1.4&1.5充分条件与必要条件、全称量词和存在量词-(人教A版2019必修第一册) (教师版).docx
1.4 充分条件与必要条件1.5 全称量词和存在量词知识剖析1充分条件与必要条件概念一般地，”若p,则q"为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p = q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果”若p,则q”和它的逆命题”若q,则p"均是真命题，即既有p = q，又有q = p，就记作p = q，此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说p是q的充要条件.p是q的 条件(填写是否充分、必要)完成此题型，可思考从左到右，若p = q则充分，若p # q则不充分；从右到左，若q=p则必要，若q#p则不必要.Eg：帅哥是男人的 条件.从左到右，显然若4是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.从集合的角度理解一一小范围推得出大范围(1)命题p、q对应集合4、B,若4 G 8,则p = q,即p是q的充分条件；若A生B,则p#q,即p不是q的充分条件.备注若4 1 8,则称4为小范围，B为大范围.Egl：帅哥是男人的 条件.设集合/ = 帅哥,集合8 = (男人,显然力c B, 帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件;故答案是充分不必要条件.Eg2： % > 1是无> 2的不充分必要条件，因为% > 2 g 幻> 1.(2)结论若p是q的充分不必要条件，则4冬B：若p是q的必要不充分条件，则844若p是q的充分条件，则4G8；若p是q的必要条件，则B G 4若p是q的充要条件，贝必=8.2全称量词与存在量词全称量词(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用，”表示.(2)含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M中任意一个，有p(x)成立"，记作W XEM , p(x).Eg：对所有末位数是0的数能被5整除，Vx>0,x + >2.存在量词(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“才'表示.(2)含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M中的一个“，使p。)成立"，记作m XEM f p(x).Eg：至少有一个质数是偶数，> 0,x2 - 2x + 3 < 0.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.Eg： V x > l,x2 > 1 的否定是m x > l,x2 < 1.V x > l,x2 > 1是真命题，3 x > l,x2 < 1是假命题.经典例题【题型一】充分条件与必要条件【典题1】设a>0 ,b>0,则"a + bN2"是"标+ 乂之2”的()人充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件【解析】-a + b> 2可知更学> 2,而小+非之鱼磬，. a2 + b2> 2.反之不成立，例如6=0,满足小+ 22,但a + b22不成立.，+力之2”是“。2 +力232”的充分不必要条件.故选：A.【点拨】 以“a + b> 2”为己知,可以推出“a? + b2> 2”这个结论，所以“a + b> 2”是“a? +力2 n 2”的充分条件;若 要判断某个命题是对的，只能去证明它；证明、2 +坟22”推不出，+匕之2”，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多 多注意，可称之为”取特殊值否定法。思考：本题可从集合的角度去判断么？【典题2】若Q ,b是正整数，则。+匕> 时充要条件是()A. a = b = 1B. a，匕有一个为 1C. a = b = 2D. q > 1,且b > 1解析；q + b > ab,-ab - a b<O=>ab - a b + l<l=>(a -l)(b 1) < 1,a ,b是正整数，二 a Z 1, b > 1,贝ija -1 > 0» b 1 > 0, a (a l)(b 1) > 0,若(a 1)(Z? -1) < 1,则(a l)(b 1) = 0,即a = 1或b = 1,即a ,8有一个为1,即a + b > ab充要条件是a ,b有一个为1,故选B.【点拨】 本题求充要条件就相当于“当Q，匕是正整数，由。+匕> 汕可以等价推导出什么结论”；p是q充要条件就是相当了两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做“等价转化”，在推导问 题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析.【典题3】若“2 - 3% - 4 > 0”是_ 3ax -10a2 > 0”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【解析】由32 3%4 > 0得 > 4或 < 1,即不等式的解集为力=%|% > 4或x V -1,由7 3ax 10a2 > 0得( + 2a)(x 5a) > 0,若a=0,则不等式的解为 H0,此时不等式的解集为为8=%|xH0,若a > 0,则不等式的解集为B = x|x > 5a或 < 2a),若q V 0,不等式的解集为8=x|x > 2q或 < 5a,(求解含参的不等式，注意分类讨论)若"%2 -3x -4 > 0”是"/ -3ax -10a2 > 0”的必要不充分条件，则B G A,(从集合的角度去思考充分必要条件问题)则当a = 0时，不满足条件.当a>0时，则满足即I： 3得Q.当a VO时,则满足尼=，得仁二;得”-2.5综上实数a的取值范围a|a < -2或q > J【点拨】本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根“5a ,-2屋的大小比较，才有了"a = 0 ,a > 0 ,a < 0"的分类；从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”.巩固练习1（）己知Q>0 ,b>0,贝七工匕”的一个必要不充分条件是（）A. am < bm B. J W 3 C. am2 < bm2 D. a + m2 < b + ?n2【答案】C【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要条件；B是充分不必要条件；C是必要不充分条件；D是充要 条件.故选：C.2 （）设。，b £ R,命题p： a > b,命题q： aa > bb,则p是q的（）4充分不必要条件8.必要不充分条件C.充分必要条件 。.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若a > b >0, a2 >82即有用词> bb；若aNO>b,显然有a|a| >0>匕网；若0>Q>b,则a2Vb2,而a|a| = a2, bb = b2,所以a|a|>b|b|,故a > b可以推出a|a| > bb.若a|a|>b|b|,当力<0时，如果a30,不等式显然成立，此时有q > b；如果q < 0»则有a2 > b2,因而q > b；当b NO时，a > 0,此时有。2>炉，因而a > b,故a|a| > b|b|可以推出a > b.故选：C.3 ()在关于x的不等式a/ + 2x + 1 > 0中，“a > 1”是“a/ + 2x + 1 > 0恒成立”的()4充分不必要条件8.必要不充分条件C.充要条件。.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在关于的不等式a/ + 2% + 1 > 0中，当q>1时，=4一4aV0,:."a > 1" = "ax2 + 2x + 1 > 0恒成立”，当A=44avO时，a > 1,/. aax2 + 2% + 1 > 0恒成立"=> "a > 1"，:.“a > 1”是，/ + 2% + 1 > 0恒成立”的充要条件.故选：C.4 ()已知命题p： x <2m + 1 ,q： x2 Sx + 6 < 0,且p是q的必要不充分条件，则实数7八的取值范围 为.【答案】mN 1【解析】,命题p： x < 2m + 1, q： x2 -5x + 6 < 0,即2Vx < 3,p是q的必要不充分条件，(2, 3) g (-oo, 2m + 1), /. 2m + 1 > 3,解得m Z 1.实数m的取值范围为mA 1.5 ()已知p： (% 4- 1)(2 x) > 0, q：关于的不等式x? +m + 6 > 0恒成立.(1)当xWR时q成立，求实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】 (-3 ,2) (2) -学vmvg解析】(1 )； 4m2 + 47n 24 < 0, m2 + m 6 < 0,3 < m < 2,实数m的取值范围为：(一3, 2).(2)p： -l<x<2,设 = x| 1 < x < 2, B = xx2 + 2mx m 4- 6 > 0,p是q的充分不必要条件，由(1)知，一3VmV2时，B = R,满足题意；m = -3时，B = x|x2 6x + 9 > 0 = xx 丰 3,满足题意；m = 2时，B = x|x2 + 4% + 4 > 0 = x|x *2,满足题意；m < -3,或m > 2时，设f(x) = x2 + 2mx m + 6, f (x)对称轴为 = fi，由力c B得/f To或船Uo. .盘>1成 pn<-2“l-3m + 7>0 l3m + 10>0'1 < 771 < (或一 y < TH < -2,-< m < -3或2 < m < 2 33综上可知：一【题型二】全称量词与存在量词【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(l)Vx N ,/ > /；(2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3)3xo W R，W -%o + 1 < 0；(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直.【解析】(1)全称命题，当=0时，结论不成立，所以为假命题.命题的否定：3x E N ,x3 < x2.(2)全称命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是0或5；为假命题.命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0：(这里不能写“都不是”)(3)特称命题，x2-x0 + l = (x0-1)2+>p所以结论不成立，为假命题. 乙a*命题的否定：Vx G /? ,x2-x+ 1 > 0.(4)特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题.命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直.【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.【典题2】若命题,4时，0”是假命题，则m的取值范围【解析】“Vx 6 1 ,4 ,x2 -4x -m H 0”是假命题，二该命题的否定叼*G 1 ,4 ,Xq 4%o -m =。"是真命题，即方程/一4%一租二0在口 ,4上有解,(1 4 m)(16 16 m) < 0,解得4 < ?n < 0.【点拨】命题与命题的否定的真假性相反;正面不好证明，可从反面入手.巩固练习1 ()命题Fx e R ,x2-x+ 1 < 0"的否定是.【答案】Vx e /? ,x2-x + l >0【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题勺x W R, x2-x + l< 0"的否定是"V% G R, x2 -X + 1 > 0”.2 ()若命题比e R, 3就+ 2ax0 + 1 < 0”是假命题，则实数a的取值范围是. 【答案】-V3 ,V3【解析】命题勺& G R, 3- + 2ax0 + 1 < 0"的否定为，x G R, 3x2 + 2ax + 1 > 0", 命题勺。ER, 3诏+ 2ax0 + 1 < 0”是假命题，"Vx G R, 3x2 + 2ax+l> 0”为真命题，KU= 4a2 -12 < 0,解得一V5 < a < V3. 实数a的取值范围是：一V5, V3.3(*)已知命题1 ,1, 一痣+ 3%+ 口>0”为真命题，则实数Q的取值范围是 【答案】(-2 ,+8)【解析】命题勺/ G-l, 1, -xS + 3x0 + a> 0”为真命题等价于a >小一3%的 1, 1上有解,令/(x) = x2 3x, X 1, 1,则等价于a > /(x)min = f(l) = -2, a > 2,挑战学霸设数集S = Q ,b ,C ,d满足下列两个条件：(l)Vx ,y G S, xy e S； (2)Vx ,y ,2£5或%去丫，则xz H yz.现给出如下论断：a ,b ,c ,d中必有一个为0；a ,b ,c ,d中必有一个为1：若x £ S且：vy = 1,则y £ S；存在互不相等的x ,y ,z e S,使得/=y,y2 = z.其中正确论断的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】由（2）知0不属于S（不成立），由（1）可推出对于任意a ,b ,c ,d E S , abed 6 S,abed等于a , b ,c ,d中的某一个，不妨设abed = a,bcd = l（由（1）知成立），二若中 =匕，则、=",由（1）知cdS,即yS,x =力时成立“同理有x = c时成立和 = d时成立，卜面讨论 = a时，1 E S, .若a = 1,则y = 1 S,成立（最后会证到a即abed不可能等于1）,若QH1,则b ,C ）中的某个等于1,不妨设b = 1,由儿d = 1知cd = 1,由（1）知qc G S,又丁 ac 工 a（即c。1）» ac 工匕（即q H d）, ac 丰 c（即q H 1）,:.ac = d,同理有ad = c,： ac ad = d c, a2 = 1, :. a 1,y = "1 G S,：.成立综上，对于任意x E S = 1,有y e S成立，即成立，由a H 1即abed H 1的讨论可知当a/?cd H 1 时，S = 1 , 1 ,i , i,（联立cd = 1 ,ac = d , ad = c解出a ,c ,d） 此时，成立，若q = 1 即abed = 1» 则bed = 1 = a,由 1 知cd E S,若cd = a = 1,则8=bed = a,不可能，若cd = c,则d = 1 = a,不可能,若cd = d,则c = 1 = a,不可能，： cd = b,.b2 = b cd = a,同理有= a ,d2 = afa的平方根有且只有两个值，那么b ,c ,d中至少有两个相同，这与b ,c ,d同属于S矛盾,，不存在q = 1即abed = 1的情况，.成立.故选：C.
