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机械工程测量技术节第1页，本讲稿共36页随机过程的样本函数 x(t)=x1(t)，x2(t)，xi(t)，第2页，本讲稿共36页3信号信号确定性信号确定性信号周周 期期 信信 号号简谐周期信号简谐周期信号复杂周期复杂周期信号信号非周期信号非周期信号准准周期信号周期信号瞬瞬 态 信信 号号随机信号随机信号平稳平稳随机信号随机信号各各态历经信号信号非各态历经非各态历经信号信号非平稳非平稳随机信号随机信号一般非平稳一般非平稳随机随机信号信号瞬瞬变随机随机信号信号第3页，本讲稿共36页对于任意的于任意的，2.5.2 随机信号的分随机信号的分类连续随机随机过程：程：如果随机如果随机过程程都是都是连续随机随机变量量。离散随机离散随机过程：程：如果随机如果随机过程程对于任意的于任意的，都是离散随机都是离散随机变量量。第4页，本讲稿共36页对全部全部样本函数在某本函数在某时刻之刻之值 x xi i(t tk k)求平均的运算。求平均的运算。例如，例如，时刻刻t t1 1的平均的平均值为：随机过程在随机过程在 t t1 1 和和 t t1 1+两不同时刻的相关性可用两不同时刻的相关性可用相关函数相关函数表示为：表示为：随机过程的样本函数相关函数：相关函数：集合平均集合平均：第5页，本讲稿共36页非平非平稳随机随机过程程：统计特征参数随特征参数随时间变化的随机化的随机过程。程。平平稳随机随机过程程：统计特征参数不随特征参数不随时间变化的随机化的随机过程。程。各各态历经过程程：平：平稳随机随机过程的每个程的每个样本函数的本函数的时间平均平均统计特特 征均相同，且等于征均相同，且等于总体体统计特征特征 (时间平均等于集合平均平均等于集合平均)。集合平均图图1.16随机过程的样本函数随机过程的样本函数 时间平均时间平均各各态历经过程第程第i i个个样本本的的时间平均运算，例如：平均运算，例如：第6页，本讲稿共36页 任一样本函数在足够长的时间区间内，包含了各个样本函数任一样本函数在足够长的时间区间内，包含了各个样本函数所有可能出现的状态所有可能出现的状态【遍历性遍历性】。工程中绝大多数随机过程都是各态历经的，工程中绝大多数随机过程都是各态历经的，或可以近似为各态历经过程进行处理或可以近似为各态历经过程进行处理【实际意义实际意义】。各态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间各态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平均来描述平均来描述【代表性代表性】。严格地说：只有平稳随机过程才能是各态历经过程，严格地说：只有平稳随机过程才能是各态历经过程，只有证明了随机过程是各态历经的，只有证明了随机过程是各态历经的，才能用单个样本函数统计量代替随机过程总体统计量。才能用单个样本函数统计量代替随机过程总体统计量。各态历经过程的意义各态历经过程的意义:第7页，本讲稿共36页8集合平均总体平均（集合平均）总体平均（集合平均）：对全体样本函数在某时刻之值求平均值，即对全体样本函数在某时刻之值求平均值，即 随机过程在和两个不同时刻的相关性可用随机过程在和两个不同时刻的相关性可用相关函数相关函数表示：表示：（1.61）相关函数相关函数：图图1.16随机过程的样本函数随机过程的样本函数 统计特征统计特征时间平均时间平均附加说明（后附加说明（后3页）页）第8页，本讲稿共36页9平稳随机过程平稳随机过程 其统计特征不随时间变化。其统计特征不随时间变化。单个样本函数上的时间平均统计特征：随机过程样本函数集合的统计特征：图图1.16随机过程的样本函数随机过程的样本函数 其统计特性不随时间推移而变其统计特性不随时间推移而变 化，即与时间无关的随机信号。化，即与时间无关的随机信号。非平稳随机过程非平稳随机过程 不满足不满足 则则 周期信号的周期信号的时间统计平均时间统计平均附加说明附加说明第9页，本讲稿共36页10平稳随机过程的任何一个样本函数的平稳随机过程的任何一个样本函数的时间平均统计特征均相同，且等于总体统计特征时间平均统计特征均相同，且等于总体统计特征（时间平均等于集合平均）时间平均等于集合平均）。各态历经各态历经过过 程程非各态历经过程非各态历经过程不满足不满足.则则.当平稳随机信号的时间平均值等于总体集合平均值时，这种平稳随机信号称为各态历经的或遍历的随机信号。单个样本函数上的时间平均统计特征：随机过程样本函数集合的统计特征：附加说明附加说明第10页，本讲稿共36页112信号的分类和描述信号的分类和描述确定性信号确定性信号可用明确的时间函数表示的信号。可用明确的时间函数表示的信号。随随 机机 信信 号号随机过程的时间函数不能用精确的数学表达式随机过程的时间函数不能用精确的数学表达式 描述描述。2章小结章小结 了解信号的分类：了解信号的分类：第11页，本讲稿共36页12 掌握对周期性信号及非周期性信号的描述：掌握对周期性信号及非周期性信号的描述：2章小结章小结简谐信号简谐信号频率单一的正弦、余弦信号频率单一的正弦、余弦信号复杂周期信号复杂周期信号是由两种以上简谐是由两种以上简谐 信号合成、信号合成、频率比为有理数。频率比为有理数。准周期性信号准周期性信号两种以上的频率成分合成，两种以上的频率成分合成，各简谐信号之间无公共周期，各简谐信号之间无公共周期，无法按某一周期重复出现无法按某一周期重复出现。瞬态信号瞬态信号信号的持续时间很短，信号的持续时间很短，并且有明显的开端和结束。并且有明显的开端和结束。周期信号非周期信号频谱为频谱为离离 散线散线 谱谱（有理数）（有理数）频谱为频谱为连续谱连续谱频谱为频谱为离离 散散线线 谱谱（无理数）（无理数）第12页，本讲稿共36页13 掌握傅里叶变换的性质及其应用：掌握傅里叶变换的性质及其应用：2章小结章小结奇偶、虚实性奇偶、虚实性线性线性对称性对称性时间尺度改变特性时间尺度改变特性时移、频移特性时移、频移特性微分、积分特性微分、积分特性卷积特性卷积特性了解函数在两个分析域的了解函数在两个分析域的相应变化规律相应变化规律 使信号分析得以简化。使信号分析得以简化。第13页，本讲稿共36页14 掌握随机过程的主要统计参数；掌握随机过程的主要统计参数；2章小结章小结平稳随机过程平稳随机过程：其统计特征不随时间变化其统计特征不随时间变化（时间平均等于集合平均）。时间平均等于集合平均）。各态历经过程各态历经过程：幅值域幅值域时间域时间域频率域频率域均值、方差、均方值、概率密度函数均值、方差、均方值、概率密度函数 等等 自相关函数、互相关函数自相关函数、互相关函数 等等 自功率谱密度函数、自功率谱密度函数、（后续（后续）互功率谱密度函数、相干函数）互功率谱密度函数、相干函数 等等（后续内容）（后续内容）第14页，本讲稿共36页15 了解典型信号的频谱；了解典型信号的频谱；2章小结章小结单位脉冲函数单位脉冲函数白噪声白噪声傅里叶傅里叶变换对时域时域时域时域频域频域频域频域第15页，本讲稿共36页16单边指数函数频谱单边指数函数频谱正余弦函数及其正余弦函数及其频谱幅值谱图幅值谱图相位谱图相位谱图时域波形时域波形0tsin2f0t1/2-1/20fImX(f)-f0f00tcos2f0t1/21/20fReX(f)-f0f0=-000,0)(tatetxat第16页，本讲稿共36页17习题课习题课第17页，本讲稿共36页18工程实际测试总是在时域中截取有限长度的信号，工程实际测试总是在时域中截取有限长度的信号，其本质是被测信号与矩形窗函数在时域中相乘其本质是被测信号与矩形窗函数在时域中相乘【有限区间取值】有限区间取值】,积的频谱必然对应积的频谱必然对应 被测信号频谱与矩形窗函数频谱在频域中的卷积，被测信号频谱与矩形窗函数频谱在频域中的卷积，得到的频谱将在频率轴上连续且无限延伸。得到的频谱将在频率轴上连续且无限延伸。1.矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱*参参见教材教材P14P14例例2.32.3【森克函数】【森克函数】第18页，本讲稿共36页19当矩形窗函数的窗宽当矩形窗函数的窗宽 时，矩形窗函数就成为常值函数，其时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域对应的频域 森克函数森克函数森克函数森克函数 即转化为即转化为即转化为即转化为 函数。函数。2.常值函数的频谱常值函数的频谱*幅幅值为1 1的常的常值函数的函数的频谱？对应：对应：对应：对应：处的函数处的函数 参参见教材教材P21P21傅里叶傅里叶变换对（2-492-49）式）式第19页，本讲稿共36页203.符号函数的频谱符号函数的频谱 符号函数可以看作是双边指数衰减函数当时的极限形式，符号函数可以看作是双边指数衰减函数当时的极限形式，即：即：参参见单边指数函数的指数函数的频谱计算算双双边指数函数表达式指数函数表达式图见前图见前4页页幅值谱图幅值谱图相位谱图相位谱图时域波形时域波形第20页，本讲稿共36页214.单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数可以看作单位阶跃函数可以看作 ，（其中为符号函数）。（其中为符号函数）。前项参照前项参照2“常数的频谱常数的频谱”;后项参见后项参见3“符号函数符号函数”.第21页，本讲稿共36页22单位阶跃函数及其频谱单位阶跃函数及其频谱f 等于等于0处，前项处，前项“采样采样”取值取值1/2，虚部无穷大；，虚部无穷大；f 不等于不等于0处，前项等于零，虚部有值；处，前项等于零，虚部有值；f 等于等于11时，时，X X（f f）取值取值1/（2）；）；X X（f f）为幅值）为幅值谱图。谱图。第22页，本讲稿共36页23【例例题1 1】单边指数函数指数函数与余弦振与余弦振荡信号信号的乘的乘积为：z z(t t)=x x(t t)y y(t t),求求调调幅信号幅信号 z z(t t)的傅里叶的傅里叶变换变换并画出并画出调调幅信号及其幅信号及其频谱频谱。求解求解调调信号信号 w w(t t)的傅里叶的傅里叶变换变换并画出解并画出解调调信号及其信号及其频谱频谱。在信号在信号调制中制中,x(t t)叫叫调制信号制信号,y y(t t)叫叫载波波,z(t t)便是便是调幅信号幅信号。若把若把 z z(t t)再与再与 y y(t t)相乘相乘得解得解调信号信号 w w(t t)=x(t t)y(t t)y(t t)。第23页，本讲稿共36页24解：首先求单边指数函数的傅里叶变换及频谱解：首先求单边指数函数的傅里叶变换及频谱幅值谱图幅值谱图相位谱图相位谱图时域波形时域波形0tcos2f0t1/21/20fReX(f)-f0f0余弦振余弦振荡信号信号的的频谱第24页，本讲稿共36页25求求调幅信号幅信号 z z(t t)=x x(t t)y y(t t)的的频谱：利用傅里叶利用傅里叶变换卷卷积性性质 函数卷积性质函数卷积性质 用用 也可，也可，见题集见题集P39第25页，本讲稿共36页2600tAcA/(2a)t00b调幅信号及其频谱图：调幅信号及其频谱图：A0t0A/aa载波信号及其频谱图：载波信号及其频谱图：调制信号及其频谱图：调制信号及其频谱图：第26页，本讲稿共36页27同理可求出同理可求出解解调信号信号的的频谱：第27页，本讲稿共36页00tAA/(2a)调幅信号及其频谱图：调幅信号及其频谱图：t00载波信号及其频谱图：载波信号及其频谱图：解调信号频谱解调信号频谱低通滤波低通滤波A0t0A/a原信号原信号原信号频谱原信号频谱第28页，本讲稿共36页29故故=，=，【例【例题题3】画出信号画出信号 的的 三角三角频谱频谱 和和 双双边频谱图边频谱图因此在因此在频率率处信号的傅里叶信号的傅里叶级数的三角函数展开的幅数的三角函数展开的幅值为，相角，相角为解：解：信号信号x(t)x(t)符合符合这种形式，种形式，其三角函数展开的幅值频谱图和相位频谱图下图所示。其三角函数展开的幅值频谱图和相位频谱图下图所示。三角频谱三角频谱 :第29页，本讲稿共36页30对对信号信号x(t)进进行三角函数行三角函数展开，并利用欧拉公式得展开，并利用欧拉公式得在处：根据傅里叶根据傅里叶变换对性性质：欧拉欧拉公式公式在处：由虚部实部之比的反正切推导出。双边频谱：双边频谱：第30页，本讲稿共36页31这样这样，就可以画出信号，就可以画出信号 x(t)进进行傅里叶行傅里叶级级数的复指数函数的数的复指数函数的频谱频谱，如，如下下图图。在处：在处：第31页，本讲稿共36页【例题【例题4 4】求下图所示求下图所示3 3个矩形脉冲信号个矩形脉冲信号 x(t)x(t)的频谱。的频谱。设：脉宽为设：脉宽为，脉冲高度为，脉冲高度为 A A，脉冲重复间隔为脉冲重复间隔为 T T（=中心距）。中心距）。32解：解：设表示中表示中间的矩形脉冲信号，的矩形脉冲信号，由题图可知由题图可知相相应的的频谱函数函数书中已求出中已求出（见教材教材p14p14【例【例2-32-3】），】），即：即：第32页，本讲稿共36页33设，的的频谱下下图所示。所示。应用时移性质可得其频谱函数为应用时移性质可得其频谱函数为应用应用欧拉欧拉公式公式第33页，本讲稿共36页作业：作业：2-22-2、2-4 2-4【本周五交建筑馆本周五交建筑馆415415室室】二章概念题二章概念题【自习、下周给答案自习、下周给答案】本章本章删减删减内容内容2.4.4 周期矩形脉冲函数信号的周期矩形脉冲函数信号的频谱2.4.5 符号函数信号的符号函数信号的频谱2.4.6 阶跃函数信号的函数信号的频谱5-6#第34页，本讲稿共36页35【例【例题题2】求余弦信号求余弦信号 的均的均值值 、均方均方值值 和概率密度函数和概率密度函数 。概率密度函数概率密度函数为解：解：对周期信号，只做一个周期分析，周期信号，只做一个周期分析，该信号周期信号周期为均均值均方均方值此题略此题略第35页，本讲稿共36页36余弦信号余弦信号为周期信号，其概率密度函数等于一个周期周期信号，其概率密度函数等于一个周期内内该信号的概率密度函数。信号的概率密度函数。当当，时，从而可得：从而可得：所以：所以：此题略此题略第36页，本讲稿共36页