2015高中数学3.1.1两角差的余弦公式课件3新人教A版必修4.ppt

小明在作业中遇到了一个问题，需要求小明在作业中遇到了一个问题，需要求cos15 cos15 的值，可的值，可 惜忘记带计算机了，怎么办呢？小明不假思索就很快的写出惜忘记带计算机了，怎么办呢？小明不假思索就很快的写出 了如下做法。了如下做法。解：解：cos15 =cos(45 -30)=cos45 -cos30 =你认为他做对了吗？你认为他做对了吗？探究：探究：如何用任意角如何用任意角，的正弦、余弦值来表的正弦、余弦值来表示示cos(-)呢？呢？你认为公式会是你认为公式会是cos(-)=cos-cos吗？吗？怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式？怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式？思考思考1 1：如图，设：如图，设，为锐角，且为锐角，且，角，角的终边与单的终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P1 1,P,P1 1OPOP，那么，那么cos(cos()表示哪条线表示哪条线段长？段长？MPP1Oxycos(cos()=OM)=OM思考思考2 2：如何用线段分别表示：如何用线段分别表示sinsin和和coscos？PP1OxyA Asinsincoscos思考思考3 3：coscoscoscosOAcosOAcos，它表示哪条线段长？，它表示哪条线段长？sinsinsinsinPAsinPAsin，它表示哪条线段长？，它表示哪条线段长？PP1OxyA AsinsinsinsincoscoscoscosB BC C思考思考4 4：利用：利用OMOMOBOBBMBMOBOBCPCP可得什么结论？可得什么结论？sinsinsinsincoscoscoscosPP1OxyA AB BC CM Mcos(cos()coscoscoscossinsinsinsinx xy yP PP P1 1M MB BO OA AC C+1 11 1 上述推理能说明对任意角上述推理能说明对任意角，都有，都有cos(cos()coscoscoscossinsinsinsin成立吗？成立吗？怎样联系向量的数量积去探索公式？怎样联系向量的数量积去探索公式？-111-1-BAyxo cos(-cos(-)=)=coscos+sinsincoscos+sinsin思考：如图，设角思考：如图，设角，的终边与单位圆的交点分别为的终边与单位圆的交点分别为A A、B B，则向量则向量 、的坐标分别是什么？其数量积是什么？的坐标分别是什么？其数量积是什么？对于对于任意角任意角、都有都有cos(-)=coscos+sinsin(C()此公式给出了任意角此公式给出了任意角、的正弦、余弦值与的正弦、余弦值与其差角其差角的余弦值之间的关系称为的余弦值之间的关系称为差角的余差角的余弦公式记作：弦公式记作：C()分析：分析：怎样把怎样把15表示成两个特殊角的差？表示成两个特殊角的差？变式：变式：求求sin75的值的值.例例1：利用差角余弦公式求利用差角余弦公式求cos15的值的值解：解：cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin303212642+22=+=221利用公式利用公式C(-)证明：证明：(2)cos(2 -)=cos(1)cos(-)=sin;2 证明：证明：(1)左边左边=cos cos+sinsin2 2=0 cos+1sin=sin=右边右边(2)左边左边=cos2 cos+sin2 sin=1 cos+0sin=cos=右边右边分析：分析：由由C(-)和本题的条件，要计算和本题的条件，要计算cos(-)，还应，还应求什么？求什么？cos(-)=coscos+sinsin已知已知已知已知应求应求应求应求 例例2：已知已知sin ，(，)，cos=-,是第三象限角，求是第三象限角，求cos(-)的值的值542 135 例例2：已知已知sin ，(，)，cos=-,是第三象限角，求是第三象限角，求cos(-)的值的值542 135 解：解：由由sin ，(，)，得，得542 cos=-1-sin2=-1-(1-()2=-5453又由又由cos=-，是第三象限的角，得是第三象限的角，得135sin=-1-cos2=-1-(1-()2=-1351312所以所以cos(-)=coscos+sinsin=(-)(-)+(-)=-54541351356533思考：如果去掉这思考：如果去掉这个条件，对结果和求解个条件，对结果和求解过程会有什么影响？过程会有什么影响？2已知已知cos=-，(，)，求求cos(-)的值的值532 4 4 4 原式原式=cos cos+sinsin sin=1-cos2=1-(-(-)2 =5354解：由解：由cos=-，(，)，得，得532 4522=(-)+=22532103已知已知sin=，是第二象限角，求是第二象限角，求cos(-)的的值值17153 3 3 原式原式=cos cos+sinsin解：由解：由sin=，是第二象限角，得是第二象限角，得1715cos=-1-sin2=-1-(-()2 =-17151783212343-8+15=-+=1781715原式原式=coscos+sinsin4已知已知sin=-，(，)，cos=，(，2)，求求cos(-)的值的值3223 4323 解：由解：由sin=-，(，)，得，得3223 cos=-1-sin2=-1-(-(-)2 =-3253由由cos=，(，2)，得，得4323 sin=-1-cos2=-1-(-()2 =-437412=(-)+(-)(-)=5343743257-3+2思考题：思考题：已知已知，均为锐角，且均为锐角，且，cos=，cos(-)=，求，求cos的值的值533 1010coscos(-)+sinsin(-)coscos-(-)解：解：cos=，sin(-)101054105013作业：作业：P1P12 27 7 1,2,3,41,2,3,4小结小结1.1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号符号.小结作业小结作业