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第三章时域响应分析现在学习的是第1页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 第一节第一节 引言引言 时域分析方法是根据系统的微分方程，时域分析方法是根据系统的微分方程，采用拉氏变换法直接解出系统的时间响采用拉氏变换法直接解出系统的时间响应，再根据时间响应来分析系统的稳定应，再根据时间响应来分析系统的稳定性、准确性和快速性能。用时域分析系性、准确性和快速性能。用时域分析系统性能具有直接、准确、易于接受的特统性能具有直接、准确、易于接受的特点，是经典控制理论中进行系统性能分点，是经典控制理论中进行系统性能分析的一种重要方法。析的一种重要方法。现在学习的是第2页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 第二节第二节 典型输入信号典型输入信号 在时域进行分析时，为了比较不同系统的在时域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号，建立分析比较的基础，这些信号称为控信号，建立分析比较的基础，这些信号称为控制系统的典型输入信号。因为系统对典型输入制系统的典型输入信号。因为系统对典型输入信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间存在着一定的关系，所以采用典型应特性之间存在着一定的关系，所以采用典型输入信号来评价系统的性能是合理的。输入信号来评价系统的性能是合理的。现在学习的是第3页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 为便于进行理论分析与试验研究，对典型为便于进行理论分析与试验研究，对典型输入信号有如下要求：输入信号有如下要求：(1)(1)能够使系统工作在最不利的情况下；能够使系统工作在最不利的情况下；(2)(2)形式简单，便于解析分析；形式简单，便于解析分析；(3)(3)在实际中可以实现或近似实现。在实际中可以实现或近似实现。工程中经常采用的典型输入信号有单位脉工程中经常采用的典型输入信号有单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、谐和冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、谐和函数和单位加速度函数等。函数和单位加速度函数等。其数学描述与图形如图其数学描述与图形如图3-13-1所示。所示。现在学习的是第4页，共50页现在学习的是第5页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 第三节第三节 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应 控制系统的时间响应由两部分组成：瞬态响控制系统的时间响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应。瞬态响应是指系统从初始状态应和稳态响应。瞬态响应是指系统从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应是指当时间到最终状态的响应过程。稳态响应是指当时间t t趋于无穷大时，系统的输出状态。趋于无穷大时，系统的输出状态。一阶惯性系统是一阶系统的典型代表，其传一阶惯性系统是一阶系统的典型代表，其传递函数标准形式是：递函数标准形式是：现在学习的是第6页，共50页第三章第三章 时域分析法时域分析法 一、一阶系统的单位阶跃响应一、一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入单位阶跃输入X Xi(t)=1(t)i(t)=1(t)，对其进行拉氏变，对其进行拉氏变换得，换得，X Xi(S)=1/i(S)=1/S S，则，则 对上式进行拉氏反变换，得对上式进行拉氏反变换，得 现在学习的是第7页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 得出如下重要结论：得出如下重要结论：(1)(1)一阶系统总是稳定的，无振荡；一阶系统总是稳定的，无振荡；(2)(2)系统响应由两部分组成，稳态响应系统响应由两部分组成，稳态响应1(t)1(t)和瞬态响应和瞬态响应 组成组成,瞬态响应随瞬态响应随着时间的增加逐渐衰减为着时间的增加逐渐衰减为0 0；(3)(3)经过时间经过时间T T曲线上升到稳态值的曲线上升到稳态值的0.6320.632高度。反之，用实验方法测出的时间响高度。反之，用实验方法测出的时间响应曲线到达稳态值的应曲线到达稳态值的0.6320.632时所用的时间，即时所用的时间，即是一阶系统的时间常数是一阶系统的时间常数T T；现在学习的是第8页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 重要结论：重要结论：(4)(4)经过时间经过时间3 3T T-4-4T T，响应曲线已达到稳态值的，响应曲线已达到稳态值的95%-98%95%-98%，可以认为其调整过程已经完成，故一，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间为（般取调整时间为（3-43-4）T T；(5)(5)在在t t=0=0处，响应曲线的切线斜率为处，响应曲线的切线斜率为1/1/T T;(6)(6)若通过实测某系统单位阶跃响应若通过实测某系统单位阶跃响应y yo o(t)(t)，将，将1-1-y yo o(t)(t)标在半对数坐标纸上，如果得出一条标在半对数坐标纸上，如果得出一条直线，则可判定该系统为一阶环节。直线，则可判定该系统为一阶环节。现在学习的是第9页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 二、一阶系统的单位斜坡响应二、一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应.doc 当当 t 充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号的误差为的误差为T。显然，。显然，惯性环节的时间常数越小，惯性环节的时间常数越小，则该环节的稳态误差越小。则该环节的稳态误差越小。一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线，稳态输出与输入同斜渐变为等速变化的曲线，稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数，即存在跟踪误差，率，但滞后一个时间常数，即存在跟踪误差，其数值大小也等于其数值大小也等于T。现在学习的是第10页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 三三、一一阶阶系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应一一阶阶系系统统的单位斜坡响应的单位斜坡响应.doc 一一阶阶系系统统的的典典型型输输入入响响应应特特性性与与时时间间常常数数密密切切相相关关，时时间间常常数数越越小小、单单位位脉脉冲冲响响应应的的衰衰减减越越快快，单单位位阶阶跃跃响响应应的的调调整整时时间间越越小小，单单位位斜坡响应的稳态误差及滞后时间也越小。斜坡响应的稳态误差及滞后时间也越小。例例3-13-1 p79现在学习的是第11页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 第四节第四节 二阶系统的瞬态响应分析二阶系统的瞬态响应分析二阶系统传递函数的标准形式二阶系统传递函数的标准形式,即：即：式中，式中，为系统的阻尼比为系统的阻尼比 w wn n为无阻尼振荡频率，简称固有频率为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）（也称自然振荡频率）现在学习的是第12页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析闭环特征方程为：闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为其特征根即为闭环传递函数的极点为1 1、当、当0 0 1 11时，特征方程具有两个不相等的负实根，时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（称为过阻尼状态。（如图如图c c）4 4、当、当=0=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如如图图d d）分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。现在学习的是第15页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应1 1、过阻尼情况。、过阻尼情况。当当11时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为实根，这时闭环传递函数可写为现在学习的是第16页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 式中：式中：过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。不同的一阶系统的串联。当系统的输入信号为单位阶跃函数时，当系统的输入信号为单位阶跃函数时，现在学习的是第17页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析则系统的输出量为则系统的输出量为拉氏反变换得：拉氏反变换得：现在学习的是第18页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 响应曲线如图：响应曲线如图：起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间时间tsts，根据公式求，根据公式求tsts的表达式很困难，一般的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定用计算机计算出的曲线确定tsts。现在学习的是第19页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析2.2.欠阻尼情况欠阻尼情况 当当0 0 1,1,二阶系统的闭环特征根为二阶系统的闭环特征根为 Wn Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。自然振荡频率。现在学习的是第20页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 当系统输入为单位阶跃信号时，系统的当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为输出量为现在学习的是第21页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析曲线曲线：现在学习的是第22页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部征值实部-w wn n的大小，而衰减振荡的频率，的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部取决于特征根虚部w wd d的大小。的大小。现在学习的是第23页，共50页现在学习的是第24页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 上图绘出了不同上图绘出了不同值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，直观地看，越大，超调量越大，超调量M MP P%越小，响应的振荡性越越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，弱，平稳性越好；反之，越小，振荡性越强，平稳性越差。越小，振荡性越强，平稳性越差。当当0 0时，系统的零阻尼响应为：时，系统的零阻尼响应为：等幅振荡曲线，振荡频率为等幅振荡曲线，振荡频率为w wn.n.w wn n称为无阻尼振荡频率。称为无阻尼振荡频率。现在学习的是第25页，共50页第三章第三章 时域响应分析时域响应分析 另外，若另外，若过大，如过大，如 ，系统响应迟，系统响应迟缓，调节时间缓，调节时间tsts长，快速性差；长，快速性差；若若过小，虽然响应的起始速度较快，过小，虽然响应的起始速度较快，trtr和和tptp小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间慢，调节时间tsts亦长。亦长。现在学习的是第26页，共50页四、四、二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标 控制系统的时域性能指标，是根据控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃响应确定的，通常以单位阶跃响应确定的，通常以h(t)h(t)表示。表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图荡的阶跃响应，如图4-14-1所示：所示：现在学习的是第27页，共50页现在学习的是第28页，共50页1、上升时间上升时间t tr r 响应曲线从零首次上升到稳态值响应曲线从零首次上升到稳态值h(h()所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，无振荡的系统，t tr r是响应曲线从稳态值的是响应曲线从稳态值的10%10%上升到上升到90%90%所需的时间。所需的时间。延迟时间延迟时间t td d:响应曲线第一次到达终值一响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。半所需的时间。2 2、峰值时间、峰值时间t tp p 响应曲线超过稳态值响应曲线超过稳态值h(h()达到第一个达到第一个峰值所需的时间。峰值所需的时间。3 3、调节时间、调节时间t ts s 在稳态值在稳态值h(h()附近取一误差带，通常取附近取一误差带，通常取现在学习的是第29页，共50页 响应曲线开始进入并保持在误差带内响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。所需的最小时间，称为调节时间。ts ts越小，说明系统从一个平衡状态过越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。渡到另一个平衡状态所需的时间越短。4 4、超调量、超调量M MP P%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即态值之比。即现在学习的是第30页，共50页 超调量表示系统响应过冲的程度，超调量超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。条件下，而且使调节时间加长。5 5、振荡次数、振荡次数N N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。次数的一半。tr,tp tr,tp和和tsts表示控制系统反映输入信号的表示控制系统反映输入信号的快速性，而快速性，而%和和N N反映系统动态过程的平稳性。反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中即系统的阻尼程度。其中tsts和和%是最重要的是最重要的两个动态性能的指标。两个动态性能的指标。现在学习的是第31页，共50页 具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。1 1、上升时间、上升时间tr tr 由定义知：由定义知：trtr为输出响应第一次到达稳为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取态值所需时间，所以应取n=1n=1。现在学习的是第32页，共50页 当当wnwn一定时，一定时，越小，越小，trtr越小；越小；当当一定时，一定时，wnwn越大，越大，trtr越小。越小。2 2、峰值时间、峰值时间tptp现在学习的是第33页，共50页对对式两边求导，并令其式两边求导，并令其=0=0，得：，得：代入代入 得：得：现在学习的是第34页，共50页现在学习的是第35页，共50页tptp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取所以应取n=1n=1。于是于是当当wnwn一定时，一定时，越小，越小，tptp越小；越小；当当一定时，一定时，wnwn越大，越大，tptp越小。越小。3 3、超调量、超调量M MP P%现在学习的是第36页，共50页 所以超调量是阻尼比所以超调量是阻尼比的函数，与的函数，与无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率wnwn的大小无关。的大小无关。现在学习的是第37页，共50页M MP P%与与的关系曲线的关系曲线现在学习的是第38页，共50页 增大，增大，M MP P%减小，通常为了获得良好的平稳减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比性和快速性，阻尼比取在取在0.4-0.80.4-0.8之间之间,相相应的超调量应的超调量25%-2.5%25%-2.5%。4 4、调节时间、调节时间tsts 根据定义：根据定义：不易求出不易求出tsts，但可得出，但可得出wnwn、tsts与与的关的关系曲线：系曲线：现在学习的是第39页，共50页现在学习的是第40页，共50页调节时间不连续的示意图调节时间不连续的示意图值的微小变化可引起调节时间值的微小变化可引起调节时间t ts s显著的变化。显著的变化。现在学习的是第41页，共50页 当=0.68=0.68（5%5%误差带）或误差带）或=0.76=0.76（2%2%误误差带），调节时间差带），调节时间tsts最短。所以通常的控制系最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。统都设计成欠阻尼的。曲线的不连续性，是由于曲线的不连续性，是由于值的微小变化值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。可引起调节时间显著变化而造成的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定衰减到误差带之内所需时间来确定tsts。当当=0.8=0.8时时,常把常把 这一项这一项 去掉。写成去掉。写成 即即 现在学习的是第42页，共50页 在设计系统时在设计系统时,通常由要求的最大超通常由要求的最大超调量决定调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率而调节时间则由无阻尼振荡频率w wn n来决定。来决定。可近似表示为：可近似表示为：两边取对数两边取对数,得：得：现在学习的是第43页，共50页 5 5、振荡次数、振荡次数N N N N的定义的定义:在调节时间内在调节时间内,响应曲线穿越其响应曲线穿越其稳态值次数的一半。稳态值次数的一半。Td Td为阻尼振荡的周期。为阻尼振荡的周期。现在学习的是第44页，共50页 例例1:1:已知单位反馈系统的传递函数为已知单位反馈系统的传递函数为 设系统的输入量为单位阶跃函数设系统的输入量为单位阶跃函数,试计试计算放大器增益算放大器增益KA=200KA=200时时,系统输出响应的动系统输出响应的动态性能指标。当态性能指标。当KAKA增大到增大到15001500时或减小到时或减小到KA KA=13.5,=13.5,这时系统的动态性能指标如何这时系统的动态性能指标如何?现在学习的是第45页，共50页解解:系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为:现在学习的是第46页，共50页 则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式的计算公式,可以求得可以求得:现在学习的是第47页，共50页 由此可见由此可见,KA,KA越大越大,越小越小,wn,wn越大越大,tp,tp越小越小,M,MP P%越大越大,而调节时间而调节时间tsts无多大变化。无多大变化。系统工作在过阻尼状态系统工作在过阻尼状态,峰值时间峰值时间,超调超调量和振荡次数不存在量和振荡次数不存在,而调节时间可将二阶而调节时间可将二阶系统近似系统近似现在学习的是第48页，共50页 为大时间常数为大时间常数T T的一阶系统来估计的一阶系统来估计,即即:调节时间比前两种调节时间比前两种KAKA大得多大得多,虽然响应虽然响应无超调无超调,但过渡过程缓慢但过渡过程缓慢,曲线如下：曲线如下：现在学习的是第49页，共50页 KAKA增大，增大，tp tp减小，减小，tr tr减小，可以提高响应的快速性，但减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。环节。现在学习的是第50页，共50页