点和圆的位置关系(教案、导学案).docx

点和圆、直线和圆的位置关系点和点和的位置关系孽教学目标【知识与技能】1 .掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.2 .探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.3 .了解运用“反证法”证明命题的思想方法.【过程与方法】通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗 透数形结合，分类讨论等数学思想.【情感态度】形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力 与创新精神.【教学重点】(1)点与圆的三种位置关系.(2)过三点作圆.【教学难点】点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法敢与亘睚一、情境导入，初步认识射击是奥运会的一个正式体育项目，我国运动员在奥运会上屡获金牌，为我 国赢得了荣誉，如图所示是射击靶的示意图，它是由若干个同心圆组成的，射击 成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动员射击10发子弹在靶上留 下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗？过不在同一直线上的三个已知点A、B、C作圆，在图(3)中作图探究.a.因为要作的圆过点A和点B,所以圆心在AB的垂直平分线 上.b.因为要作的圆过点B和点C,所以圆心在BC的垂直平分线 上.所以经过点A、B、C的圆的圆心在AB、BC垂直平分线的交点上,这样的圆能作1c.如右图，CD所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具，最少使用2次就可以 找到圆形工件的圆心.d.经过四个点是不是一定能作圆？不一定.由可得：不在同一直线上的三点确定一个圆.三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离 相等.假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾 断定 ,厂 假设不正确，从而得到原命题一成立，这种方法叫反证法，反证法是一种1接证丸(填“直接证法”或“间接证法”).用反证法说明经过同一直线上的三个点不能作出一个圆的道理.假设经过同一条直线/上的A, B, C三点可以作一个圆，人/ / 设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线/i上， / 人又在线段BC的垂直平分线/2上,即点P为/i与/2的交点，而Zi±/,这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆.2 .自学:同学们可结合自学指导进行自学.3 .助学：(1)师助生：明了学情：看学生能否在提纲的指引下顺利画圆.差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、帮助画图.4 .强化:（1）不在同一直线上的三点作一个圆的作法.（2）三角形的外心及其性质.三、评价1 .学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑惑？2 .教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、动手情况、小组交流协作情况以及存在的问 题等.（2）指标评价：课堂评价检测.3 .教师的自我评价（教学反思）：本节课通过复习圆的定义入手，通过学生操作，总结出 了点与圆的三种位置关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆, 得出了不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三角形 的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学生实践中得出的, 培养了学生动手操作的能力.<评价作业>（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1 .（20分）判断下列说法是否正确：（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆.（J）（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形.（X ）（3）经过三点一定可以确定一个圆.（X ）（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. （V）2 .（10分）。的半径为10cm, A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm, 则点A、B、C与。的位置关系是：点A在圆内;点B在圆上；点C在圆外.3 .（1。分）若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（B）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4 .（30分）如图，分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，它们的外心 位置有什么特点？解：如图所示：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形的外接圆的圆心在三角形斜边中 点处，锐角三角形的外接圆的圆心在三角形外部.二、综合应用（20分）5 .（20分）爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm,如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤 离，那么是否安全？为什么？解：:导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,导火索的长度是18cm.工导火索燃烧完需18-0.9=20 （s）.又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，则导火索燃烧完撤离的最大距离为6.5x20=130 （m）.V130>120, J 安全.三、拓展延伸（10分）6 .（10分）某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示.为复制该瓷盘要确定其圆心和半径, 请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.解：（1）在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；n （,（2）连接 AB、BC；（3）分别作出AB、BC的垂直平分线；（4）两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.从数学的角度来看，这是平面上的点与圆的位置关系，我们今天这节课就来 研究这一问题，引出课题.【教学说明】随着现在经济科技的发展，奥运会越来越被人们所重视.本节 通过学生熟悉的射击比赛成绩的算法，使学生在开拓知识视野的同时，感知点与 圆的几种位置关系，体会数学在生活中应用.二、思考探究，获取新知7 .点与圆的位置关系我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关系.学生交流，回答问题.教师点评：点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外.议一议如下图，。的半径为4cm, 0A=2cm, 0B=4cm, 0C=5cm,那么, 点A、B、C与有怎样的位置关系？解：V0B=4cm,.点 B 在。0 上.VOA=2cm<4cm, 点 A 在。O 内.VOC=5cm>4cm, 点 C 在。O 外.【教学说明】由前面所学的“圆上的点到圆心的距离都等于半径”，反之“到 圆心的距离都等于半径的点都在圆上”可知点B一定在。上.然后引导学生看 图形，初步体会并认识到点与圆的位置关系可以转化为数量关系.为下面得出结 论作铺垫.【归纳结论】点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：设。0的半径为r,点P到圆心0的距离为d.则有：点P在。O外 d>r点P在。上 d=r点P在。O内 d<r注：” ”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左边结论. 读作“等价于”.要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.8 .圆的确定探究（1）如图（1）,作经过已知点的圆，这样的圆你能作出多少个？（2）如图（2）,作经过已知点A、B的圆，这样的圆能作多少个？它们的 圆心分布有什么特点？学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.解：（1）过已知点A画圆，可作无数个圆.这些圆的圆心分布于平面的任意 一点，半径是任意长的线段（仅过点A,既不能确定圆心，也不能确定半径.）（2）过已知的两点A、B也可作无数个圆.这些圆的圆心分布在线段AB的 垂直平分线上.因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.（注：仅过点A、B,同样不能确定圆心，也不能确定半径.）思考在平面上有不共线的三点A、B、C,过这三个点能画多少个圆？圆心 在哪里？解：经过A、B两点的圆，圆心在线段AB的垂直平分线上.经过A、C两点 的圆，圆心在线段AC的垂直平分线上，那么这两条垂直平分线一定相交，设交 点为0,则OA=OB=OC,于是以O为圆心，以OA为半径的圆，必过B、C两 点，所以过不在同一直线上的A、B、C三点有且仅有一个圆.【归纳结论】不在同一直线上的三点确定一个圆.由此结论要延伸到：经过三角形三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个，这个圆叫做三角形的 外接圆.三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的 内接三角形.三角形的外心一一三角形三边垂直平分线的交点.它到三角形三个顶点的距 离相等.【教学说明】这段中心问题是过已知点作圆，在帮助学生分析这一问题时， 紧紧抓住圆心和半径来研究.在三点共圆的问题上，一定要强调“不共线的三点”. 这里学生实际动手作图的内容很多，可以充分调动学生学习的主动性和积极性, 通过学生的动手操作和动脑思考，增强学生对知识的理解和领悟.议一议 如果A、B、C三点在同一直线上，能画出经过这三点的圆吗？为什 么？4 B （： Z1 12：解：如图，若过同一直线/上的三点A、B、C能作一个圆，圆心为P,则 点P既在线段AB的垂直平分线/上，又在线段BC的垂直平分线/2上，即点P 是直线/1与直线h的交点，由此可得:过直线/外一点P作直线I的垂线有两条/1 和2这与以前学的“过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，.过 同一直线上的三点不能作圆.【教学说明】所有学生都会看出这问题一定不能作圆，但如何证明呢?这是 一个事实，直接证明有些困难，于是引入了反证法.反证法是间接证明问题的一 种方法.它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此 经过推理得出矛盾，从矛盾断定所作的假设不成立，从而得出原命题成立，这种 方法叫做反证法.初中阶段接触的较为简单.三、典例精析，掌握新知例1。0的半径为10cm,根据点P到圆心的距离:(1) 8cm, (2) 10cm, (3) 13cm,判断点P与。O的位置关系？并说明理由.解：由题意可知：r=10cm.(l)d=8cm<10cm, d<r 点 P 在。O 内；(2)d=10cm, d=r 点 P 在。O 上；(3)d=13cm>10cm, d>r 点 P 在。O 外.例2如图，在A地往北90m处的B处，有一栋民房，东120m的C处有一 变电设施，在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破, 为使民房，变电设施，古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围 之内？解：由题设可知：AB=90m, AC=120m, ZBAC=90° ,由勾股定理可得： BC= VAB2+AC2 = a/902+1202 =150 (m).又TD 是 BC 的中点，AD=1/2BC=75 (m).民房B,变电设施C,古建筑D到爆破中心的距离分别为：AB=90m, AC=120m, AD=75m.要使B、C、D三点不受到破坏，即B、C、D三点都在。A 外，OA的半径要小于75m.即：爆破影响的半径控制在小于75m的范围，民房、变电设施，古建筑才 能不遭破坏.【教学说明】例1可让学生独立思考，尝试写出过程；教师点评，并规范书 写格式.例2是对本节知识的实际应用，教师引导学生分析问题，使学生学会将 实际问题转化为数学问题，从而认识到问题的本质，也让学生体会到数学是与实 际生活紧密相连的.四、运用新知，深化理解L如图,已知在 RtZXABC 中，ZC=90° , AC=4, BC=3, D、E 分别为 AB、 AC的中点，现以点B为圆心，BC的长为半径作。B,试问A、C、D、E四点 分别与OB的位置关系？2 .如图，。是AABC的外接圆，且AB=AC=13, BC=24,求。的半径.BB3 .如图，有一个三角形鱼塘，在它的3个顶点A、B、C三处均有一棵大白 杨树，现设想把三角形鱼塘扩建成圆形养鱼场，但必须保持白杨树不动，请问能 否实现这一设想？若能，请设计画出示意图；若不能，说明理由.【教学说明】上述三道题，教师可先给出提示，再让学生自主探究，或分组 讨论，最后加以评析.题1是有关点和圆的位置关系，意在帮助学生加深理解新 知，题2是外接圆的知识，题3是确定圆的知识的实际应用.【答案】1.解:连接 EB.VZC=90° , AC=4, BC=3, AAB=5.VE> D 分别 为 AC、AB 的中点，DB=1/2AB=2.5, EC=1/2AC=2, EB=EC2+BC2 =y/13.VAB=5>3,，点 A 在。B 外；VCB=3,点 C 在。B 上；VDB=2.5<3, 工点 D 在。B 内;EB= V13 >3, .点 E 在。B 外.4 .解:<AB=AC, A AB = AC ,即A是BC 的中点.故连接OB, OA,则 OA1BC,设垂足为 D.在 RtaABD 中，AdNaB2皿 =依-122 =5.设。O 的半径为r,则在RtzOBD中,/哈产+忸 解得r=16.9.5 .只要作4ABC的外接圆即可.五、师生互动，课堂小结本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流.【教学说明】学生自主发言，教师进行点评和补充，要向学生强调反证法和 数形结合的数学思想.不课后作业1 .布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2 .完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.%教学反思本节课通过复习圆的定义入手，通过学生操作，总结出了点与圆的三种位置 关系，其中渗透着分类讨论的思想，经过探讨过一点、两点、三点作圆，得出了 不在同一直线上三点确定一个圆，从而自然引出三角形外接圆、外心及圆内接三 角形的定义，此外还学习了用反证法证明命题的方法和步骤.这些定理都是从学 生实践中得出的，培养了学生动手的能力.242点和圆、直线和圆的位置关系点和点和的位.关系一、新课导入1 .导入课题：问题：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好?你是怎么判断出来的？这个问题与我们今天要学习的内容密切相关.（板书课题）2 .学习目标：（1）知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.（2）知道不在同一直线上的三点确定一个圆，能过不在同一直线上的三点作圆.（3）知道三角形外心的概念及其性质.（4） 了解反证法的证明思想及一般步骤.3 .学习重、难点：重点：点和圆的位置关系；三角形的外心及其性质.难点：反证法.二、分层学习第一层次学习1 .自学指导：（1）自学内容：教材第92页的内容.（2）自学时间：4分钟.（3）自学方法：阅读理解，观察归纳.（4）自学参考提纲：设。0的半径为r,点P到圆心的距离0P=d,则点”在圆外 Q dr ;点，在圆上 Q :厂 ;点，在圆内 Q d <r.教材中“点P在圆上U>d=r”是什么意思？点P在圆上可以推出d=r,反过来d=r也可以推出点P在圆上.圆可以看成是到圆心距离等于定长（半径）的点的集合；圆的内部可以看成是 到圆心距离小于定长（半径）的点的集合;圆的外部可以看成是 到圆心距离大于定长(半径)的点的集合.体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m,他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？小明投出的铅球在区域，小丽投出的铅球落在区域.2 .自学：学生结合自学指导进行自学.3 .助学：(1)师助生：明了学情：关注学困生的答题情况.差异指导：主要指导学困生.(2)生助生：生生互动，交流研讨，改正.4 .强化：(1)点和圆的三种位置关系及其判定方法.(2)设。的半径为2,点P到圆心的距离为0P=3,则点P在圆 外.(3)画出由所有到已知点。的距离大于或等于1cm并且小于或等于2cm的点组成的 图形.解：如图所示.1 .自学指导：(1)自学内容：教材第93页“探究”至第94页的内容.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：阅读，思考，动手操作，推理归纳.(4)自学参考提纲：过一个已知点A作圆，这样的圆能作 无数 个,在图中作图探究.过两个已知点A、B作圆，这样的圆能作无数个,满足条件的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上，在图(2)中作图探究.