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第二节 复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考2一、复平面一、复平面1.复平面的定义复平面的定义32.复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)显然下列各式成立显然下列各式成立43.复数的辐角复数的辐角说明说明辐角不确定辐角不确定.5辐角主值的定义辐角主值的定义:64.利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致减法运算一致.75.复数和差的模的性质复数和差的模的性质8利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示9例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为10指数表示式为指数表示式为故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为11故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为12例例2 2解解(三角式三角式)(指数式指数式)13例例3 3证证14两边同时开方得两边同时开方得15 下面例子表明下面例子表明,很多平面图形能用复数形很多平面图形能用复数形式的方程式的方程(或不等式或不等式)来表示来表示;也可以由给定的也可以由给定的复数形式的方程复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的来确定它所表示的平面图形平面图形.16例例6 6解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为1718例例4 4求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解19化简后得化简后得20二、复球面二、复球面1.南极、北极的定义南极、北极的定义21 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用我们可以用球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应,记作记作.因而球面因而球面上的北极上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.2.复球面的定义复球面的定义223.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面或简称复平面.对于复数对于复数来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.2324三、小结与思考三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角学习的主要内容有复数的模、辐角;复数复数的各种表示法的各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面扩充复平面.注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应,所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大无穷大或或正、负正、负无穷大无穷大混为一谈混为一谈25思考题思考题是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?26思考题答案思考题答案否否.它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.