考点23 空间几何垂直问题练习（含答案解析）.docx
考点23空间几何体垂直问题【题组一线面垂直】.如图，在直四棱柱A5CD-44GA中，底面ABCQ是矩形，AQ与A"交于点£,= AD = 2A8 = 4,证明：4七_1_平面ECD【答案】证明见解析【解析】【分析】先证明CD,平面AAQQ,得到CDJ.AE,再证明AEJLED,平面ECD即得证.【详解】证明：因为四棱柱ABCD-AgG2是直四棱柱，所以A41，平面ABCO,那么明，。.又COLD, A41nAO = A, 裕那0匚平面期。，所以CQ_L平面例A。，所以CO_LA£.因为的J_AD, AA=AD,所以A4QQ是正方形，所以AE_L£D.又 CDCED=D, CD, ED u 平面 ECD.所以A£_L平面ECD.【点睛】此题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.1 .如下图，四棱锥PA3C。中，底面ABC。为菱形，PAL底面ABC。，PA = AB = 2, ZABC = 6Q°, E为棱5C的中点，尸为棱尸C上的动点，求证：4石_1_平面94。.面AB石_1_面A3。【点睛】此题考查面面垂直的证明，属于中档题TTJT11 .梯形中，AD/BC, ZABC = -9 /BCD = , AD = CD = 2,过点A 63作交BC于E （如图1）.现沿将ZVIBE折起，使得得四棱锥3 A石CD （如图2）求证：平面BZ龙JL平面ABC【答案】证明见解析【解析】【分析】首先根据条件易证四边形AECO为菱形，从而得到。£_LAC,再根据线面垂直 的判定得到OE，平面ABC,即可证明平面BDE1平面ABC.TT7T【详解】在 AABE中，.* ZABC = - , AELAB,:/BEA = 一,6371又/BCD = , ：. AE/DC , 3又AO3C, J四边形AEC。为平行四边形.9： AD = CD, 平行四边形AEC。为菱形，：.DE±AC,又BCLDE, ACICu平面ABC, ACQBC = C,/. DEJ_平面 ABC.又。£<=平面）石， 平面BD£J_平面A5C【点睛】此题主要考查面面垂直的证明，属于简单题.【题组三 线线垂直】.如图，在长方体A5C。-4月G2中，底面A8CO是边长为2的正方形，AC为底面A3CQ的对角线，求证：。d，AC【答案】证明见解析【解析】【分析】 连接交AC于。，证得AC_LB。，再由2。，面ABC。，证得DQJ_AC,证得AC±i§BDD9 从而证得【详解】证明：连接3。交AC于。,;四边形A5C。是正方形，A ACLBD.在长方体ABCO A/GR中，OJL平面 4BCO, ACu平面 A5CD, /. DDX 1 AC.又,： BDCDD、=D, acj_ 平面 BOR. D】Bu 平面 BDDr：. DB.LAC .【点睛】此题考查了线线垂直的证明，可先证线面垂直，再得线线垂直，属于基础 题.13.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CQ是菱形，PA_L底面ABCQ,证明：BDLPCp【答案】证明见解析【解析】【分析】首先连接4C,利用条件易证3Q_L平面PAC,再利用线面垂直的性质即可得【详解】连接AC,如下图：P底面 ABCD, BDu底面 ABCD,BD±PA.;四边形A3CD是菱形，3OLAC.又 PAnAC = A,平面PAC,ACu平面尸AC, ：. BDIPC.【点睛】此题主要考利用线面垂直的性质证明线线垂直，属于简单题.【答案】证明见解析【解析】【分析】由条件得ABC是等边三角形，根据三线合一性质得出又ADHBC, 那么.再由线面垂直的定义得AE_LB4,最后利用直线与平面垂直的判定定 理可得出平面PAD.【详解】证明：如下图，由于四边形48C。是菱形，那么A3 = 3C,又NABC = 60。，J AABC是等边三角形，;石为BC的中点，：.AE±BC,: AD/BC, ：. AELAD.:底面 ABCQ, AEu平面 A3CQ, ：. AEA.PA,.ADcQ4 = A, ADu 平面 PA。，Q4u 平面 PA。，AE_L 平面 BAO.【点睛】此题考查直线与平面垂直的判定定理，属于基础题.3 .如图，在五棱锥PABCD石中，B4_L平面ABCDE, AB/CD, ACHED, AE/BC, ZABC = 45° , AB = 2也,BC = 2AE = 4,求证：CD_L 平面 PACD【答案】证明见解析【解析】【分析】先解三角形ABC,证明A5LAC,从而证得CCAC,又由24_1_面45。£,证 得CD上PA,从而证得平面PAC.【详解】在三角形ABC中，.NABC = 45。，BC = 4, AB = 2，； AC2 =AB2+ BC2 - 2AB BC cos 45。= 8,A BC2 = AB2 + AC2, A ZBAC = 90°, ：. ABI AC.由 AB/CO,得 CO_LAC.又 AAL平面 ABCDE, C£>u面 ABCDE,故 Q4，CD.又B4nAC = A, ，CD，平面PAC.【点睛】此题考查了解三角形，线面垂直的证明，属于基础题.4 .如图，平面A3CD,平面ARE,且A3CQ为正方形，AE = 2AB = 2,NB4E = 60。，/为AC的中点，求证：AC±BEF【答案】证明见解析【解析】【分析】先解三角形ABE,证得再由面A5CD，面ME,那么可证得8E1平面 ABCD,证得跖JLAC,又B£_LAB,从而可证得AC,平面BEb.【详解】因为A£ = 2A8 = 2,N8A£ = 60。，由余弦定理得 BE = VAB2 + AE2 -2AB- AE- cos60° :，所以AB2+B石2=A£2 ,所以由于平面ABC。_L平面ABE,且两个平面相交于AB, BE u面ABE,所以BE1平面ABC。，又4Cu平面ABCQ,所以BE_LAC,又因为=所以AC,平面班厂.【点睛】此题考查了余弦定理解三角形，面面垂直的性质，线面垂直的判定，属于 中档题.5 .如图，为圆。的直径，点£、/在圆。上，矩形A3CO所在的平面和圆0 所在的平面互相垂直，求证：平面C3方【答案】证明见解析【解析】【分析】分别证明Ab_LC3,方即可.【详解】:平面A3CO_L平面ABE尸，CB±AB9平面 ABCOn 平面 ABEF = AB，.C5JL平面ABE方，S/在平面AB跖内，：.AF±CB9又A5为圆。的直径，CBBF = B A_L 平面 C3 b.【点睛】此题考查的是线面垂直的证明，考查了学生对垂直的相关定理的掌握情 况，属于基础题.6.如图，Ab_L平面A3C。，四边形A5EF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，ZDAB = 90°, AB/CD, AD = AF = CD = 2 9 AB = 4,求证：AC_L 平面BCE【解析】【分析】由A£J_平面ABCO可得出AC_LA尸，结合BE/A/可得出AC，,利用勾股定 理证明出3C_LAC,然后利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】.AF_L平面ABC。，ACu平面A3CO, /.AC.LAF,四边形45£户为矩形，那么BE/AF , /. ACA.BE. 四边形A5C。是直角梯形，ZDAB = 90°, AB/CD,那么NADC = 900,.4) = CD = 2, .ACD是等腰直角三角形，那么 AC = aMd2+CD2 =26 且 NG4O = 45。，/. ZBAC = 450,在ABC 中，AC = 2后，AB = 4, ABAC = 45°,由余弦定理得 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB AC cos ABAC = 8，AC2 + BC2 = AB2, /. BC A. AC.QBCI BE = B,因此，ACJL 平面 BCE.【点睛】此题考查线面垂直的证明，考查推理论证能力，属于中等题.【题组二 面面垂直】.如图，四棱锥PABCQ的底面A5CQ是菱形，ABAD = 60 , PA = PD,。为AD边的中点，证明：平面POB_L平面P4OP【答案】证明见解析【解析】分析首先连接30,根据条件易证4?_L平面尸。3,再利用面面垂直的判断即可证 明平面P03_L平面R4O.【详解】连接30,如下图：P因为底面ABCD是菱形，ABAD = 60°,所以锄£是正三角形，因为。为边的中点，PA = PD,所以 ADLPO, ADA.BO, POCBO=O ,所以AO,平面P03,因为ADu平面PA。，所以平面尸。8，平面R4O.【点睛】此题主要考查面面垂直的证明，属于简单题.7 .如图，在平面图形PA3CZ）中，ABCD为菱形，/DAB = 6W,PA = PD = C ,M为CO的中点，将AftAZ）沿直线AZ）向上折起，使求证：平面 P4OJ_ 平面 A8CZ）AABB【答案】证明见解析【解析】【分析】首先取AO中点连接PE, EM , AC,根据条件易证BZ)J_平面从 而得到再利用线面垂直的判定得到尸E,平面A3CZ),从而得到平面 PAD上平面ABCD.【详解】取AD中点£,连接P£, EM , AC,如下图：因为= 所以PEJ_AD.由底面A3CD为菱形，所以5QJ_AC,又由2M为AQ,CD的中点，所以£MAC,可得3Q_LEM,又由EMrPM = M ,所以平面尸EM.又因为尸石u平面。项f,所以BD_LPE.BD1PE< ADV PE nPE 上平面 ABCD, ADClBD = D又Eu面PAO,所以平面B4OJ_平面ABCD.【点睛】此题主要考查面面垂直的证明，属于中档题.9.如图，在四棱锥PABC。中，PDJL平面ABC。，CD/AB,AD = CD = BC = 29 AB = 4,求证:平面 Q4O_L 平面 P3DpB【答案】证明见解析【解析】【分析】 过。作。石J_AB,根据几何特点，利用勾股定理推出8DJ_AD；再集合 即可推证出BO_L平面PAD,进而由线面垂直推证出面面垂直.【详解】证明：如图，过点。作小，A5于点£.因为 CO/A氏 AO = CO = BC = 2,AB = 4, 所以四边形ABC。是等腰梯形，可得 AE = 1,BE = 3,DE = 6,BD = 273 ,所以A4 =所以又因为PZ)，平面ABC2 3。u平面ABC。, 所以3。_1_也>.因为 ADcP£> =。,PZ),ADu平面 PAD,所以3Z)_L平面BAO.因为BDu平面P5Z),所以平面PAD_L平面PBD.【点睛】此题考查利用线面垂直推证面面垂直，属基础题.10.如图，三棱柱ABC-AMG的所有棱长都是2, A4_L平面D, E分别是AC, CG的中点，求证：面石，面A3。【答案】证明见解析【解析】【分析】要证面面垂直，即证线面垂直，设法求证AE垂直于平面ABO的两条交线即可，通过线面垂直的判定定理及性质定理和几何关系可证BQJ_AE，DLAE【详解】.AB = 5C = C4,。是AC的中点.BD上AC.直三棱柱ABC - 4耳G中A4，平面ABC平面A4CC，平面ABC,且平面AACCn平面ABC = AC.BD_L 平面 A4CC.AEu平面AAG。:.BDA.AE又在正方形A41G。中，D, £分别是AG CG的中点，vAADAACEAD 1. AE，又 AQc BD = D隹_1_平面48。.又.AEu面ABE
