材料力学第六章简单的超静定问题精.ppt
材料力学第六章简单的超材料力学第六章简单的超静定问题静定问题第1页，本讲稿共43页6-1 6-1 超静定问题超静定问题 约束反力可约束反力可由静力平衡方由静力平衡方程全部求得程全部求得静定结构：静定结构：第2页，本讲稿共43页 约束反力不能全部约束反力不能全部由平衡方程求得由平衡方程求得超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高超静定次数：超静定次数：约束反力多于独立约束反力多于独立平衡方程的数平衡方程的数独立平衡方程数：独立平衡方程数：平面任意力系：平面任意力系：3 3个平衡方程个平衡方程平面共点力系：平面共点力系：2 2个平衡方程个平衡方程平面平行力系：平面平行力系：2 2个平衡方程个平衡方程共线力系：共线力系：1 1个平衡方程个平衡方程第3页，本讲稿共43页C变形图精确画法，图中弧线；求各杆的变形量Li，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。一、小变形放大图与位移的求法。6-26-2拉压超静定问题拉压超静定问题ABCL1L2PC第4页，本讲稿共43页 ABAB长长2m,2m,面积为面积为200mm200mm2 2。ACAC面积为面积为250mm250mm2 2。E E=200GPa=200GPa。F F=10kN=10kN。试求节点。试求节点A A的位移。的位移。解：解：1 1、计算轴力。（设斜杆为、计算轴力。（设斜杆为1 1杆，水平杆杆，水平杆为为2 2杆）取节点杆）取节点A A为研究对象为研究对象2 2、根据胡克定律计算杆的变形。、根据胡克定律计算杆的变形。A AF F30300 0斜杆伸长斜杆伸长水平杆缩短水平杆缩短例例例例1 1第5页，本讲稿共43页3 3、节点、节点A A的位移（以切代弧）的位移（以切代弧）A AF F30300 0第6页，本讲稿共43页图所示结构，刚性横梁图所示结构，刚性横梁ABAB由斜杆由斜杆CDCD吊在水平吊在水平位置上，斜杆位置上，斜杆CDCD的抗拉刚度为的抗拉刚度为EAEA，B B点处受荷点处受荷载载F F作用，试求作用，试求B B点的位移点的位移B B。例例例例2 2ADFBaL/2L/2B1第7页，本讲稿共43页1 1、列出独立的平衡方程、列出独立的平衡方程超静定结构的求解方法：超静定结构的求解方法：2 2、变形几何关系、变形几何关系3 3、物理关系、物理关系4 4、补充方程、补充方程5 5、求解方程组得、求解方程组得二、拉压超静定问题解法二、拉压超静定问题解法第8页，本讲稿共43页平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。超静定问题的方法步骤：超静定问题的方法步骤：第9页，本讲稿共43页例题例题3 3变形协调关系变形协调关系:物理关系物理关系:平衡方程平衡方程:解：解：（1 1）补充方程补充方程:（2 2）木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个40mm40mm4mm40mm40mm4mm的等边角钢加固，的等边角钢加固，已知角钢的许用应力已知角钢的许用应力 stst=160MPa=160MPa，E Estst=200GPa=200GPa；木材的许；木材的许用应力用应力 W W=12MPa=12MPa，E EW W=10GPa=10GPa，求许可载荷，求许可载荷F F。250250第10页，本讲稿共43页代入数据，得代入数据，得根据角钢许用应力，确定根据角钢许用应力，确定F根据木柱许用应力，确定根据木柱许用应力，确定F许可载荷许可载荷250250查表知查表知40mm40mm4mm40mm40mm4mm等边角钢等边角钢故故 第11页，本讲稿共43页例例4 AB为刚性梁，1、2两杆的横截面面积相等。求1、2两杆的内力。第12页，本讲稿共43页解解由平衡方程得由平衡方程得3P-2N2cosa a-N10由变形协调条件得由变形协调条件得=2D2Dl1Dl2cosa由物理关系由物理关系D Dl1=N1lEAD Dl2=N2lEAcosa第13页，本讲稿共43页3P-2N2cosa a-N10=2D2Dl1Dl2cosaN1=3P4cos3a+1所以所以N2lEAcos2a=2N1lEA最后解得最后解得N2=6Pcos2a4cos3a+1第14页，本讲稿共43页列静力平衡方程列静力平衡方程变形协调方程变形协调方程 图示刚性梁图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在受均布载荷作用，梁在A端铰支，在端铰支，在B点和点和C点由两根点由两根钢杆钢杆BD和和CE支承。已知钢杆的横截面面积支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2，ACE=400mm2，其许用应力，其许用应力=170MPa，试校核钢杆的强度。，试校核钢杆的强度。2m1m1.8LL2m1m 例例例例 5 5第15页，本讲稿共43页3 3杆材料相同，杆材料相同，ABAB杆面积为杆面积为200mm200mm2 2，ACAC杆面杆面积为积为300 mm300 mm2 2，ADAD杆面积为杆面积为400 mm400 mm2 2，若，若F=30kNF=30kN，试计算各杆的应力。，试计算各杆的应力。列出平衡方程：列出平衡方程：即：即：列出变形几何关系列出变形几何关系 ，则则ABAB、ADAD杆长为杆长为解：解：设设ACAC杆杆长为杆杆长为F FF F例题例题6 6第16页，本讲稿共43页 即：即：列出变形几何关系列出变形几何关系 F FF F将将A A点的位移分量向各杆投影点的位移分量向各杆投影.得得变形关系为变形关系为 代入物理关系代入物理关系整理得整理得第17页，本讲稿共43页 F FF F联立联立，解得：，解得：（压）（压）（拉）（拉）（拉）（拉）第18页，本讲稿共43页二、装配应力二、装配应力由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构存在应力，称装配应力。装配应力仅存在于静不定结构中。ABC12A1第19页，本讲稿共43页例例7吊桥链条的一节由三根长为 l 的钢杆组成。截面积相同，材料相同，中间一节短于名义长度。加工误差为d=l/2000，求装配应力。第20页，本讲稿共43页由平衡方程得由平衡方程得2N1=N2由位移协调方程得由位移协调方程得D Dl1+D Dl2d dD Dl1=N1l1E1A1D Dl2=N2l2E2A2由由N1=EA6000 N2=EA3000 N1+N2=EA2000 得得最后得最后得s s1=33.3MPas s2=66.7MPa第21页，本讲稿共43页三、温度应力 工作在温度变化范围较大的构件，由于温度变化而引起杆件内的应力，称温度应力。温度应力。温度应力也仅存在于静不定结构中。发电机输热管道化工管道桥梁裸露的输气管及水管ABC12第22页，本讲稿共43页由平衡方程得由平衡方程得RA RB由温度引起的伸由温度引起的伸长为长为D DlT aDaDTl由于基座的约束，由于基座的约束，AB杆其实并无伸长杆其实并无伸长D DlT D Dls s温度应力的解法第23页，本讲稿共43页D Dls s RBlEA可解得可解得aDaDTl =RBlEARB=EA aD aDTs=s=E aD aDT第24页，本讲稿共43页碳钢的温度应力碳钢的a=12.5x10-6/C，E=200GPa。sT=E aD aDT=12.5x10-6x200 x103DT=2.5DT (MPa)当DT80 C时，sT高达200MPa，而低碳钢的ss仅235MPa，许用应力s通常仅120MPa。所以应力是非常大的。第25页，本讲稿共43页伸缩节伸缩节波纹管伸缩节波纹管伸缩节第26页，本讲稿共43页伸缩缝伸缩缝火车钢轨伸缩缝火车钢轨伸缩缝梳状伸缩缝梳状伸缩缝叠合伸缩缝叠合伸缩缝第27页，本讲稿共43页 aaaaN1N2例例8 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2，=cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。(线膨胀系数=12.5 ；弹性模量E=200GPa)、几何方程：解：、平衡方程：第28页，本讲稿共43页、物理方程解平衡方程和补充方程，得:、补充方程、温度应力 aaN1N2第29页，本讲稿共43页6-3、扭转超静定问题、扭转超静定问题解扭转超静定问题的方法步骤：解扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得到；补充方程：由几何方程和物理方程得到；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。第30页，本讲稿共43页材料力学例题例题9 一组合杆由实心杆一组合杆由实心杆1和空心管和空心管2结合在一起所组成，杆和管的结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和以后，杆和管内的最大切应力。管内的最大切应力。12T12解：解：（1 1）静力学关系）静力学关系（2）变形协调条件）变形协调条件扭转的静不定问题扭转的静不定问题第31页，本讲稿共43页材料力学（3）物理关系：）物理关系：（4）代入变形协调方程，得补充方程代入变形协调方程，得补充方程（5）补充方程与静力平衡方程联立，解得）补充方程与静力平衡方程联立，解得第32页，本讲稿共43页材料力学（6）最大切应力）最大切应力杆杆1 1：管管2 2：第33页，本讲稿共43页 例例1010长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固定端的反力偶。解解：杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。平衡方程为：第34页，本讲稿共43页几何方程变形协调方程 综合物理方程与几何方程，得补充方程：由平衡方程和补充方程得：第35页，本讲稿共43页6-4 简单超静定简单超静定梁梁处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程，求全部未知力。解：建立基本静定系 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构基本静定系。=qLABLqMABAqLRBABx第36页，本讲稿共43页几何方程变形协调方程+qLRBAB=RBABqAB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力、变形等）qLAB第37页，本讲稿共43页例例11画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图第38页，本讲稿共43页=qLABLqMABAx几何方程变形协调方程另解另解即得第39页，本讲稿共43页 图示梁图示梁,A处为固定铰链支座处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载梁作用有均布荷载.已知已知:均布荷载集度均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径梁圆截面直径d=100mm,=100MPa.试校试校核该梁的强度核该梁的强度.例题例题例题例题 12 12列静力平衡方程列静力平衡方程变形协调方程变形协调方程第40页，本讲稿共43页 例题例题例题例题 13 13 试求图示梁的支反力试求图示梁的支反力 在小变形条件下在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计点轴向力较小可忽略不计,所所以为一次超静定以为一次超静定.第41页，本讲稿共43页 例题例题例题例题 14 14 结构如图示结构如图示,设梁设梁AB和和CD的弯曲刚度的弯曲刚度EIz相同相同.拉杆拉杆BC的拉压刚度的拉压刚度EA为已知为已知,求拉杆求拉杆BC的轴力的轴力.将杆将杆CB移除，则移除，则AB,CD均为静定结构，杆均为静定结构，杆CB的未知的未知轴力轴力FN作用在作用在AB,CD梁上。为梁上。为1次超静定。次超静定。第42页，本讲稿共43页第43页，本讲稿共43页
