高等量子力学习题1.docx

高等量子力学第一章习题：1、两个态矢量|+>和I>形成完全集。在它们所构成的Hilbert空间中定义如下三个算符:力力S = 一(| + >< | + | >< + |)S2 = Z(| >< + | | + >< | )力ZS3 = (| + >< + |- |-><-|)2试证明它们满意如下对易和反对易关系：Si,Sj = i£ijkSkh力2 Sq+=7%.并求出两个态矢量|+>和I>之间的翻转变换算符及算符S2=S：+S；+S；的 表 达式2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：H = a|lxl| + b|2><2| + c|l><2| + d|2><l|其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。问：H的厄密性对系数a,b,c,d有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表 示为|1>和2>的线性叠加)。3、一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为其中，基态|0>满意b|0>=0,并且b和b+与其坐标和动量算符的关系为"忌("疗(试求态矢量|n转换到坐标表象表达式vx|n>。4、设某系统的哈密顿算符为:H(t)=a1(t)J+a2(t) Jo+a3(t)J-其中4,i=l, 2,3为任意时间t的函数，入，b人为51；(11)群的生成元，其满意下述对易 关系:J+ , J-=-2 Jo,Jo, J±=±J±试证明该系统的时间演化算符可表示为：U(t,O)=expCi(t)J+expC2(t)JoexpC3(t)J-,并导出确定 G(t)的方程5、算符b和b+的对易关系为b , b+=l,在b+ b对角表象的本征态矢量为且基态满意b|0>=0,引入算符b的本征态b|z>=z|z>试求归一化态矢量|z>在b+ b对角表象的表示式，由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表 象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数6、题的条件与题5相同，并可采用题5的结果，试证明：(i)相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其缘由。(ii)相干态表象的基矢组是完备的，完备性条件由下式给出式中，积分元由z二x+iyd2z二dxdy给出，证明过程中可以采用的公式有:(iii)不存在算12。£0/+*+内=/晨符b+的本征右矢量。