第2章 内积空间精.ppt

第2章 内积空间第1页，本讲稿共39页2.1 实内积空间实内积空间定定义义.设设V 是一个实线性空间，是一个实线性空间，R为实数域，为实数域，2若若 a a,V,存在唯一的存在唯一的 r R与之对应，与之对应，记作记作(a a,)=r,并且满足并且满足(1)(a a,)=(,a a)(2)(a a+,g g)=(a a,g g)+(,g g)(3)(ka a,)=k(a a,)(4)(a a,a a)0,(a a,a a)=0 a a=0则称则称 (a a,)为为a a 与与 的内积，的内积，V 为为实实内积空间。内积空间。实实内积空间也称欧几里得内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性第2页，本讲稿共39页3定义内积定义内积例例.线性线性空间空间称为内积称为内积空间空间 的标准内积。的标准内积。第3页，本讲稿共39页4定义内积定义内积A为为 n 阶实正定矩阵，阶实正定矩阵，例例.线性线性空间空间第4页，本讲稿共39页5定义内积定义内积例例.线性线性空间空间Ca,b，f,gCa,b第5页，本讲稿共39页6由定义知由定义知(5)(a a,+g g)=(a a,)+(a a,g g)(6)(a a,k )=k(a a,)第6页，本讲稿共39页向量长度向量长度定义定义.设设V 为为实实内积空间，称内积空间，称 为向量为向量a a 的长度，的长度，记作记作|a a|。定理定理.设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a,V,k R，则，则等号成立当且仅当等号成立当且仅当a a,线性相关；线性相关；Cauchy-Schwarz不等式不等式三角不等式三角不等式正定性正定性齐次性齐次性7第7页，本讲稿共39页8Cauchy-Schwaz的两种特殊形式的两种特殊形式第8页，本讲稿共39页向量的夹角向量的夹角由由Cauchy-Schwaz不等式可知不等式可知9第9页，本讲稿共39页向量的正交向量的正交定义定义.设设V 是是实实内积空间，内积空间，a a,V,若若(a a,)=0=0,则称则称 a a 与与 正交，记作正交，记作 a a 。a a 与与 正交正交这就是实这就是实内积空间中的勾股定理。内积空间中的勾股定理。10第10页，本讲稿共39页2.2 欧氏空间的正交基欧氏空间的正交基若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。定理：正交向量组必是线性无关的。11第11页，本讲稿共39页12且其中每个向量的长度都是且其中每个向量的长度都是 1 1，注意：注意：向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即基向量上的正投影，即第12页，本讲稿共39页Gram-Schmidt 正交化过程正交化过程Gram-Schmidt 正交化过程：正交化过程：设设是内积空间是内积空间V 中线性无关中线性无关的向量组的向量组，通过如下过程得到，通过如下过程得到则则V 中存在正交向量组中存在正交向量组设设是内积空间是内积空间V 中线性无关中线性无关的向量组的向量组，通过如下过程得到，通过如下过程得到则则V 中存在正交向量组中存在正交向量组13第13页，本讲稿共39页14令令是是正交向量组正交向量组则则14第14页，本讲稿共39页是正交向量组是正交向量组下面用归纳法说明下面用归纳法说明由归纳法假设可知由归纳法假设可知是正交向量组。是正交向量组。即即标准化可得到一组标准正交基。标准化可得到一组标准正交基。将将15第15页，本讲稿共39页几个定理和推论几个定理和推论定理定理1：n 维实内积空间维实内积空间V 必存在标准正交基。必存在标准正交基。推论推论1：n 维实内积空间维实内积空间V 中任一中任一正交向量组都可扩充成正交向量组都可扩充成V 的一个正交基。的一个正交基。定理定理2：设：设是是n维欧氏空间维欧氏空间V 的一组基，的一组基，使得，使得则则V 中存在标准正交基中存在标准正交基其中R是主对角元为正数的上三角矩阵16第16页，本讲稿共39页几个定理和推论几个定理和推论17第17页，本讲稿共39页题型第18页，本讲稿共39页2.4 正交补正交补定义定义:设设W,U是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，(1)a a V,若若 W,都有都有(a,a,)=0,则称则称a a 与与W 正交，记作正交，记作a a W;(2)若若 a a W,U,都有都有(a,a,)=0,则称则称W 与与U 正交，记作正交，记作W U;(3)若若W U，并且，并且W +U=V,则称则称U 为为W 的正交补。的正交补。注意：若注意：若W U，则则 W与与U 的和必是直和。的和必是直和。19第19页，本讲稿共39页正交补的存在唯一性正交补的存在唯一性定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，则的子空间，则W 的正交补的正交补存在且唯一，记该存在且唯一，记该正交补为正交补为 ，并且，并且20定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的有限维子空间，则的有限维子空间，则第20页，本讲稿共39页向量的正投影向量的正投影定义定义:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，则称向量则称向量 为向量为向量a a 在在W上的正投影，上的正投影，称向量长度称向量长度|g g|为向量为向量a a 到到W 的距离。的距离。Wd d Oa ag g第21页，本讲稿共39页垂线最短定理垂线最短定理定理定理:设设W 是实内积空间是实内积空间V 的子空间，的子空间，a a V,为为a a 在在W上的正投影，则上的正投影，则 d d W,有有并且等号成立当且仅当并且等号成立当且仅当 =d d。Wd d a a第22页，本讲稿共39页最小二乘法最小二乘法（1）可能无解，即任意可能无解，即任意 都可能使都可能使 （2）不等于零，设法找实数组不等于零，设法找实数组 使使（2）最小最小 这样的这样的 为方程组为方程组（1）的最小二乘解，的最小二乘解，此问题叫最小二乘法问题此问题叫最小二乘法问题.1.问题提出问题提出，实系数线性方程组，实系数线性方程组第23页，本讲稿共39页2.问题的解决问题的解决设设（3）用距离的概念，（用距离的概念，（2）就是）就是 由（由（3）知）知 第24页，本讲稿共39页找找 使（使（2）最小，等价于找子空间）最小，等价于找子空间 中向量中向量 使使 到它的距离到它的距离 比到比到 中其它向量的距离都短中其它向量的距离都短.设设 为此必为此必 这等价于这等价于（4）即即 这样（这样（4）等价于）等价于 或或（5）第25页，本讲稿共39页例题第26页，本讲稿共39页2.5 正交变换正交变换定义定义:设设T 是实内积空间是实内积空间V 的线性变换，若的线性变换，若 a,a,V 有有则称则称T 为为V 的正交变换。的正交变换。第27页，本讲稿共39页正交变换的特征刻画正交变换的特征刻画定理定理:设设T 是实内积空间是实内积空间V 的线性变换，的线性变换，a a,V，则下列命题等价，则下列命题等价，第28页，本讲稿共39页29推论推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；两个正交变换的积仍是正交变换；(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。正交变换的逆变换仍是正交变换。第29页，本讲稿共39页Householder 变换变换构造构造 的正交变换的正交变换讨论正交变换讨论正交变换H 的几何意义。的几何意义。第30页，本讲稿共39页故故H(a a)是是a a关于子空间的反射，关于子空间的反射，d da ag g w wO-g-g矩阵矩阵H 称为称为Householder矩阵，矩阵，变换变换H 称为称为Householder变换，变换，变换变换H 也称初等反射也称初等反射变换。变换。第31页，本讲稿共39页2.6 复内积空间复内积空间定定义义.设设V 是一个是一个复复线性空间，线性空间，C 为复数域，为复数域，32若若 a a,V,存在唯一的存在唯一的 c C与之对应，与之对应，记作记作(a a,)=c,并且满足并且满足(2)(a a+,g g)=(a a,g g)+(,g g)(3)(ka a,)=k(a a,)(4)(a a,a a)0,(a a,a a)=0 a a=0则称则称 (a a,)为为a a 与与 的内积，的内积，V 为为复复内积空间。内积空间。复复内积空间也称酉空间。内积空间也称酉空间。对称性对称性线性性线性性非负性非负性(1)(a a,)=(,a a)第32页，本讲稿共39页33定义内积定义内积例例.线性线性空间空间称为复内积称为复内积空间空间 的标准内积。的标准内积。第33页，本讲稿共39页34在复内积空间中还有在复内积空间中还有(5)(a a,+g g)=(a a,)+(a a,g g)(6)(a a,k )=k(a a,)(8)Cauchy-Schwaz不等式不等式且且(a a,)=0=0 a a 与与 正交正交(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组正交化过程把线性无关的向量组变成正交组第34页，本讲稿共39页设设T 是复内积空间是复内积空间V 的线性变换，若的线性变换，若 a,a,V 有有则称则称T 为为V 的酉变换。的酉变换。第35页，本讲稿共39页定理定理:设设T 是复内积空间是复内积空间V 的线性变换，的线性变换，a a,V，则下列命题等价，则下列命题等价，第36页，本讲稿共39页2.7 正规变换与正规矩阵正规变换与正规矩阵第37页，本讲稿共39页例如，对角阵，酉矩阵，例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。阵都是正规阵。定义定义3：设：设 A,B是复方阵，若存在酉矩阵是复方阵，若存在酉矩阵U，使，使则称则称A与与B酉相似。酉相似。第38页，本讲稿共39页定理定理1：任意复方阵必与上三角阵：任意复方阵必与上三角阵酉相似酉相似。定理定理2：复方阵：复方阵A与对角阵与对角阵酉相似的充分必要条件是酉相似的充分必要条件是A是正规阵。是正规阵。推论：实对称推论：实对称阵必与对角阵相似的阵必与对角阵相似的。第39页，本讲稿共39页