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初等数论第二章课件初等数论第二章课件第1页，本讲稿共55页对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。第2页，本讲稿共55页第一节第一节 二元一次不定方程二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：有解时决定解的个数。有解时决定解的个数。判断何时有解。判断何时有解。求出所有的解。求出所有的解。本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程有解时求出其全部解的最简单的不定方程二元一次不定方程。二元一次不定方程。第3页，本讲稿共55页第4页，本讲稿共55页第5页，本讲稿共55页注：定理的证明过程实际给出求解方程（注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：）的方法：第6页，本讲稿共55页第7页，本讲稿共55页第8页，本讲稿共55页第9页，本讲稿共55页注：利用辗转相除法求（a,b)时，前提为a,b为正整数，且a大于b，因此求解此方程时可以考虑用变量替换。第10页，本讲稿共55页第11页，本讲稿共55页3、下面通过具体例子介绍一种判定方程是否有解，及其求出其解的直接算法整数分离法第12页，本讲稿共55页第13页，本讲稿共55页第14页，本讲稿共55页或先求出原方程的一个特解，再给出一切整数解。注：这种解不定方程的算法实际上是对整个不定方程用辗转相除法，依次化为等价的不定方程，直至得到一个变量的系数为正负1的方程为止。这样的不定方程第15页，本讲稿共55页可以直接解出。再依次反推上去，就得到原方程的通解。为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小余数。下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时，它的非负解和正解问题。由通解公式知这可归结为去确定参数t的值，使x,y均为非负或正。显见，当a,b异号时，不定方程（1）可解时总有无穷多组非负解或正解，理由是：第16页，本讲稿共55页所以下面只讨论a,b均为正整数的情形，先来讨论非负解：第17页，本讲稿共55页下面讨论正整数解：第18页，本讲稿共55页例7、求方程5x+3y=52的全部正整数解解：x=8,y=4是一组特解，方程的全部解为：x=8+3t,y=4-5t正整数解满足8+3t0,4-5t0第19页，本讲稿共55页注：若只求方程正整数解的个数，可考虑以下不等式的整数解个数：第20页，本讲稿共55页第二节 多元一次不定方程第21页，本讲稿共55页第22页，本讲稿共55页注：定理1的证明给出了n元一次不定方程的解法过程：即求解方程组（由n-1个方程组成）第23页，本讲稿共55页第24页，本讲稿共55页第25页，本讲稿共55页第26页，本讲稿共55页解：原方程化为：第27页，本讲稿共55页第28页，本讲稿共55页进一步可求非负整数解：由通解公式给出非负整数解中m,k应满足第29页，本讲稿共55页第30页，本讲稿共55页第三节 勾股数第31页，本讲稿共55页第32页，本讲稿共55页第33页，本讲稿共55页第34页，本讲稿共55页再证满足条件（2）的解都可以表成（3）的形式。第35页，本讲稿共55页第36页，本讲稿共55页第37页，本讲稿共55页第38页，本讲稿共55页例1、求一个边长为整数的直角三角形，它的面积在数值上等于它的周长。第39页，本讲稿共55页第40页，本讲稿共55页例2、求不定方程（*）的满足条件0z26的全部互素的解。baxyz12345235121314158173472425第41页，本讲稿共55页例3、求z=65的满足方程（*）的全部正整数解。第42页，本讲稿共55页第43页，本讲稿共55页例5、假定(x,y,z)是(*)的解，并且(x,y)=1，那么在x,y中有一个是3的倍数，有一个是4的倍数，在x,y,z中有一个是5的倍数。第44页，本讲稿共55页第45页，本讲稿共55页注意：定理中所说的在x,y中有一个是3的倍数，有一个是4的倍数，并不是说在x,y中一个是3的倍数，另一个是4的倍数，很可能3的倍数与4的倍数是同一个数。如（5,12,13），又如（11,60,61）第46页，本讲稿共55页第47页，本讲稿共55页第48页，本讲稿共55页第49页，本讲稿共55页3、无穷递降法1659年，法国数学家费马写信给他的一位朋友卡尔卡维，称自己创造了一种新的数学方法.由于费马的信并没有发表，人们一直无从了解他的这一方法.直到 1879年，人们在荷兰莱顿大学图书馆惠更斯的手稿中发现了一篇论文，才知道这种方法就是无穷递降法.无穷递降法是证明某些不定方程无解时常用的一种方法.其证明模式大致是:先假设方程存在一个最小正整数解，第50页，本讲稿共55页然后在这个最小正整数解的基础上找到一个更小的构造某种无穷递降的过程，再结合最小数原理得到矛盾，从而证明命题.无穷递降法在解决问题过程中主要有两种表现形式:其一，由一组解出发通过构造得到另一组解，并且将这一过程递降下去，从而得出矛盾;其二，假定方程有正整数解，且存在最小的正 整数解，设法构造出方程的另一组解(比最小正整数解还要小)，从而得到矛盾.无穷递降法的理论依据是最小数原理.第51页，本讲稿共55页第52页，本讲稿共55页第53页，本讲稿共55页第54页，本讲稿共55页第55页，本讲稿共55页
