山东2014年12月普通高中学业水平专业考试数学试题(解析版).doc
-_山东省山东省 2014 年年 12 月普通高中学业水平考试月普通高中学业水平考试数学试题数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页，满分 100 分，考试限定用时 90 分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填 写在试卷和答题卡规定的位置，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第第卷（共卷（共 60 分）分） 注意事项： 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在试卷上无 效. 一、选择题（本大题共 20 个小题，每小题 3 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，则等于（ ） 1,2 ,2,3ABABA. B. C. D. 2 1,31,2,3解析：考查集合的运算，答案：B.2、角的终边在（ ）0120A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：考查象限角，答案：B. 3、函数的最小正周期是（ ）cosyxA. B. C. D. 23 22解析：考查三角函数的周期，答案：D.4、在平行四边形中，等于（ ）ABCDABAD A. B. C. D. ACBD CA DB 解析：向量的简单运算，平行四边形法则，答案：A. 5、从 96 名数学教师，24 名化学教师，16 名地理教师中，用分层抽样的方法抽取一个容量 为 17 的样本，则应抽取的数学教师人数是（ ） A. 2 B. 3 C. 12 D. 15 解析：考查统计初步知识，分层抽样方法，答案：C.6、已知向量，则等于（ ）(1,1)a aA. 1 B. C. D. 2 23解析：考查向量模的运算，答案：B. 7、从 7 名高一学生和 3 名高二学生中任选 4 人，则下列事件中的必然事件是（ ）-_A. 4 人都是高一学生 B. 4 人都是高二学生 C. 至多有 1 人是高二学生 D. 至少有 1 人是高一学生 解析：考查概率事件的基本概念，必然事件，答案：D.8、过两点的直线斜率等于（ ）(4,2),B(2, 2)AA. B. C. 2 D. 4 21 解析：考查两点的斜率，两点式，答案：C.9、不等式的解集是（ ）(1)0x xA. B. C. D. /01xx /1x x /0x x /01x xx或解析：考查一般不等式的解法，答案：A. 10、圆心在点并且和轴相切的圆的标准方程为（ ）(1,5),yA. B. 22(1)(5)1xy22(1)(5)1xyC. D. 22(1)(5)25xy22(1)(5)25xy解析：考查圆心、圆的方程、直线与圆相切等概念，答案：B.11、已知且是第二象限角，则等于（ ）4sin,5a acosaA. B. C. D. 4 53 54 53 5解析：考查角的正余弦值，恒等式应用，答案：B.22sincos112、在等差数列中，则等于（ ） na153,11,aa3aA. 5 B. 6 C. 7 D. 9 解析：考查等差数列的简单运算，答案：C.13、若二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）21yxmxmA. B. C. D. (, 2) (2,)( 2,2)(, 2)(2,) 解析：考查二次函数与轴交点的个数，判别式应用，答案：D.x 14、一个底面是正三角形的直三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24解析：考查三视图，几何体的直观图，几何体的侧面积，答案：C.15、已知，则等于（ ）4cos5a cos2a-_A. B. C. D. 24 2524 257 257 25 解析：考查三角函数的倍角公式，答案：D.16、在等比数列中，公比，则该数列的前 5 项和等于（ ） na11a 2q A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 解析：考查等比数列的前项和公式，答案：A.n17、在中，角所对的边分别为若则等于（）ABC, ,A B C, , .a b c5,4,21,abcCA. B. C. D. 0300450600120解析：考查三角函数的余弦定理，答案：C.18、已知则的大小关系是（ ）14 1552 ,3 ,3 ,abc, ,a b cA. B. C. D. abcbcacabacb 解析：指数函数单调性，判断大小，答案：A.19、当满足约束条件时，目标函数的最大值是（ ）, x y0 1 260x y xy zxyA. 1 B. 2 C. 3 D. 5 解析：考查约束条件的目标函数，答案：D. 20、如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 55解析：考查程序框图：初始：第一圈：1,0,nS3,1,nS第二圈： 第三圈：第四圈：5,4,nS7,9,nS9,16,nS第五圈：因为：所以输出：25.11,25,nS1110,n -_第第卷（共卷（共 40 分）分） 注意事项： 1、第卷共 8 个小题，共 40 分. 2、第卷所有题目的答案，考生须用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡上规定 的区域内，写在试卷上的答案不得分. 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）21、的值是 0sin150解析：常用角度的三角函数值，答案：1 222、已知函数则 2,0,2,( ),x(2,4,x xf xx(1)(3)ff解析：考查分段函数求值，答案：，答案：4.(1)(3)2 1 34ff 23、两条直线的交点坐标是 210,230xyxy 解析：考查两条直线的交点，解方程组，答案：.1( 2, )224、已知且则的最大值是 0,0,xy4,xyxy解析：基本不等式的简单应用，答案：4.2()42xyxy25、一个正方形及其内切圆，在正方形内随机取一点，则所取的点在圆内的概率是 解析：考查几何概型，答案：.22(2 )4rPr4三、解答题（本大题共 3 个小题，共 25 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26、 （本小题满分 8 分） 有 5 张卡片，上面分别标有数字 1,2,3,4,5，从中任取 2 张，求： （1）卡片上数字全是奇数的概率； （2）卡片上数字之积为偶数的概率. 解：法一：从中任取 2 张的基本事件为：共 10 个；(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),卡片上数字全是奇数的事件为：共 3 个；(1,3),(1,5),(3,5),所以卡片上数字全是奇数的概率为：；3 10卡片上数字之积为偶数的事件为：共 7 个；(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5),所以卡片上数字之积为偶数的概率为：.7 10 法二：从中任取 2 张的基本事件为：-_(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),共 20 个；(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),卡片上数字全是奇数的事件为: 共 6 个；(1,3),(1,5),(3,1),(3,5), (5,1),(5,3),所以卡片上数字全是奇数的概率为：；63 2010卡片上数字之积为偶数的事件为：共 14(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),个，所以卡片上数字之积为偶数的概率为：.147 201027、 （本小题满分 8 分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱的中点.PABCD,E F,PB PC求证：平面./ /EFPAD解析：线面平行，只要证线线平行即可，根据中点构造三角形中位线即可；解：因为四边形是平行四边形，可知：,ABCD/ /BCAD在内，连接由于分别是棱的中点,PBC,EF,E F,PB PC所以，有平行线的传递性，可得，/ /EFBC/ /ADEF又所以：平面.,ADPADEFPAD平面，平面/ /EFPAD28、 （本小题满分 9 分）已知函数的图象关于原点对称.( )lg()( ,0)1mxf xn m nR mx （1）求的值；,m n（2）若试比较与的大小，并说明理由.120,x x 12()2xxf121 (x )f(x )2f解析：此题考查奇函数的定义，比较两个数的大小.解：（1）根据题意可知：，()( )fxf x 即：()lg()lg()f(x)11mxmxfxnnxx 化简：，lg()lg()11mxnxnmxnxn xx 1lg()lg()1mxnxnx xmxnxn -_即：，1 1mxnxnx xmxnxn ()1 1()nx mnx xnx mn，即2222()1nx mnx 22211 () 0nxmn 所以：，由于，解得：2210()10nmn 0m 2 1m n 所以，综上可知：2,1.mn （2）由（1）可知：，定义域为：21( )lg(1)lg()11xxf xxx(, 1)(1,),x 由根据定义域不妨设120,x x 121,1,xx若有121,xx12 12121()f(x )()f(x )()22xxff xf x若有：121,xx，1212122()lg()22xxxxfxx1212 12 121211(1)(x1)(1)(x1) (x )f(x )lglg22(1)(x1)(1)(x1)xxfxx作差比较大小：121212 12 121212(1)(x1)() (x )f(x )lg()lg222(1)(x1)xxxxxffxxx2 12121212 2 121212122(1)(x1)1(2) (1)(x1)lg()lg2(1)(x1)2(2) (1)(x1)xxxxxx xxxxxx现在只要比较与“1”的大小即可，2 1212 2 1212(2) (1)(x1) (2) (1)(x1)xxx xxx 即比较与“0”的大小即可，22 12121212(2) (1)(x1)(2) (1)(x1)xxxxxx化简式：222 121212121212(2) (1)(x1)(2) (1)(x1)2()()0xxxxxxxxxx即得：2 1212 2 1212(2) (1)(x1)1(2) (1)(x1)xxx xxx所以，即2 1212 2 12121(2) (1)(x1)lg02(2) (1)(x1)xxx xxx12 121() (x )f(x )022xxff-_即：12 121() (x )f(x ).22xxff同理可得当时，有，得：121xx 2 12122()()0xxxx12 121() (x )f(x ).22xxff综上可得：时：12,(1,)x x 12 121() (x )f(x ).22xxff：时：12,(, 1)x x 12 121() (x )f(x ).22xxff
