度与位移加速度与位移，反相反相3）方便计算）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例例19.3 质量为质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧组成的弹簧谐振子，组成的弹簧谐振子，t=0时质点过平衡位置且时质点过平衡位置且向正方向运动。求物体运动到负二分之一振幅向正方向运动。求物体运动到负二分之一振幅处所用的处所用的最短时间。最短时间。解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t=0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t=0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 得得繁复的三角函数的运算用匀速繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的圆周运动的一个一个运动关系求得运动关系求得因为因为例例19.4 某简谐振动的振动曲线如图，则振某简谐振动的振动曲线如图，则振动方程为动方程为 _。X(cm)t(s)-1-2O1解：解：A=2 cmX2/3-2/3-12t0,向负最大位移运动向负最大位移运动又，又，t=1s时时,设振动方程为设振动方程为 t=0时时=2 ox例例19.5 两个相同的水平弹簧振子，振幅均为两个相同的水平弹簧振子，振幅均为A，某时刻振子，某时刻振子1 沿沿 x 轴反方向运动至平衡位置，轴反方向运动至平衡位置，而振子而振子2刚好沿刚好沿 x 轴反方向运动至轴反方向运动至A/2处，处，解解 作出两个旋转矢量，如图，作出两个旋转矢量，如图，A2A1试求这两个振子的初相差。试求这两个振子的初相差。得：得：例例19.6 质点的振动规律质点的振动规律用余弦函数描述，其用余弦函数描述，其速速度度时间时间曲线如图，则其曲线如图，则其初相应为初相应为 _.t(s)v(m/s)vmvm/20解：解：设设则则t=0时时,有有t=0时时,有有t=0旋矢图：旋矢图：t0，向正最大速度运动，向正最大速度运动vOt(s)v(m/s)vmvm/20振动振动1的表达式：的表达式：x1=A cos(t-/2)振动振动2的表达式：的表达式：x 2=A cos(t-/4)t2xtxT21表达式表达式 旋转矢量图，曲线旋转矢量图，曲线曲线曲线 旋转矢量图，表达式旋转矢量图，表达式旋转矢量图旋转矢量图 曲线，表达式曲线，表达式 3 3种表示形式的种表示形式的一致一致性性t=0时时xtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxt摆球摆球相对平衡位置相对平衡位置的的角位移角位移为为时：时：单摆单摆mg 则则所以所以lFF=mg sin=ma=m当当很小时，很小时，sin，令令，得，得四、四、简谐振动的简谐振动的实例实例（取逆时针方向为正）（取逆时针方向为正）单摆的运动在摆角很小时是简单摆的运动在摆角很小时是简(角角)谐振动谐振动单摆的谐振动表达式为：单摆的谐振动表达式为：其中其中 m 为最大角位移，即为最大角位移，即(角角)振幅。振幅。利用该式可测重力加速度利用该式可测重力加速度其周期为：其周期为：（物理摆）的振动（物理摆）的振动对比谐振动方程知：对比谐振动方程知：但若做小幅度摆动但若做小幅度摆动 即即很小很小由由转动定律转动定律得得动力学方程动力学方程一般情况不是简谐振动一般情况不是简谐振动时时满足方程：满足方程：复摆复摆振动的物理量振动的物理量 固有圆频率固有圆频率角位移角位移 振动表达式振动表达式对比对比测测J的一种方法的一种方法特殊情形：特殊情形：单摆单摆 lm细杆（长细杆（长l）:Gl0m例例19.7 上端固定的弹簧原长为上端固定的弹簧原长为l0=50cm,下端挂一质量为下端挂一质量为m=100g 的砝码，当砝码静止时，弹簧长的砝码，当砝码静止时，弹簧长为为l=60cm,若将砝码向上推若将砝码向上推,使弹使弹簧回到原长，然后突然放手，砝簧回到原长，然后突然放手，砝码开始上下运动。码开始上下运动。lm （1）证明砝码的上下运动为简谐振动；）证明砝码的上下运动为简谐振动；（2）求振动的圆频率、频率和振幅；）求振动的圆频率、频率和振幅；（3）设从放手开始计算时间，写出位移、）设从放手开始计算时间，写出位移、速度对时间的函数关系。速度对时间的函数关系。砝码被上推到弹簧原长，再放手后开始向下运砝码被上推到弹簧原长，再放手后开始向下运动，其起始位置在动，其起始位置在 x0=l,当它运动到任意位当它运动到任意位置置x时，弹簧伸长量为时，弹簧伸长量为(x+l)，弹性恢复力为弹性恢复力为xxl0Fmg解解:取取x轴轴垂直向下，垂直向下，以以弹簧弹簧的的平衡位置平衡位置为坐标原点为坐标原点。设。设弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为k,平衡平衡时弹簧的伸长量为时弹簧的伸长量为 l,mg k l=0F=k(x+l)则：则：k lox0 lmg（1）由以上得运动方程：由以上得运动方程：即：即：为谐振动运动方程为谐振动运动方程（2）由方程得）由方程得频率频率周期周期圆频率圆频率砝码被上推到弹簧原长，砝码被上推到弹簧原长，再放手后开始向下运动再放手后开始向下运动,oxxl0Fmgx0mg lk l所以得到所以得到初始条件：初始条件：x0=0.1m，v0=0并且并且t0时时 v 0由由初始条件初始条件 得：得：or 0or 0再由再由t0时，时，v 0，得，得 简谐振动的动力学解法：简谐振动的动力学解法：1）分析受力）分析受力(力矩力矩)，列牛顿列牛顿(转动转动)定律方程定律方程；2）由由谐振动运动方程求得圆频率。谐振动运动方程求得圆频率。（3）x=Acos(t+)=0.1cos(9.9t+)m平衡条件：平衡条件：例例19.8 弹簧振子置于光滑斜面上弹簧振子置于光滑斜面上(如图如图)，求其，求其动力学方程。动力学方程。解：解：任意位置任意位置x处受的合力：处受的合力：oxX km以以弹簧的弹簧的平平衡位置衡位置为坐为坐标原点标原点（图（图中的中的o点）点）mg弹簧原长弹簧原长x0牛牛：特殊情形：特殊情形：=0水平水平弹簧振子弹簧振子=90 竖直竖直弹簧振子弹簧振子动力学方程不变动力学方程不变角频率不变角频率不变 动能动能：势能势能：机械能机械能：简谐振动系统简谐振动系统的总的总机械能守恒！机械能守恒！以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例EA2 (普适普适)简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。比。2 简谐振动的能量简谐振动的能量 xtTEEpEk(1/2)kA2o系统势能的平均值：系统势能的平均值：E能量能量时间关系曲线时间关系曲线例例19.9 系系统统作作谐谐振振动动，周周期期为为T，以以余余弦弦函函数数表表达达振振动动时时，初初相相为为零零，则则在在0 t T/2范范围围内内，系系 统统 在在t=_时时 刻刻 动动 能能 和和 势势 能能 相相 等等。解：解：按题意按题意3/4/4X旋矢图：旋矢图：解：解：单摆的悬线长单摆的悬线长l2=1.5 m，在顶端固定，在顶端固定点的下方点的下方0.45 m处有一小钉，如图示处有一小钉，如图示.设两方摆动均较小，则单摆的左右两设两方摆动均较小，则单摆的左右两方振幅之比方振幅之比A1/A2为为.l1l2机械能守恒机械能守恒于是于是例例19.10一、一、同方向同频率两谐振合成同方向同频率两谐振合成二、二、同方向不同频率两谐振合成同方向不同频率两谐振合成-拍拍三、两个三、两个相互垂直简谐振动的合成相互垂直简谐振动的合成 同频率同频率 不同频率不同频率3 简谐振动的合成简谐振动的合成（一质点同时参与两种振动）（一质点同时参与两种振动）当一个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的本节所讨论的同频率同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 是波的是波的干涉和偏振光干涉干涉和偏振光干涉的重要基础的重要基础 本节所讨论的本节所讨论的不同频率不同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 可以给出重要的可以给出重要的实际实际应用应用3 简谐振动的合成简谐振动的合成(一质点同时参与两种振动一质点同时参与两种振动)1.同方向同频率同方向同频率两谐振合成两谐振合成分振动分振动:合振动合振动:x=x1+x2合振动是简谐振动合振动是简谐振动,频率频率 解析法解析法矢量法矢量法（双光束干涉的理论基础）（双光束干涉的理论基础）线性叠线性叠加得加得两种特殊情况两种特殊情况若两分振动若两分振动同相同相若两分振动若两分振动反相反相则则A=A1+A2,振动加强振动加强则则A=|A1-A2|,振动减弱振动减弱 若若两振动两振动同相同相可能的最强振动可能的最强振动两振动两振动反相反相“振动加振动振动加振动”不不振动振动,质点处于静止质点处于静止位相差的重要性位相差的重要性=2k (k=0,1,2,)=(2k+1)(k=0,1,2,)例例19.11 一质点同时参与两个同方向同频率的简谐振一质点同时参与两个同方向同频率的简谐振动，其振动方程分别为：动，其振动方程分别为：x1=5 10-2cos(4t+/3)(SI)，x2=3 10-2 sin(4t-/6)(SI)。用两种方法求合振动。用两种方法求合振动的振幅的振幅,初相。初相。解解:用公式用公式 10=/3,20=-/6x2=3 10-2 cos(4t-/6-/2)20=-2 /3=/3 =4/3?t=0时，时，x0=x10+x20=2.5 10-2m 1.5 10-2m 0 旋转矢量法旋转矢量法xo x1=5 10-2cos(4t+/3)(SI)x2=3 10-2 cos(4t-2/3)(SI)作出两个分振动的旋转矢量，如图，作出两个分振动的旋转矢量，如图，方向相同，所以方向相同，所以矢量合成法则矢量合成法则方向相反，方向相反，由于由于则易由则易由求得合矢量求得合矢量与与例例19.12 两个简谐振动的振动曲线如图，则它们两个简谐振动的振动曲线如图，则它们合成的余弦振动的初相为合成的余弦振动的初相为 。解：解：X 0合振动合振动 0=-/2旋矢图旋矢图oA-A/2tX42x1x2设分振动：设分振动：线性相加：线性相加：二、二、同方向、不同频率、振幅相等的两谐振合成同方向、不同频率、振幅相等的两谐振合成 -拍拍结论：结论：合振动已不再是谐振动合振动已不再是谐振动 若若 1 2 可以用可以用 谐振动表达式等效谐振动表达式等效 加深认识加深认识若：若：则则较较随时间变化缓慢，随时间变化缓慢，将合成式写成谐振动形式将合成式写成谐振动形式合振动的振幅合振动的振幅xt合振动可看做是振幅缓慢、周期变化的谐振动合振动可看做是振幅缓慢、周期变化的谐振动合成振动如图示合成振动如图示表达式为表达式为拍的形成拍的形成x2ttx1 拍：拍：合振动的周期性的强弱变化叫做合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍 拍频：拍频：单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频测未知频率的一种方法测未知频率的一种方法由式由式得得三、两个振动方向三、两个振动方向相互相互垂直的谐振动的合成垂直的谐振动的合成1.同频率同频率的谐振动合成的谐振动合成消去参数消去参数 t，得合运动的轨迹方程：，得合运动的轨迹方程：一般而言，这是一个椭圆方程，一般而言，这是一个椭圆方程，椭圆椭圆的性的性质（方位、长短轴、左右旋）在质（方位、长短轴、左右旋）在 A1、A2确确定之后，主要决定于定之后，主要决定于设分振动设分振动仍是频率为仍是频率为的简谐振动的简谐振动。(2)时时，合运动合运动(1)时时，振动方向旋转振动方向旋转特殊结果：特殊结果：合运动是椭圆振动；合运动是椭圆振动；xy若若A1=A2 则为圆振动则为圆振动(3)时时，右旋右旋左旋左旋（偏振光干涉的理论基础）（偏振光干涉的理论基础）A2A1的值不同，椭圆形状、旋向也的值不同，椭圆形状、旋向也不同不同2.不同频率不同频率的谐振动的合成的谐振动的合成1）若频率相差很小若频率相差很小设分振动设分振动可看作可看作两频率相等而两频率相等而 随随 t 缓慢变化缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。2）频率比是频率比是简单的简单的整数比整数比则合成轨迹为稳定的闭合曲线则合成轨迹为稳定的闭合曲线李萨如图李萨如图 yxA2A10-A1-A2应用：应用：测定未知频率或确定测定未知频率或确定两个振动的相位关系两个振动的相位关系曲线形状取决于频率比和相差曲线形状取决于频率比和相差 例如例如 时如图时如图解解 （1）设这一简谐振动的表达式为）设这一简谐振动的表达式为习题习题1 一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，周期轴作简谐振动，周期T=2s，振幅振幅A=0.12m。当。当t=0时，物体的位移时，物体的位移x=0.06m,且向且向x轴正方向运动。求：（轴正方向运动。求：（1）此简谐振动的）此简谐振动的表达式；（表达式；（2）t=T/4时物体的位置、速度和加时物体的位置、速度和加速度；（速度；（3）物体从）物体从0.06m向向x轴负方向运动，轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间第一次回到平衡位置所需的时间。由由A=0.12m，T=2s，有有及初始条件及初始条件x0=0.06m，所以所以于是，于是，利用旋转矢量法求解利用旋转矢量法求解很方便。根据初始条件可画很方便。根据初始条件可画出振幅矢量的初始位置，如出振幅矢量的初始位置，如图所示，从而得图所示，从而得（2）由上面得出的简谐振动的表达式，有）由上面得出的简谐振动的表达式，有时，从上列各式求得时，从上列各式求得这就是物体在这两个时刻这就是物体在这两个时刻的相位差，由于振幅矢量的相位差，由于振幅矢量的旋转角速度为的旋转角速度为 ，所以，所以可得到所需的时间可得到所需的时间（3）由由振振幅幅矢矢量量图图可可知知，从从x=0.06m向向x轴轴负负方方向向运运动动，第第一一次次回回到到平平衡衡位位置置时时，振振幅幅矢矢量转过的角度为量转过的角度为 O解解 取坐标如图，船所受的浮力和重力平衡处取坐标如图，船所受的浮力和重力平衡处为坐标原点。设水的密度为为坐标原点。设水的密度为习习题题2 一一质质量量为为m的的平平底底船船，其其平平均均水水平平截截面面积积为为S，吃吃水水深深度度为为h。如如不不计计水水的的阻阻力力，求求此此船在竖直方向的振动周期。船在竖直方向的振动周期。yPPyO船的位置用平衡时的船的位置用平衡时的吃水线吃水线 P相对于水面相对于水面的位移的位移 y 来描述，此来描述，此时船所受力的合力为时船所受力的合力为，则，则(1)力力F 的大小与位移的大小与位移y成正比，方向相反，所以成正比，方向相反，所以船在竖直方向作简谐振动，其角频率及周期船在竖直方向作简谐振动，其角频率及周期分别为分别为将式（将式（1）代入得）代入得习习题题3 在在横横截截面面为为S的的U形形管管中中有有适适量量液液体体，液液体体总总长长度度为为l，质质量量为为m，密密度度为为 ，求求液液面面上上下下起起伏伏的的振振动动频频率率（忽忽略略液液体体与与管管壁壁间间的的摩擦）。摩擦）。选选如如图图坐坐标标，并并选选两两侧侧液液面面等等高高时时的的平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点，且且液液体体势势能能为为零零。液液体体不不可可压压缩，整个液体的动能为缩，整个液体的动能为:解解 液液体体受受到到初初始始扰扰动动后后，振振动动过过程程中中没没有有机机械械能能损损失失，因因此此用能量守恒方法来分析。用能量守恒方法来分析。yyyO由能量由能量守恒得守恒得 将上式对时间将上式对时间 t 求导求导而而 所以所以动能动能:整理后得整理后得yyOy势能：势能：求它们的合振动的振幅和初相。求它们的合振动的振幅和初相。解解 采用旋转矢量法采用旋转矢量法习习题题4 N个个同同方方向向、同同频频率率的的简简谐谐振振动动，它它们们的的振振幅幅相相等等，初初相相分分别别为为 ，依依次次差差一一个恒量个恒量 ，振动表达式可写为，振动表达式可写为 xOa1 N a2a4 a3a5PQCM在在 中，中，所以所以式中式中 为为A与与x轴间的夹角，即合振动的初相。轴间的夹角，即合振动的初相。最后求得合振动的表达式为最后求得合振动的表达式为又因为又因为 xOa1 N a2a4 a3a5PQCM一般情况一般情况特例特例1）2）的倍数的整数的倍数的整数各分振各分振动的动的初初相相同相相同合振幅为最大值合振幅为最大值合振幅为最小合振幅为最小3）次极大次极大（多光束干涉的理论基础）（多光束干涉的理论基础）特例特例1）2）的倍数的整数的倍数的整数主极大主极大极小极小例例20.1320.13 三个同频率三个同频率，同振幅同振幅A0，同方向的，同方向的 SHV，相邻相位差为相邻相位差为/3。求：合振幅求：合振幅A。解：解：画旋转矢量图画旋转矢量图/3/3/3/3由图很容易得到由图很容易得到 A=2A0或或对弹簧振子的两点说明对弹簧振子的两点说明1.设两个弹簧弹性系数分别为设两个弹簧弹性系数分别为k1和和k2 当它们当它们串联串联时，等效弹性系数为时，等效弹性系数为k1k2/(k1+k2)；当它们当它们并联并联时，等效弹性系数为时，等效弹性系数为k1+k2。2.对长为对长为l的弹簧截取其半，的弹簧截取其半，S不变，不变，K变成变成2K。对一长为对一长为l、截面积为、截面积为S的棒，两端以力的棒，两端以力F拉之，伸长，拉之，伸长，胡克定律：胡克定律：F/S=Yl/l（Y仅取决于材料性质，称为杨氏模量）仅取决于材料性质，称为杨氏模量），此式可以写成：此式可以写成：F=(Y S/l)l 显然，显然，YS/l=K，K1/K2=l2/l1 所以，对长为所以，对长为l的弹簧截取其半，的弹簧截取其半，S不变，不变，K必然变成必然变成2K。习习1.物物体体质质量量都都为为m,b弹弹簧簧长长度度为为a 的的一一半半,c中中两两弹簧长度与弹簧长度与b相同相同,则三个系统的则三个系统的 2值之比值之比 （A）2:1:0.5（B）1:2:4（C）4:2:1（D）1:1:2并联：并联：串联：串联：答答:（B）习习2.在在一一铅铅直直悬悬挂挂的的弹弹簧簧下下系系一一质质量量为为m的的物物体体，再再用用此此弹弹簧簧改改系系一一质质量量为为4m的的物物体体，最最后后将将此此弹弹簧簧截截断断为为两两个个等等长长的的弹弹簧簧,并并联联后后悬悬挂挂质质量量为为m的的物体，则这三个系统的周期值之比为物体，则这三个系统的周期值之比为(A)(B)(C)(D)m4mm答答:（C）注：注：阻尼振动阻尼振动、受迫振动受迫振动 共振共振 为选学内容，不在考试范围。有为选学内容，不在考试范围。有兴趣者自行了解！兴趣者自行了解！tA0e-b btT4 阻尼振动阻尼振动 相相比比无无阻阻尼尼自自由由振振动动 (例例如如弹弹簧簧，电电感感线线圈圈)，任任何何系统总还要受到阻力的作用，此时振动叫系统总还要受到阻力的作用，此时振动叫阻尼振动阻尼振动。阻阻尼尼振振动动中中，振振动动系系统统要要不不断断克克服服阻阻力力做做功功，所所以以能量不断减少，振幅也不断减小能量不断减少，振幅也不断减小，故被称为，故被称为减幅振动减幅振动。阻尼振动表达式阻尼振动表达式阻尼周期阻尼周期:x5 受迫振动受迫振动 共振共振1、受迫振动、受迫振动在在驱动力驱动力的作用下系统的振动的作用下系统的振动a)稳定时稳定时系统振动的频率系统振动的频率=驱动力的频率驱动力的频率 b)维持受迫振动的周期性外力叫做维持受迫振动的周期性外力叫做驱动力驱动力。c)物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关。而跟振动物体的固有频率无关。受迫振动。受迫振动。2 2、共振、共振 当当驱动力频率驱动力频率等于等于振动系统的振动系统的固有频率固有频率时，时，振幅达到最大值的现象叫做振幅达到最大值的现象叫做共振共振。应用：应用：声、光、电、原子内部、工程技术声、光、电、原子内部、工程技术核磁共振；核磁共振；微波炉（电磁频率接近水分微波炉（电磁频率接近水分子的振动频率）；子的振动频率）；队伍整齐过桥；队伍整齐过桥；轮船轮船在风浪中航行。在风浪中航行。同时要注意避免共振造成破坏。同时要注意避免共振造成破坏。在需要利用共振的时候，应该使驱动力的频率在需要利用共振的时候，应该使驱动力的频率尽量接近振动物体的固有频率；在需要防止共振的尽量接近振动物体的固有频率；在需要防止共振的时候，应该使驱动力的频率和物体固有频率不相等，时候，应该使驱动力的频率和物体固有频率不相等，而且差得越多越好。而且差得越多越好。随随后后在在大大风风中中因因产产生共振而断塌生共振而断塌 1940年华盛顿的塔科曼年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动大桥在大风中产生振动 发发生生共共振振时时由由于于振振幅幅过过大大可可能能损损坏坏机机器器、设备或建筑。设备或建筑。由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程技术中防振和减振是一项十分重要的任务。程技术中防振和减振是一项十分重要的任务。据据报报导导，我我国国某某城城市市有有三三栋栋新新建建的的十十一一层层居居民民楼楼经经常常摇摇晃晃，引引起起居居民民的的恐恐慌慌。后后来来发发现现距距居居民民楼楼800800米米处处有有一一家家锯锯石石厂厂，四四台台大大功功率率锯锯石石机机的的工工作作频频率率为为 ，恰恰好好等等于于居居民民楼楼的的固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。SUMMARY简谐振动表达式简谐振动表达式(振动方程振动方程)振动参量振动参量依赖于系统本身的性质依赖于系统本身的性质依赖于振动的依赖于振动的初始条件初始条件=t+0 对应于对应于t时刻振动的状态时刻振动的状态振动中的作用力振动中的作用力保守力保守力6.振动系统的能量振动系统的能量守恒守恒旋转矢量图旋转矢量图 0 OX5.动力学方程动力学方程同一直线上两个同频率简谐振动的合成同一直线上两个同频率简谐振动的合成 20-10=2k Amax=A1+A2 20-10=(2k+1)Amin=A1-A2 0 oX若频率相近若频率相近拍拍拍频：拍频：fb=f2-f1 轨迹为椭圆或直线轨迹为椭圆或直线*同一直线上不同频率简谐振动的合成同一直线上不同频率简谐振动的合成非简谐振动非简谐振动*相互垂直的同频率简谐振动的合成相互垂直的同频率简谐振动的合成*相互垂直的不同频率简谐振动的合成相互垂直的不同频率简谐振动的合成若频率为若频率为整数比整数比李萨如图形李萨如图形此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢