弹塑性波与冲击动力学第二章精.ppt

弹塑性波与冲击动力学第二章弹塑性波与冲击动力学第二章第1页，本讲稿共81页2-1 物质坐标和空间坐标物质坐标和空间坐标 连连续续介介质质力力学学的的基基本本出出发发点点之之一一，是是不不从从微微观观上上考考虑虑物物体体的的真真实实物物质质结结构构，而而只只是是在在宏宏观观上上把把物物体体看看成成是是连连续续不不断断的的质质点点所所组组成成的的系系统统，即即把把物物体体看看成成是是质质点点的的连连续续集集合合。每每个个质质点点在在空空间间上上占占有有一一定定的的空空间间位位置，不同的置，不同的质质点在不同的点在不同的时间时间占有不同的空占有不同的空间间位置。位置。构形构形：一个物体中各：一个物体中各质质点在一定点在一定时时刻的相互位置的配置。刻的相互位置的配置。第2页，本讲稿共81页如何描述如何描述质质点运点运动动？l 定定义义坐坐标标系系（1）质质点命名（点命名（为为了区了区别别不同的不同的质质点），如点），如 Xi(a,b,c)（2）描述描述质质点所占据的空点所占据的空间间位置位置xi。i=1，一一维维；i=3，三三维维（3）时间时间坐坐标标t第3页，本讲稿共81页 在在连连续续介介质质力力学学中中，往往往往采采用用两两种种观观点点和和方方法法来来研研究究介介质质的的运运动动：Lagrange方法方法 Euler方法。方法。相相应应地地，研研究究杆杆的的运运动动时时，要要先先选选定定坐坐标标系系统统，一一般般对对应应有有两种坐两种坐标标系：系：Lagrange坐坐标标（即物（即物质质坐坐标标，随着介，随着介质质质质点流点流动动来考察）来考察）Euler坐坐标标（即空（即空间间坐坐标标，固定空，固定空间间位置来考察）。位置来考察）。第4页，本讲稿共81页Lagrange描述（方法）描述（方法）：随随着着介介质质中中固固定定的的质质点点来来观观察察物物质质的的运运动动，所所研研究究的的是是在在给给定定的的质质点点上上各各物物理理量量随随时时间间的的变变化化，以以及及这这些些量量由由一一个个质质点点转转到到其其他他质质点点时时的的变变化化，这这种种描描述述介介质质运运动动的的方方法法称称为为Lagrange描描述述（方方法法），又叫又叫又叫又叫随体法随体法随体法随体法。Euler描述（方法）描述（方法）：在在固固定定的的空空间间点点上上来来观观察察物物质质的的运运动动，所所研研究究的的是是在在给给定定的的空空间间点点上上以以不不同同时时间间到到达达该该点点的的不不同同质质点点的的各各物物理理量量随随时时间间的的变变化化，以以及及这这些些物物理理量量从从一一个个空空间间点点转转换换到到另另一一空空间间点点时时的的变变化化，这这种种描描述述介介质质运运动动的的方方法称法称为为Euler描述（方法）描述（方法），又叫，又叫，又叫，又叫当地法当地法当地法当地法。第5页，本讲稿共81页LagrangeLagrange坐坐坐坐标标标标：为为为为了了了了识识识识别别别别运运运运动动动动中中中中物物物物体体体体的的的的一一一一个个个个质质质质点点点点，以以以以一一一一组组组组数数数数（a a，b b，c c）作作作作为为为为其其其其标标标标记记记记，不不不不同同同同的的的的质质质质点点点点以以以以不不不不同同同同的的的的数数数数来来来来（a a，b b，c c）表表表表示示示示，这这这这组组组组数数数数（a a，b b，c c）就称）就称）就称）就称为为为为LagrangeLagrange坐坐坐坐标标标标（或物（或物（或物（或物质质质质坐坐坐坐标标标标、随体坐、随体坐、随体坐、随体坐标标标标）。）。）。）。Lagrange表示法：表示法：t=t0 时时位置来表示，位置来表示，EulerEuler坐坐坐坐标标标标：为为为为了了了了表表表表示示示示物物物物体体体体质质质质点点点点在在在在不不不不同同同同时时时时刻刻刻刻运运运运动动动动到到到到空空空空间间间间的的的的一一一一个个个个位位位位置置置置，以以以以一一一一组组组组固固固固定定定定于于于于空空空空间间间间的的的的坐坐坐坐标标标标 表表表表示示示示该该该该位位位位置置置置，这这这这组组组组坐坐坐坐标标标标称称称称为为为为EulerEuler坐坐坐坐标标标标（或或或或空空空空间间间间坐坐坐坐标标标标）第6页，本讲稿共81页两种方法的举例说明：两种方法的举例说明：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：城市公共交通部门采用两种方法统计客运量：在在在在每每每每一一一一辆辆辆辆公公公公交交交交车车车车上上上上安安安安排排排排记记记记录录录录员员员员，记记记记录录录录每每每每辆辆辆辆车车车车在在在在不不不不同同同同时时时时刻刻刻刻（站站站站点）上下车人数（采用点）上下车人数（采用点）上下车人数（采用点）上下车人数（采用LagrangeLagrange法，即随体法）；法，即随体法）；法，即随体法）；法，即随体法）；在在在在每每每每一一一一站站站站点点点点设设设设记记记记录录录录员员员员，记记记记录录录录不不不不同同同同时时时时刻刻刻刻经经经经过过过过该该该该站站站站点点点点的的的的车车车车辆辆辆辆上上上上下车人数，（采用下车人数，（采用下车人数，（采用下车人数，（采用EulerEuler法法法法，即当地法）。，即当地法）。，即当地法）。，即当地法）。第7页，本讲稿共81页以以长长杆中一杆中一维维运运动为动为例：例：X质质点命名（点命名（质质点在参考点在参考时时刻的空刻的空间间位置坐位置坐标标）：）：X质质点任一点任一时时刻刻t 在空在空间间所占位置：所占位置：x 质质点点X 物物理理含含义义：质质点点在在参参考考时时刻刻t0时时在在参参考考空空间间坐坐标标系系中中所所占占据据的的位位置置坐坐标标。参参考考时时刻刻可可以以取取t0=0时时刻刻，或或其其它它适适当当的的时时刻刻；参参考考空空间间坐坐标标系系可可以以与与描描述述运运动动所所用用的的空空间间坐坐标标系系一一致致，也也可可以以不不同同，选选取原取原则则取决于研究取决于研究问题问题的方便性。的方便性。第8页，本讲稿共81页X表表示示法法一一：介介质质的的运运动动可可表表示示为为质质点点X在在不不同同的的时时间间t占占据据不不同同的的空空间间位置位置x，即，即x是是X 和和t 的函数的函数 (2-1-1)如如果果固固定定X，上上式式给给出出了了质质点点X如如何何随随时时间间运运动动；如如果果固固定定t，上上式式给给出出了了某某时时刻刻各各质质点点所所占占据据的的空空间间位位置置。一一般般来来说说，在在给给定定时时刻刻，一一个个质质点点只只能能占占有有一一个个空空间间位位置置，而而一一个个空空间间位位置置也也只能有一个只能有一个质质点。点。第9页，本讲稿共81页表示法二表示法二表示法二表示法二：反：反：反：反过过过过来只要运来只要运来只要运来只要运动动动动是是是是连续单值连续单值连续单值连续单值的，（的，（的，（的，（2-1-12-1-1）式可反演）式可反演）式可反演）式可反演为为为为 (2-1-2)(2-1-2)即即即即X X是是是是和和和和t t 的函数。的函数。的函数。的函数。（2-1-12-1-1）式式式式和和和和（2-1-22-1-2）式式式式是是是是描描描描述述述述一一一一维维维维长长长长杆杆杆杆中中中中介介介介质质质质运运运运动动动动的的的的两两两两种种种种形形形形式，二者是可是互式，二者是可是互式，二者是可是互式，二者是可是互换换换换的。的。的。的。X X第10页，本讲稿共81页 在在一一维维情情况况下下，应应用用Lagrange方方法法，可可将将物物理理量量表表达达为为质质点点X和和时时间间t 的的函函数数：=F(X,t)。自自变变量量X即即为为Lagrange坐坐标标（物物质质坐坐标标）。）。应应用用Euler方方法法，可可将将物物理理量量表表达达为为空空间间坐坐标标x和和时时间间t 的的函函数数：=f(x,t)。自。自变变量量x即即为为Euler坐坐标标（空（空间间坐坐标标）。）。显显然，然，对对于同一物理量于同一物理量，有，有=F(X,t)=f(,t)(2-1-3)第11页，本讲稿共81页 描描述述同同一一物物理理量量，既既可可以以用用物物质质坐坐标标也也可可以以用用空空间间坐坐标标来来进进行行描述，二者描述，二者还还可以可以进进行行转换转换。（1）物物质质坐坐标标系系中中描描述述的的物物理理量量 空空间间坐坐标标系系中中描描述述的的物物理理量量 由（由（2-1-2）、（）、（2-1-3）式，有）式，有(2-1-4)（2）空）空间间坐坐标标系中描述的物理量系中描述的物理量 物物质质坐坐标标系中描述的物理量系中描述的物理量 由（由（2-1-1）、（）、（2-1-3）式）式=有有 (2-1-5)第12页，本讲稿共81页2-2 时间微商与波速时间微商与波速三种微商：三种微商：空空间间微商（微商（Euler微商）微商）u 物物质质微商（微商（Lagrange微商或随体微商）微商或随体微商）u 随波微商随波微商两种波速：两种波速：空空间间波速（波速（Euler波速）波速）u 物物质质波速（波速（Lagrange波速）波速）第13页，本讲稿共81页空空间间微微商商（Euler微微商商）：在在给给定定空空间间位位置置x上上，物物理理量量对对时时间间t的的变变化率，即化率，即 (2-2-1)物物质质微微商商（Lagrange微微商商或或随随体体微微商商）：随随着着给给定定的的质质点点X来来观观察察物理量物理量对时间对时间t 的的变变化率，即化率，即 (2-2-2)第14页，本讲稿共81页对对于（于（2-2-2）式）式应应用复合函数求微商的用复合函数求微商的连锁连锁法法则则，有，有 质质点点X 空空间间位位置置对对时时间间的的物物质质微微商商，即即质质点点X的的运运动动速度速度 (2-2-3)(2-2-4)第15页，本讲稿共81页物理量物理量为质为质点速度点速度时时，(2-2-4)式式变为质变为质点加速度的表达式：点加速度的表达式：(2-2-5)(2-2-4)式式中中，等等式式右右边边第第一一项项通通常常称称为为局局部部变变化化率率，显显然然在在定定常常场场中中该该项项为为零零；第第二二项项称称为为迁迁移移变变化化率率，在在均均匀匀场场中中该该项项为为零零。与与此此相相对对应应，(2-2-5)式式中中，等等式式右右边边第第一一项项通通常常称称为为局局部部加加速速度度，第二第二项项称称为为迁移加速度。迁移加速度。第16页，本讲稿共81页物物质质波波速速（Lagrange波波速速）：在在物物质质坐坐标标中中来来观观察察应应力力波波的的传传播播，设设在在t 时时刻刻波波阵阵面面传传播播到到质质点点X处处，以以 表表示示波波阵阵面面在在物物质质坐坐标标中的中的传传播播规规律，律，则则物物质质波速（波速（Lagrange波速）可表示波速）可表示为为：(2-2-6)空空间间波波速速（Euler波波速速）：在在空空间间坐坐标标中中来来观观察察应应力力波波的的传传播播，设设在在t时时刻波刻波阵阵面面传传播到空播到空间间点点x处处，以，以 表示表示波波阵阵面面在在空空间间坐坐标标中中的的传传播播规规律律，则则空空间间波波速速（Euler波波速速）可可表表示示为为：(2-2-7)物物质质波波速速和和空空间间波波速速都都是是对对同同一一个个应应力力波波的的传传播播速速度度的的描描述述，但但由由于于选选择择的的坐坐标标不不同同，其其数数值值不不一一定定相相同同，除除非非波波阵阵面面前前方方介介质质是是静静止止且且无无变变形的。形的。第17页，本讲稿共81页随随波波微微商商：随随着着波波阵阵面面来来观观察察物物理理量量对对时时间间t的的变变化化率率。根根据据坐坐标标系的不同，有两种表达式，即系的不同，有两种表达式，即在空在空间间坐坐标标系中有系中有:(2-2-8)在物在物质质坐坐标标系中有：系中有：(2-2-9)(2-2-9)式中，取物理量式中，取物理量为质为质点的空点的空间间位置位置x，该该式式转变为转变为：(2-2-10)第18页，本讲稿共81页 设设设设初初初初始始始始时时时时刻刻刻刻某某某某质质质质点点点点X X空空空空间间间间位位位位置置置置根根根根据据据据定定定定义义义义为为为为X X，随随随随后后后后某某某某时时时时刻刻刻刻该该该该质质质质点到达空点到达空点到达空点到达空间间间间位置位置位置位置x x，则则则则位移位移位移位移为为为为u u，显显显显然有然有然有然有 ，故，故，故，故 一一维长维长杆中杆中X与与x 的相互关系的相互关系为为工程工程应变应变。则则(2-2-10)式可式可简简化化为为：(2-2-11)可以看出，只有当初始可以看出，只有当初始质质点速度和初始点速度和初始应变为应变为零零时时，空，空间间波速和波速和物物质质波速波速值值相同。相同。第19页，本讲稿共81页 关关关关于于于于空空空空间间间间波波波波速速速速和和和和物物物物质质质质波波波波速速速速的的的的关关关关系系系系 ，由由由由于于于于通通通通常常常常是是是是取取取取变变变变形形形形（运运运运动动动动）前前前前质质质质点点点点空空空空间间间间位位位位置置置置作作作作为为为为物物物物质质质质坐坐坐坐标标标标，如如如如果果果果波波波波阵阵阵阵面面面面在在在在物物物物质质质质坐坐坐坐标标标标中中中中的的的的传传传传播播播播速速速速度度度度为为为为C C，当当当当考考考考虑虑虑虑到到到到物物物物质质质质坐坐坐坐标标标标本本本本身身身身的的的的变变变变形形形形（运运运运动动动动）时时时时，则则则则相相相相对对对对于于于于波波波波阵阵阵阵面面面面前前前前方方方方质质质质点点点点的的的的相相相相对对对对空空空空间间间间波波波波速速速速应应应应是是是是 。这这这这相相相相当当当当于于于于流流流流体体体体力力力力学学学学中中中中的的的的局局局局部部部部声声声声速速速速。再再再再考考考考虑虑虑虑到到到到质质质质点点点点本本本本身身身身也也也也以以以以速速速速度度度度v v在在在在运运运运动动动动，则则则则波波波波阵阵阵阵面面面面在在在在空空空空间间间间坐坐坐坐标标标标中中中中的的的的绝绝绝绝对对对对空空空空间间间间波波波波速速速速显显显显然然然然是是是是 （右右右右传传传传波波波波，如如如如果果果果是是是是左左左左传传传传波波波波则则则则为为为为 ），），），），这这这这就是就是就是就是该该该该式的物理意式的物理意式的物理意式的物理意义义义义。第20页，本讲稿共81页2-3 物物质质坐坐标标描述的杆中描述的杆中纵纵波控制方程波控制方程2-3-1 基本假定基本假定 （1）平平截截面面假假定定，即即假假定定杆杆在在变变形形时时横横截截面面保保持持为为平平面面，沿沿截面只有均布的截面只有均布的轴轴向向应应力。力。按按照照这这一一假假定定，杆杆中中各各运运动动参参量量（位位移移、质质点点速速度度、应应力力等等）都都只只是是X和和t的的函函数数，应应力力波波传传播播的的问问题题就就简简化化为为一一维维问问题题了了。但但是是，这这一一假假定定只只有有在在长长杆杆的的横横向向尺尺寸寸与与应应力力波波的的波波长长相相比比很很小小时时才才近似成立。近似成立。第21页，本讲稿共81页 （2）忽忽略略横横向向惯惯性性效效应应。即即忽忽略略杆杆中中质质点点横横向向运运动动的的惯惯性性效效应应，忽略杆中忽略杆中质质点横向膨点横向膨胀胀或收或收缩对动缩对动能的能的贡贡献。献。这这一一假假定定实实际际上上与与第第一一个个假假定定密密不不可可分分。质质点点的的横横向向运运动动必必然然使使得得动动能能横横向向耗耗散散，减减小小X方方向向的的动动能能，从从而而导导致致X方方向向应应力力波波阵阵面面的的弯弯曲曲。如如果果忽忽略略横横向向惯惯性性效效应应，则则 和和 都都等等于于零零，因因而而处处于于单单向向应应力力状状态态，且且因因为为无无横横向向能能量量耗耗散散，应应力力波波阵阵面面不不会会弯弯曲曲，保保持持平平面状面状态态。第22页，本讲稿共81页 （3）应力只是应变的单值函数。）应力只是应变的单值函数。对于应变率无关理论，材料的本构关系可写成对于应变率无关理论，材料的本构关系可写成 （2-3-1）这这一一假假定定似似乎乎只只有有在在弹弹性性变变形形范范围围内内（低低应应变变率率）才才适适用用或或对对应应变变率不敏感的弹塑性材料近似可用。率不敏感的弹塑性材料近似可用。但但可可以以认认为为材材料料在在某某一一应应变变率率范范围围内内近近似似具具有有唯唯一一的的动动态态应应力力应应变变关关系系，在在形形式式上上是是应应变变率率无无关关的的，但但与与静静态态应应力力应应变变关关系系不不同，因为它在一定意义上已考虑了应变率的影响。同，因为它在一定意义上已考虑了应变率的影响。应变率无关理论在工程应用中具有十分重要的应用价值。应变率无关理论在工程应用中具有十分重要的应用价值。第23页，本讲稿共81页2-3-2 控制方程组控制方程组 位移连续方程或质量守恒方程位移连续方程或质量守恒方程运动学条件；运动学条件；运动方程或动量守恒方程运动方程或动量守恒方程动力学条件；动力学条件；能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）。能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）。第24页，本讲稿共81页 （1）位移位移连续连续方程方程 考察一考察一维维等截面均匀杆中微元体的等截面均匀杆中微元体的纵纵向运向运动动。取取杆杆变变形形前前（设设t0=0时时）质质点点的的空空间间位位置置作作为为物物质质坐坐标标，杆杆轴轴为为X 轴轴，取取一一微微元元dX作作为为研研究究对对象象。杆杆的的原原始始截截面面积积为为A0，原原始始密密度度为为0。在在t=t1时时刻刻微微元元的的两两个个截截面面分分别别移移动动到到空空间间位位置置x和和x+dx，则则X截截面面发发生的位移生的位移为为 。第25页，本讲稿共81页根据位移连续条件，根据位移连续条件，为连续函数，有：为连续函数，有：可得位移连续方程（可得位移连续方程（或称或称和和v的相容的相容方程）：方程）：（2-3-2）第26页，本讲稿共81页 （2）动量守恒方程动量守恒方程 由由图图所所示示，根根据据牛牛顿顿第第二二定定律律，作作用用在在微微元元体体两两个个截截面面上上的的作作用用力力之差应等于微元体质量与加速度的乘积，即之差应等于微元体质量与加速度的乘积，即引入工程应力引入工程应力 ，可得，可得 （2-3-3）此即动量守恒方程（或称此即动量守恒方程（或称和和v 的相的相容方程）。容方程）。第27页，本讲稿共81页 （3）能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）能量守恒方程或材料本构关系（物性方程）由由于于应应力力波波传传播播速速度度很很高高，在在应应力力波波通通过过微微元元体体的的时时间间内内，微微元元体体还还来来不不及及和和邻邻近近的的微微元元体体及及周周围围介介质质交交换换热热量量，因因而而可可视视为为绝绝热热过程，这一过程遵守能量守恒关系。过程，这一过程遵守能量守恒关系。（2-3-1）式式给给出出的的材材料料的的本本构构关关系系式式实实际际上上是是绝绝热热过过程程中中得得到到的的，故故无无需需再再另另外外列列出出能能量量守守恒恒方方程程，由由方方程程（2-3-1）（2-3-3）可以组成关于变量可以组成关于变量、和和v的封闭的控制方程组：的封闭的控制方程组：（2-3-4）第28页，本讲稿共81页 （1）以）以和和v为为未知未知变变量的控制方程量的控制方程组组 连续连续可微，可微，对对于于连续连续波波速波波速（2-3-5）则则 （2-3-6）代入（代入（2-3-3）式可得）式可得 （2-3-7）上上式式与与位位移移连连续续方方程程（2-3-2）式式就就共共同同组组成成了了以以和和v为为未未知知变变量的控制方程量的控制方程组组，即，即 （2-3-8）第29页，本讲稿共81页 （2）以）以和和v为为未知未知变变量的控制方程量的控制方程组组 由（由（2-3-6）式和（）式和（2-3-2）式可以得到）式可以得到 （2-3-9）它它与与运运动动方方程程（2-3-3）式式共共同同组组成成了了以以和和v为为未未知知变变量量的的控控制制方方程程组组，即即 （2-3-10）第30页，本讲稿共81页（3）以）以u为为未知未知变变量的二量的二阶阶偏微分方程偏微分方程 由于由于和速度和速度v都是位移都是位移u的一的一阶阶微商，即微商，即 ，代入（代入（2-3-7）式，可得）式，可得 （2-3-11）该该方方程程通通常常称称为为波波动动方方程程，描描述述了了一一维维杆杆中中应应力力纵纵波波的的传传播播规规律。律。第31页，本讲稿共81页不同形式表示的一维应力纵波的控制方程：不同形式表示的一维应力纵波的控制方程：第32页，本讲稿共81页 2-4 特征特征线线与特征与特征线线上的相容关系上的相容关系 控制方程控制方程组组 波波阵阵面参数面参数、v 和和u等 随随X、t 的的变变化化规规律。律。但但是是由由这这些些偏偏微微分分方方程程组组获获得得解解析析解解并并不不容容易易。对对于于一一维维波波传传播播的的基基本本方方程程组组，除除了了弹弹性性波波是是线线性性方方程程外外，一一般般都都是是非非线线性性的的。因因此此大大多多数数实实际际问问题题，往往往往只只能能用用一一些些近近似似的的数数值值方方法求解。法求解。特特征征线线方方法法是是解解决决波波传传播播问问题题最最为为重重要要的的方方法法之之一一，具具有有重重要要的的应应用用价价值值，因因为为它它是是求求解解双双典典型型线线型型偏偏微微分分方方程程的的主主要要解解法法之之一一，可可以以把把解解两两个个自自变变量量的的偏偏微微分分方方程程问问题题转转化化为为解解特特征征线线上上的常微分方程的常微分方程问题问题。第33页，本讲稿共81页 按照偏微分方程理论，对任意一个二阶偏微方程：按照偏微分方程理论，对任意一个二阶偏微方程：系系数数A、B、C、D、E和和G，都都仅仅依依赖赖于于X和和t，与与u无无关关，则则方方程程为为二二阶线阶线性偏微分方程；性偏微分方程；还还与与u有关有关时时，则则方程方程为为非非线线性的。性的。G=0时时，为齐为齐次方程。次方程。第34页，本讲稿共81页 按按按按照照照照方方方方程程程程解解解解的的的的特特特特性性性性，可可可可以以以以根根根根据据据据判判判判别别别别式式式式=B B2 2-4-4ACAC的的的的数数数数值值值值将将将将其其其其划分划分划分划分为为为为三种三种三种三种类类类类型：型：型：型：（1 1）0 0时时时时，称称称称为为为为双双双双曲曲曲曲线线线线型型型型方方方方程程程程，其其其其自自自自变变变变量量量量平平平平面面面面上上上上有有有有两两两两条条条条实实实实特征特征特征特征线线线线。前面的波。前面的波。前面的波。前面的波动动动动方程（方程（方程（方程（2-3-112-3-11）式就属于双曲）式就属于双曲）式就属于双曲）式就属于双曲线线线线型方程。型方程。型方程。型方程。第35页，本讲稿共81页 何谓特征线？何谓特征线？可用不同而又相互等价的方法来定义。可用不同而又相互等价的方法来定义。物物理理意意义义上上：特特征征线线是是在在（X-t）平平面面上上扰扰动动波波阵阵面面传传播播的的轨轨迹迹。图图中中曲曲线线上上各各点点的的斜斜率率就就是是扰扰动动波波的的传传播播速速度度，式式中中正正负负号分别对应于向右和向左的传播速度。号分别对应于向右和向左的传播速度。第36页，本讲稿共81页 在在数数学学意意义义上上：（1）方方向向导导数数法法（Curant和和Friedrichs提提出出）（2）不定）不定线线方法方法 方方向向导导数数法法：如如果果能能把把某某二二阶阶偏偏微微分分方方程程或或等等价价的的一一阶阶偏偏微微分分方方程程组组的的线线性性组组合合化化为为只只包包含含自自变变量量平平面面上上某某一一曲曲线线的的方方向向导导数数的的形形式式时时，则则曲曲线线即即为为该该方方程程（或或方方程程组组）的的特特征征线线，而而该该曲曲线线各各点点的的斜率斜率dX/dt称称为该为该特征特征线线的特征方向。的特征方向。不不定定线线法法：如如果果对对于于自自变变量量平平面面（X，t）上上某某曲曲线线，由由沿沿此此曲曲线线上上给给定定的的初初值值连连同同偏偏微微分分方方程程一一起起不不足足以以确确定定全全部部偏偏导导数数的的话话，则则此曲此曲线线称称为为特征特征线线。第37页，本讲稿共81页 用用方方向向导导数数法法和和不不定定线线法法来来定定义义特特征征线线，分分别别从从不不同同角角度度反反映映了了特征线的某种性质，采用不同的方法所得到的特征线是相同的。特征线的某种性质，采用不同的方法所得到的特征线是相同的。控制方程控制方程特征线方程特征线方程特征线上相容关系式特征线上相容关系式特征线解法方向导数法不定线法第38页，本讲稿共81页方向方向导导数数含含义义：在在（X，t）平平面面内内有有一一曲曲线线，函函数数f(X,t)在在S 方方向向上上的的方方向向导导数数定定义义为为：它可以它可以给给出在与曲出在与曲线线相切方向上相切方向上对对S的的变变化率。化率。其中其中S 的方向即的方向即为为：第39页，本讲稿共81页例例1：已已知知一一维维纵纵波波的的波波动动方方程程，采采用用方方向向导导数数法法求求解解一一维维纵纵波波的的特征线方程及特征线上的相容关系。特征线方程及特征线上的相容关系。例例2 2：已已知知一一维维纵纵波波的的控控制制方方程程，采采用用方方向向导导数数法法求求解解一一维维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。第40页，本讲稿共81页例例3 3：已已知知一一维维纵纵波波的的控控制制方方程程，采采用用方方向向导导数数法法求求解解一一维维纵纵波波的的特征线方程及特征线上的相容关系。特征线方程及特征线上的相容关系。例例4 4：已已知知一一维维纵纵波波的的控控制制方方程程，采采用用不不定定线线法法求求解解一一维维纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。纵波的特征线方程及特征线上的相容关系。第41页，本讲稿共81页例例1：已已知知一一维维纵纵波波的的波波动动方方程程，采采用用方方向向导导数数法法求求解解一一维维纵纵波波的的特征线方程及特征线上的相容关系。特征线方程及特征线上的相容关系。(1)解解：设设在在自自变变量量平平面面（X，t）上上有有某某曲曲线线（X，t），对对于于u的的一一阶阶偏导数偏导数v、，沿此曲线方向的微分分别为：，沿此曲线方向的微分分别为：(2)(3)第42页，本讲稿共81页 dX和和dt 是是曲曲线线上上微微段段dS在在两两轴轴上上的的分分量量，即即 是是曲曲线线在在（X，t）点点上上的的斜斜率率。如如果果曲曲线线是是二二阶阶偏偏微微分分方方程程(1)式式的的特特征征线线，则则该该式式能能化化为为只只包包含含沿沿此此曲曲线线的的方方向向微微分分。将将(2)和和(3)式式进进行行线线性性组组合就能合就能实现实现，即，即(2)+*（3）有有 (4)此此时时，线线性性组组合式合式应应与与(1)式等价，即式等价，即(1)、(4)两方程两方程应应等价，有：等价，有：第43页，本讲稿共81页可得可得 ，则，则 上上式式即即为为所所求求特特征征线线微微分分方方程程，对对其其积积分分可可得得相相应应的的特特征征线线方方程。由程。由(4)式，可得只包含沿特征线方向微分的常微分方程：式，可得只包含沿特征线方向微分的常微分方程：第44页，本讲稿共81页例例2 2：已已知知一一维维纵纵波波的的控控制制方方程程，采采用用方方向向导导数数法法求求解解一一维维纵纵波波的的特征线方程及特征线上的相容关系。特征线方程及特征线上的相容关系。解解：对对于于上上式式中中的的一一阶阶偏偏微微分分方方程程组组，根根据据特特征征线线方方向向导导数数法法的的定定义，（义，（1）式乘以）式乘以加上（加上（2）式进行线性组合：）式进行线性组合：两函数两函数v、所对应的特征方向应当相同，即有：所对应的特征方向应当相同，即有：第45页，本讲稿共81页（特征线微分方程）（特征线微分方程）（3）式可转变为：）式可转变为：即有：即有：从而可得：从而可得：（特征线上的相容关系）（特征线上的相容关系）第46页，本讲稿共81页例例3 3：已已知知一一维维纵纵波波的的控控制制方方程程，采采用用方方向向导导数数法法求求解解一一维维纵纵波波的的特特征线方程及特征线上的相容关系。征线方程及特征线上的相容关系。解过程略，方法同前。解过程略，方法同前。结结果果：特特征征线线的的微微分分方方程程仍仍为为 ，特特征征线线上上的的相相容容关关系系的的常常微分表达式为：微分表达式为：实际上可由实际上可由(2-3-6)(2-3-6)式和式和(2-4-16)(2-4-16)直接可以得到直接可以得到上上式。式。第47页，本讲稿共81页例例4 4：已已知知一一维维纵纵波波的的控控制制方方程程，采采用用不不定定线线法法求求解解一一维维纵纵波波的的特特征征线线方程及特征线上的相容关系。方程及特征线上的相容关系。解解：将将一一维维应应力力纵纵波波以以和和v v为为未未知知变变量量的的控控制制方方程程组组与与参参量量v v和和构成方程组如下构成方程组如下第48页，本讲稿共81页此方程可看成解四个偏导数此方程可看成解四个偏导数 、的代数方程组，可用矩阵的形式表示为：的代数方程组，可用矩阵的形式表示为：第49页，本讲稿共81页若曲线为特征线若曲线为特征线,上述方程的解不确定上述方程的解不确定,则应有则应有即即即即第50页，本讲稿共81页同样可解得：同样可解得：同样可解得：同样可解得：第51页，本讲稿共81页 对对对对于于于于一一一一维维维维应应应应力力力力纵纵纵纵波波波波，特特特特征征征征线线线线微微微微分分分分方方方方程程程程和和和和特特特特征征征征线线线线上上上上的的的的相相相相容关系分别为：容关系分别为：容关系分别为：容关系分别为：第52页，本讲稿共81页2-5 空间坐标描述的控制方程与特征线空间坐标描述的控制方程与特征线比较比较第53页，本讲稿共81页比较比较比较比较比较比较第54页，本讲稿共81页 利利利利用用用用特特特特征征征征线线线线解解解解法法法法，可可可可以以以以得得得得到到到到空空空空间间间间坐坐坐坐标标标标描描描描述述述述的的的的一一一一维维维维应应应应力力力力纵纵纵纵波的特征线微分方程和特征线上的相容关系式：波的特征线微分方程和特征线上的相容关系式：波的特征线微分方程和特征线上的相容关系式：波的特征线微分方程和特征线上的相容关系式：第55页，本讲稿共81页 物物物物质质质质坐坐坐坐标标标标描描描描述述述述与与与与空空空空间间间间坐坐坐坐标标标标描描描描述述述述的的的的控控控控制制制制方方方方程程程程可可可可以以以以通通通通过过过过坐坐坐坐标标标标变变变变换换换换得到，变换公式为：得到，变换公式为：得到，变换公式为：得到，变换公式为：控控控控制制制制方方方方程程程程的的的的形形形形式式式式虽虽虽虽然然然然在在在在两两两两种种种种坐坐坐坐标标标标中中中中不不不不同同同同，但但但但问问问问题题题题的的的的物物物物理理理理实质不会因为坐标系的不同而不同。实质不会因为坐标系的不同而不同。实质不会因为坐标系的不同而不同。实质不会因为坐标系的不同而不同。第56页，本讲稿共81页 关关关关于于于于测测测测试试试试元元元元件件件件测测测测试试试试的的的的波波波波速速速速关关关关系系系系：当当当当测测测测试试试试元元元元件件件件固固固固定定定定在在在在空空空空间间间间中中中中，测测测测得得得得的的的的是是是是EulerEulerEulerEuler波波波波速速速速；当当当当测测测测试试试试元元元元件件件件固固固固定定定定在在在在试试试试件件件件上上上上，测测测测得得得得的的的的是是是是LagrangeLagrangeLagrangeLagrange波波波波速速速速；如如如如果果果果波波波波阵阵阵阵面面面面前前前前方方方方的的的的质质质质点点点点速速速速度度度度和和和和应应应应变变变变皆皆皆皆为为为为0 0 0 0，则则则则测测测测得的两种波速值相等。得的两种波速值相等。得的两种波速值相等。得的两种波速值相等。第57页，本讲稿共81页思考题：思考题：1、什么是特征、什么是特征线线？什么？什么类类型的型的问题问题可用特征可用特征线线法求解法求解？2、特征、特征线线的物理含的物理含义义是什么？是什么？3、为为什么用特征什么用特征线线法求得的解就是原方程的解？法求得的解就是原方程的解？第58页，本讲稿共81页作业：作业：用用方方向向导导数数法法求求求求下下列列偏偏微微分分方方程程组组的的特特征征方方程程和和特特征征相相容容关系：关系：（1）一一维应维应力力纵纵波波 （空空间间坐坐标标系）系）（2）一）一维维等等熵熵流流第59页，本讲稿共81页（3）一）一维维杆运杆运动动（4）球面等）球面等熵熵流流（5）二二维维定常定常 等等熵熵流流第60页，本讲稿共81页2-6 波阵面上的守恒方程波阵面上的守恒方程运运动动学条件学条件质质量守恒方程量守恒方程动动力学条件力学条件动动量守恒方程量守恒方程能量守恒方程能量守恒方程第61页，本讲稿共81页奇异面奇异面：具有导数间断的面，在数学上称为奇异面。：具有导数间断的面，在数学上称为奇异面。强强 间间 断断：如如 果果 位位 移移 函函 数数u的的 一一 阶阶 导导 数数 间间 断断，即即 质质 点点 速速 度度 和和应应变变 在在波波阵阵面面上上有有突突跃跃（波波阵阵面面前前后后参参量量的的差值为一有限值），称为强间断或一阶奇异面。差值为一有限值），称为强间断或一阶奇异面。如如递递增增硬硬化化材材料料中中的的塑塑性性波波由由于于高高幅幅值值扰扰动动的的波波速速大大于于低低幅幅值值扰扰动动的的波波速速所所形形成成的的应应力力波波的的波波剖剖面面是是间间断断的的，常常称称为为冲冲击波。击波。2-6-1 2-6-1 强间断和弱间断强间断和弱间断第62页，本讲稿共81页 弱弱间间断断：如如果果函函数数u及及其其一一阶阶导导数数皆皆连连续续（波波阵阵面面前前后后v、参参 量量 的的 差差 值值 为为 无无 穷穷 小小 值值），但但 其其 二二 阶阶 导导 数数 如如 加加 速速 度度 等等发发生生间间断断，称称为为二二阶阶奇奇异异面面，依依此此类类推推，还还可可以以有有更更高高阶阶的的奇奇异面，这种二阶或更高阶的奇异面都称为弱间断。异面，这种二阶或更高阶的奇异面都称为弱间断。二阶奇异面所对应的应力波通常称为加速度波。二阶奇异面所对应的应力波通常称为加速度波。弱弱间间断断所所对对应应的的应应力力波波其其波波剖剖面面是是连连续续的的，称称为为连连续续波波。第63页，本讲稿共81页第64页，本讲稿共81页令令 ，外外加加载载荷荷保保持持恒恒值值，则则弱弱间间断断边边界界条条件件便便转转换换成成强间断边界条件。强间断边界条件。第65页，本讲稿共81页2-6-2 质质量守恒方程量守恒方程 表表示示物物理理参参量量,表表示示该该参参量量的的在在波波阵阵面面前前后后的的变变化值。化值。设设有有平平面面波波阵阵面面以以波波速速D向向右右传传播播，波波阵阵面面上上的的任任一一物物理理量量 ，设设波波阵阵面面之之前前和和之之后后的的值值分分别别表表示示为为 和和 ，则则波波阵阵面面前前后后参参量量的变化值表示为的变化值表示为 。第66页，本讲稿共81页 对于一阶奇异面（强间断）有对于一阶奇异面（强间断）有 ，则上式变为，则上式变为Maxwell定理考察物理量对时间的变化率，即随波微商有：考察物理量对时间的变化率，即随波微商有：对对 和和 分别取随波微商并相减，可得分别取随波微商并相减，可得 第67页，本讲稿共81页 对对于于二二阶阶奇奇异异面面，用用的的一一阶阶偏偏导导数数