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动量矩定理第1页，本讲稿共13页 取取取取小小小小车车车车与与与与鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮组组组组成成成成质质质质点点点点系系系系，视视视视小小小小车车车车为为为为质质质质点点点点。以顺时针为正，此质点系对以顺时针为正，此质点系对以顺时针为正，此质点系对以顺时针为正，此质点系对O O轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为 作作作作用用用用于于于于质质质质点点点点系系系系的的的的外外外外力力力力除除除除力力力力偶偶偶偶MM，重重重重力力力力WW1 1和和和和WW2 2外外外外，尚尚尚尚有有有有轴轴轴轴承承承承O O的的的的反反反反力力力力F FOxOx和和和和F FOyOy ，轨轨轨轨道道道道对对对对小小小小车车车车的的的的约约约约束力束力束力束力F FN N。O OMM WW1 1F FOxOxF FOyOyv vWW2 2WW2N2NWW2t2tF FN N解：解：解：解：而而而而而而 WWW2t 2t2t=P PP2 22 sin sin sin =m mm2 22g sin g sin g sin ，则系统外力对，则系统外力对，则系统外力对，则系统外力对，则系统外力对，则系统外力对O OO轴的矩为轴的矩为轴的矩为轴的矩为轴的矩为轴的矩为 其其其其中中中中WW1 1，F FOxOx，F FOyOy对对对对O O轴轴轴轴力力力力矩矩矩矩为为为为零零零零。将将将将WW2 2沿沿沿沿轨轨轨轨道道道道及及及及其其其其垂垂垂垂直直直直方方方方向向向向分分分分解解解解为为为为WW2t2t和和和和WW2N2N，WW2N2N与与与与F FN N相抵消。相抵消。相抵消。相抵消。第2页，本讲稿共13页由质点系对由质点系对由质点系对由质点系对O O轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有 因因因因 ，于是解得，于是解得，于是解得，于是解得 若若若若 ，则，则，则，则 ,小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。小车的加速度沿斜坡向上。O OMM WW1 1F FOxOxF FOyOyv vWW2 2WW2N2NWW2t2tF FN N第3页，本讲稿共13页zyxABZAYAXAXBYB0PQZAYAXBYBPQZAYAXBYBPQZAYAXBYBPQSPQSPABS S SQPQPQ例例例例题题题题6 6 图图图图示示示示水水水水平平平平圆圆圆圆盘盘盘盘重重重重为为为为P P，半半半半径径径径为为为为R R，可可可可绕绕绕绕 z z 轴轴轴轴转转转转动动动动，动动动动物物物物重重重重为为为为Q Q，按按按按S=atS=at2 2/2/2的的的的规规规规律律律律沿沿沿沿盘盘盘盘缘缘缘缘行行行行走走走走。若若若若开开开开始始始始时时时时盘盘盘盘的的的的角角角角速速速速度度度度为为为为 o o，盘盘盘盘对对对对于于于于轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量求任意瞬时量求任意瞬时量求任意瞬时量求任意瞬时t t，盘的角速度和角加速度。盘的角速度和角加速度。盘的角速度和角加速度。盘的角速度和角加速度。第4页，本讲稿共13页解：解：解：解：研究盘和动物系统，画受力图。研究盘和动物系统，画受力图。研究盘和动物系统，画受力图。研究盘和动物系统，画受力图。MMz z(F F(e e)=0)=0 系统对系统对系统对系统对z z轴的动量矩守恒，轴的动量矩守恒，轴的动量矩守恒，轴的动量矩守恒，初瞬时，动物相对于盘速度为零，初瞬时，动物相对于盘速度为零，初瞬时，动物相对于盘速度为零，初瞬时，动物相对于盘速度为零，只只只只是与盘一起绕是与盘一起绕是与盘一起绕是与盘一起绕z z轴转动，轴转动，轴转动，轴转动，系统对系统对系统对系统对z z轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为 即即即即L Lz z=常量！常量！常量！常量！zyxABZAYAXAXBYB0PQZAYAXAXBYBPQZAYAXAXBYBPQZAYAXAXBYBPQS第5页，本讲稿共13页zyxAB S vrvevrvevrvevrve设瞬时设瞬时设瞬时设瞬时t t，盘的角速度为，盘的角速度为，盘的角速度为，盘的角速度为，角加速度为，角加速度为，角加速度为，角加速度为，动物相对于盘的速度为动物相对于盘的速度为动物相对于盘的速度为动物相对于盘的速度为绝对速度为绝对速度为绝对速度为绝对速度为系统对系统对系统对系统对z z轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为由由由由 L Lzozo=L Lz z 得得得得对上式求导对上式求导对上式求导对上式求导 得得得得第6页，本讲稿共13页12-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程virimmi iF F1 1F F2 2F Fn nF Fi iy yx xz zFN1FN2若刚体对若刚体对若刚体对若刚体对z z轴轴轴轴 的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为的转动惯量为J Jz z，这些力均为外力，它们使这些力均为外力，它们使这些力均为外力，它们使这些力均为外力，它们使刚体绕刚体绕刚体绕刚体绕z z轴以角速度轴以角速度轴以角速度轴以角速度 转动。转动。转动。转动。设刚体上作用有主动力设刚体上作用有主动力设刚体上作用有主动力设刚体上作用有主动力F F1 1、F F2 2、F Fn n，轴承反力轴承反力轴承反力轴承反力F FN1N1、F FN2N2 ，则刚体对则刚体对则刚体对则刚体对z z轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为轴的动量矩为L Lz z=J=Jz z 根据根据根据根据且轴承反力对且轴承反力对且轴承反力对且轴承反力对z z轴的矩为零，所以有轴的矩为零，所以有轴的矩为零，所以有轴的矩为零，所以有第7页，本讲稿共13页此此此此三三三三式式式式均均均均称称称称为为为为刚刚刚刚体体体体绕绕绕绕定定定定轴轴轴轴的的的的转转转转动微分方程。动微分方程。动微分方程。动微分方程。结结结结论论论论：刚刚刚刚体体体体对对对对定定定定轴轴轴轴的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量与与与与角角角角加加加加速速速速度度度度的的的的乘乘乘乘积积积积，等等等等于于于于作作作作用用用用于于于于刚刚刚刚体的主动力对该轴的矩的代数和。体的主动力对该轴的矩的代数和。体的主动力对该轴的矩的代数和。体的主动力对该轴的矩的代数和。第8页，本讲稿共13页解决两类问题：解决两类问题：解决两类问题：解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。（1 1）作用于刚体的主动力对转轴的）作用于刚体的主动力对转轴的）作用于刚体的主动力对转轴的）作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体转动状态发生变化；矩使刚体转动状态发生变化；矩使刚体转动状态发生变化；矩使刚体转动状态发生变化；讨论：讨论：讨论：讨论：（2 2）如果作用于刚体的主动力对转轴的）如果作用于刚体的主动力对转轴的）如果作用于刚体的主动力对转轴的）如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则矩的代数和等于零，则矩的代数和等于零，则矩的代数和等于零，则 刚体作匀速转动；如果主动力对转轴的矩为常量，则刚体刚体作匀速转动；如果主动力对转轴的矩为常量，则刚体刚体作匀速转动；如果主动力对转轴的矩为常量，则刚体刚体作匀速转动；如果主动力对转轴的矩为常量，则刚体 作匀变速转动；作匀变速转动；作匀变速转动；作匀变速转动；（3 3）刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度）刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度）刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度）刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度 转动惯量是刚体转动时的惯性度量。转动惯量是刚体转动时的惯性度量。转动惯量是刚体转动时的惯性度量。转动惯量是刚体转动时的惯性度量。第9页，本讲稿共13页aCm mg gO解：取摆为研究对象解：取摆为研究对象解：取摆为研究对象解：取摆为研究对象例题例题例题例题7 7 已知：已知：已知：已知：mm，a a，J JOO。求：。求：。求：。求：微小摆动的周期。微小摆动的周期。微小摆动的周期。微小摆动的周期。摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：此方程的通解为此方程的通解为此方程的通解为此方程的通解为周期为周期为周期为周期为第10页，本讲稿共13页例题例题例题例题8 8 如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为R R，转动惯量为，转动惯量为，转动惯量为，转动惯量为J J，带动滑轮的，带动滑轮的，带动滑轮的，带动滑轮的皮带拉力为皮带拉力为皮带拉力为皮带拉力为F F1 1和和和和F F2 2。求滑轮的角加速度。求滑轮的角加速度。求滑轮的角加速度。求滑轮的角加速度 。R R O OF F1 1F F2 2根据刚体绕定轴的转动微分方程有根据刚体绕定轴的转动微分方程有根据刚体绕定轴的转动微分方程有根据刚体绕定轴的转动微分方程有于是得于是得于是得于是得 由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。解：解：解：解：第11页，本讲稿共13页例例例例题题题题9 9 飞飞飞飞轮轮轮轮对对对对O O的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量为为为为J JO O，以以以以角角角角速速速速度度度度 O O绕绕绕绕水水水水平平平平的的的的O O轴轴轴轴转转转转动动动动，如如如如图图图图所所所所示示示示。制制制制动动动动时时时时，闸闸闸闸块块块块给给给给轮轮轮轮以以以以正正正正压压压压力力力力F FN N。已已已已知知知知闸闸闸闸块块块块与与与与轮轮轮轮之之之之间间间间的的的的滑滑滑滑动动动动摩摩摩摩擦擦擦擦系数为系数为系数为系数为f fs s，轮的半径为，轮的半径为，轮的半径为，轮的半径为R R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t t。O O O OF FF FN NF FOxOxF FOyOyWW 以以以以轮轮轮轮为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象。作作作作用用用用于于于于轮轮轮轮上上上上的的的的力力力力除除除除F FN N外外外外，还还还还有有有有摩摩摩摩擦擦擦擦力力力力F F和和和和重重重重力力力力、轴轴轴轴承承承承约约约约束束束束力力力力。取取取取逆逆逆逆时时时时针针针针方方方方向向向向为为为为正正正正，刚刚刚刚体的转动微分方程为体的转动微分方程为体的转动微分方程为体的转动微分方程为 将上式积分，并根据已知条件确定积分上下限，得将上式积分，并根据已知条件确定积分上下限，得将上式积分，并根据已知条件确定积分上下限，得将上式积分，并根据已知条件确定积分上下限，得 由此解得由此解得由此解得由此解得 解：解：解：解：第12页，本讲稿共13页例例例例题题题题10 10 传传传传动动动动轴轴轴轴如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设轴轴轴轴和和和和的的的的转转转转动动动动惯惯惯惯量量量量分分分分别别别别为为为为J J1 1和和和和J J2 2，转转转转动动动动比比比比 ,R R1 1，R R2 2分分分分别别别别为为为为轮轮轮轮 ，的的的的半半半半径径径径。今今今今在在在在轴轴轴轴上上上上作作作作用用用用主主主主动动动动力力力力矩矩矩矩MM1 1，轴轴轴轴上上上上有有有有阻阻阻阻力力力力力力力力矩矩矩矩MM2 2，转转转转向向向向如如如如图图图图所所所所示示示示。设设设设各各各各处处处处摩摩摩摩擦忽略不计，求轴擦忽略不计，求轴擦忽略不计，求轴擦忽略不计，求轴的角加速度。的角加速度。的角加速度。的角加速度。MM1 1MM2 2第13页，本讲稿共13页