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弹性力学与有限元弹性力学与有限元你现在浏览的是第一页，共40页参考书目参考书目n王勖成，邵敏。王勖成，邵敏。有限单元法基本原理和数值方法有限单元法基本原理和数值方法（第（第2版）版），清华大学出版社，清华大学出版社，1997年。年。n王焕定，吴德伦。王焕定，吴德伦。有限单元法及计算程序有限单元法及计算程序，中国建筑工业，中国建筑工业出版社，出版社，1997年。年。nO.C.监凯维奇。监凯维奇。有限元法有限元法（中译本）（中译本），科学出版社，科学出版社，1985年。年。n龙驭球。龙驭球。有限元法概论有限元法概论（第二版）（第二版），高等教育出版社，高等教育出版社，1991年。年。n学习用有限元软件：学习用有限元软件：ANSYS 最好最好6.0版本以上。版本以上。你现在浏览的是第二页，共40页第一讲第一讲 弹性力学基础与有限元法数学原理弹性力学基础与有限元法数学原理n1-1 1-1 材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学n1-2 1-2 一点应力、应变状态一点应力、应变状态n1-3 1-3 位移应变关系，几何方程位移应变关系，几何方程n1-4 1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程n1-5 1-5 应力外力关系，运动平衡方程应力外力关系，运动平衡方程n1-6 1-6 边界条件边界条件n1-7 1-7 弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法n1-8 1-8 有限元法数学原理与发展有限元法数学原理与发展n1-9 1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法n1-10 1-10 变分原理与变分原理与RitzRitz方法方法n1-11 1-11 功能原理功能原理n1-12 1-12 小结小结你现在浏览的是第三页，共40页1-1 材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学 1、研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。此产生的应力和变形。2、研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。你现在浏览的是第四页，共40页1-1 材料力学与弹性力学（续）材料力学与弹性力学（续）材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学 3、研究的方法：研究的方法：有较大的区别。有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。并确定它们的适用范围。你现在浏览的是第五页，共40页1-1 材料力学与弹性力学（续）材料力学与弹性力学（续）材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学你现在浏览的是第六页，共40页1-1 材料力学与弹性力学（续）材料力学与弹性力学（续）材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学你现在浏览的是第七页，共40页1-1 材料力学与弹性力学（续）材料力学与弹性力学（续）材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学你现在浏览的是第八页，共40页1-1 材料力学与弹性力学（续）材料力学与弹性力学（续）材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：保留了材料力学中关于材料性质的假定：你现在浏览的是第九页，共40页1-1 材料力学与弹性力学（续）材料力学与弹性力学（续）弹性力学中的五点基本假定弹性力学中的五点基本假定(1)物体是连续的：物体是连续的：亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物物体体是是完完全全弹弹性性的的：亦亦即即当当使使物物体体产产生生变变形形的的外外力力被被除除去去以以后后，物物体体能能够够完完全全恢恢复复原原形形，而而不不留留任任何何残残余余变变形形。这这样样，当当温温度度不不变变时时，物物体体在在任任一一瞬瞬时时的的形形状状完完全全决决定定于于它它在在这这一一瞬瞬时时所受的外力，与它过去的受力情况无关。所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物物体体是是均均匀匀的的：也也就就是是说说整整个个物物体体是是由由同同一一种种材材料料组组成成的的。这这样样，整整个个物物体体的的所所有有各各部部分分才才具具有有相相同同的的物物理理性性质质，因因而而物物体的弹性常数体的弹性常数(弹性模量和波桑系数弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。才不随位置座标而变。你现在浏览的是第十页，共40页1-1 材料力学与弹性力学（续）材料力学与弹性力学（续）弹性力学中的五点基本假定弹性力学中的五点基本假定(4)物物体体是是各各向向同同性性的的：也也就就是是说说物物体体内内每每一一点点各各个个不不同同方方向向的的物理性质和机械性质都是相同的。物理性质和机械性质都是相同的。(5)物物体体的的变变形形是是微微小小的的：亦亦即即当当物物体体受受力力以以后后，整整个个物物体体所所有有各各点点的的位位移移都都远远小小于于物物体体的的原原有有尺尺寸寸，因因而而应应变变和和转转角角都都远远小小于于1，这这样样，在在考考虑虑物物体体变变形形以以后后的的平平衡衡状状态态时时，可可以以用用变变形形前前的的尺尺寸寸来来代代替替变变形形后后的的尺尺寸寸，而而不不致致有有显显著著的的误误差差；并并且且，在在考考虑虑物物体体的的变变形形时时，应应变变和和转转角角的的平平方方项项或或乘乘积积项项都都可可以以略略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。你现在浏览的是第十一页，共40页1-2 一点应力、应变状态一点应力、应变状态弹性体内微小的平行六面体弹性体内微小的平行六面体PABC，称为，称为微元体。微元体。每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。个坐标轴平行。图图 1-4你现在浏览的是第十二页，共40页1-2 一点应力、应变状态（续）一点应力、应变状态（续）可以证明：如果可以证明：如果 这六个量在这六个量在P点是点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的该点的应力分量应力分量。一一般般说说来来，弹弹性性体体内内各各点点的的应应力力状状态态都都不不相相同同，因因此此，描描述述弹弹性性体体内内应应力力状状态态的的上上述述六六个个应应力力分分量量并并不不是是常常量量，而而是是坐坐标标x、y、z的函数。的函数。你现在浏览的是第十三页，共40页1-2 一点应力、应变状态（续）一点应力、应变状态（续）弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：有两种方式来描述：1、给出、给出各点的位移各点的位移；2、给出、给出各微元体的变形各微元体的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的三个坐标轴上的投影投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标以后，各点的位移并不是定值，而是坐标x、y、z的函数。的函数。你现在浏览的是第十四页，共40页1-2 一点应力、应变状态（续）一点应力、应变状态（续）应应 变变 微元体的变形可以分为两类：微元体的变形可以分为两类：一类是一类是长度的变化长度的变化，一类是，一类是角度的变化角度的变化。任任一一线线素素的的长长度度的的变变化化与与原原有有长长度度的的比比值值称称为为线线应应变变(或或称称正正应应变变)，用用符符号号 来来表表示示。当当线线素素伸伸长长时时，其其线线应应变变为为正正。反反之之，线线素素缩缩短短时时，其其线线应应变变为为负负。这这与与正正应应力力的的正正负负号号规规定定相相对应。对应。任任意意两两个个原原来来彼彼此此正正交交的的线线素素，在在变变形形后后其其夹夹角角的的变变化化值值称称为为角角应应变变或或剪剪应应变变，用用符符号号 来来表表示示。规规定定当当夹夹角角变变小小时时为为正正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。你现在浏览的是第十五页，共40页1-2 一点应力、应变状态（续）一点应力、应变状态（续）可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量应变分量。一般说来，弹性体内各点的应变状态都不相同，因此，描一般说来，弹性体内各点的应变状态都不相同，因此，描述弹性体内应变状态的上述六个应变分量并不是常量，而述弹性体内应变状态的上述六个应变分量并不是常量，而是坐标是坐标x、y、z的函数。的函数。你现在浏览的是第十六页，共40页1-2 一点应力、应变状态（续）一点应力、应变状态（续）你现在浏览的是第十七页，共40页1-3 位移应变关系，几何方程位移应变关系，几何方程几何方程（又称变形协调方程）：几何方程（又称变形协调方程）：表明任一点的应变分量与位表明任一点的应变分量与位移分量之间的关系。（移分量之间的关系。（6个方程）个方程）（可推导得到等价的（可推导得到等价的相容方程相容方程）你现在浏览的是第十八页，共40页1-4 应力应变关系，物理方程应力应变关系，物理方程物理方程（又称本构方程）：物理方程（又称本构方程）：表明任一点的应力分量与应变表明任一点的应力分量与应变分量之间的关系。（分量之间的关系。（6个方程）个方程）你现在浏览的是第十九页，共40页1-5 应力外力关系，运动平衡方程应力外力关系，运动平衡方程运动平衡方程：运动平衡方程：表明任一点的应力分量与体积力分量之间的关表明任一点的应力分量与体积力分量之间的关系。（系。（3个方程）个方程）静力平衡时的张量形式的平衡方程：静力平衡时的张量形式的平衡方程：你现在浏览的是第二十页，共40页1-6 边界条件边界条件应力边界条件：应力边界条件：在已知表面力的边界面在已知表面力的边界面 上，由表面微元体的上，由表面微元体的“平衡平衡”，在，在略去高阶微量时，体内的应力与表面力之间存在如下应力边界略去高阶微量时，体内的应力与表面力之间存在如下应力边界条件条件你现在浏览的是第二十一页，共40页1-6 边界条件（续）边界条件（续）位移边界条件：位移边界条件：在已知位移的边界面在已知位移的边界面 上，体内的位移在边界处应满足如下上，体内的位移在边界处应满足如下位移边界条件位移边界条件你现在浏览的是第二十二页，共40页1-7 弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法n问题描述（问题描述（15个未知函数，个未知函数，15个方程，两个边界条件）：个方程，两个边界条件）：几何方程几何方程物理方程物理方程静力平衡方程静力平衡方程已知：应力边界条件已知：应力边界条件 位移边界条件位移边界条件n解析求解方法：应力函数法、位移函数法解析求解方法：应力函数法、位移函数法（局限性：仅有（局限性：仅有极少数极少数问题能找到应力函数或位移函数）问题能找到应力函数或位移函数）你现在浏览的是第二十三页，共40页1-8 有限元数学原理与发展有限元数学原理与发展 由前可见，由前可见，弹性力学问题弹性力学问题的求解其实就是的求解其实就是微分方程微分方程的求解。其的求解。其分析方法可分为解析法与数值法两类。解析法通常只是对某些分析方法可分为解析法与数值法两类。解析法通常只是对某些简单问题才能得出闭合形式的解答。对于复杂的结构问题要用简单问题才能得出闭合形式的解答。对于复杂的结构问题要用解析法求出闭合解往往是不可能的，唯一的途径是应用数值法解析法求出闭合解往往是不可能的，唯一的途径是应用数值法求出问题的近似解。求出问题的近似解。力学分析的力学分析的数值法数值法分类：分类：n在解析法的基础上进行近似数值分析在解析法的基础上进行近似数值分析。第一步，对连续体力学。第一步，对连续体力学问题建立基本微分方程；第二步，对基本微分方程采用近似的问题建立基本微分方程；第二步，对基本微分方程采用近似的数值解法。代表：数值解法。代表：有限差分法有限差分法。n在力学模型上进行近似的数值计算在力学模型上进行近似的数值计算。第一步，将连续体简化为。第一步，将连续体简化为有限个单元组成的离散化模型；第二步，对离散化模型求出数有限个单元组成的离散化模型；第二步，对离散化模型求出数值解答。代表：值解答。代表：有限元法，边界元法，无网格法有限元法，边界元法，无网格法，你现在浏览的是第二十四页，共40页1-8 有限元数学原理与发展（续）有限元数学原理与发展（续）第一类方法：第一类方法：解决具有规则的几何特性和均匀的材料特性的问解决具有规则的几何特性和均匀的材料特性的问题。优点：程序设计简单，收敛性好。题。优点：程序设计简单，收敛性好。第二类方法：第二类方法：物理概念清晰，灵活且通用。能有效克服第一类物理概念清晰，灵活且通用。能有效克服第一类方法的局限性。方法的局限性。你现在浏览的是第二十五页，共40页1-8 有限元数学原理与发展（续）有限元数学原理与发展（续）有限元法的分类有限元法的分类n分类一（选择基本位置量不同）：分类一（选择基本位置量不同）：位移法：位移法：取结点位移作为基本位置量；取结点位移作为基本位置量；（常用）（常用）力力 法：法：取结点力作为基本未知量；取结点力作为基本未知量；混合法：混合法：取一部分结点位移和一部分结点力作为基本未知量。取一部分结点位移和一部分结点力作为基本未知量。n分类二（推导方法不同）：分类二（推导方法不同）：直接法直接法（代表：结构力学中的矩阵位移法）（代表：结构力学中的矩阵位移法）加权余量法加权余量法（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法法）变分法变分法（Ritz法、法、分片分片Ritz法即形函数法法即形函数法）你现在浏览的是第二十六页，共40页1-8 有限元数学原理与发展（续）有限元数学原理与发展（续）有限元法的发展有限元法的发展n1943年，年，Gourant 分片插值最小势能原理分析分片插值最小势能原理分析St.Venant扭转问题。扭转问题。n1956年年，Turner,Clough,Martin,Topp在在纽纽约约举举行行的的航航空空学学会会年年会会上上介介绍绍了了一一种种新新的的计计算算方方法法，将将矩矩阵阵位位移移法法推推广广到到求求解解平平面面应应力力问问题题。他他们们把把结结构构划划分分成成一一个个个个三三角角形形和和矩矩形形的的“单单元元”，利利用用单单元元中中近近似似位位移移函函数数，求求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。n1954-1955年，年，Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。n1960年年，Clough在在他他的的名名为为“The finite element in plane stress analysis”的的论论文文中中首首次次提提出了有限元（出了有限元（finite element）这一术语。）这一术语。n数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。n在在1963年年前前后后，经经过过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞卞学学磺磺）等等许许多多人人的的工工作作，认认识识到到有有限限元元法法就就是是变变分分原原理理中中Ritz近近似似法法的的一一种种变变形形，发发展展了了用用各各种种不不同同变变分分原原理理导导出的有限元计算公式。出的有限元计算公式。n1965年年O.C.Zienkiewicz和和Y.K.Cheung（张张佑佑启启）发发现现只只要要能能写写成成变变分分形形式式的的所所有有场场问问题题，都都可可以以用用与与固体力学有限元法的相同步骤求解。固体力学有限元法的相同步骤求解。n1969年年B.A.Szabo和和G.C.Lee指指出出可可以以用用加加权权余余量量法法特特别别是是Galerkin法法，导导出出标标准准的的有有限限元元过过程来求解非结构问题。程来求解非结构问题。n我我国国的的力力学学工工作作者者为为有有限限元元方方法法的的初初期期发发展展做做出出了了许许多多贡贡献献，其其中中比比较较著著名名的的有有：陈陈伯伯屏屏（结结构构矩矩阵阵方方法法），钱钱令令希希（余余能能原原理理），钱钱伟伟长长（广广义义变变分分原原理理），胡胡海海昌昌（广广义义变变分分原原理理），冯冯康康（有有限限单单元元法法理理论论）。遗遗憾憾的的是是，从从1966年年开开始始的的近近十十年年期期间间，我我国国的的研研究究工工作作受受到阻碍。到阻碍。你现在浏览的是第二十七页，共40页1-8 有限元数学原理与发展（续）有限元数学原理与发展（续）目前应用较多的通用有限元软件目前应用较多的通用有限元软件软件名称软件名称简介简介MSC/Nastran 著名结构分析程序，最初由著名结构分析程序，最初由NASA研制研制MSC/Dytran 动力学分析程序动力学分析程序MSC/Marc 非线性分析软件非线性分析软件ANSYS 通用结构分析软件通用结构分析软件ADINA 非线性分析软件非线性分析软件ABAQUS 非线性分析软件非线性分析软件 另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件，焊接与热处理分析软件SysWeld等。等。你现在浏览的是第二十八页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式 工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数数u应满足微分方程组：应满足微分方程组：域域 可以是体积域、面积域等。同时未知函数可以是体积域、面积域等。同时未知函数u还应满足边界还应满足边界条件：条件：是域是域 的边界。的边界。你现在浏览的是第二十九页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式 由于微分方程组（由于微分方程组（1-9-1）在域）在域 中每一点都必须为零，因中每一点都必须为零，因此有：此有：其中，其中，V是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。你现在浏览的是第三十页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式 同理，假如边界条件（同理，假如边界条件（1-9-2）在边界）在边界 上每一点都得到满上每一点都得到满足，则，对于一组任意函数足，则，对于一组任意函数 应当成立：应当成立：合并式合并式(1-9-3)和和(1-9-4)，得，得微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式为：为：以上方程对于所有的以上方程对于所有的V和和 都成立，等价于微分方程都成立，等价于微分方程(1-9-1)和边界条件和边界条件(1-9-2)。你现在浏览的是第三十一页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）等效积分的等效积分的“弱弱”形式形式 在上述等效积分式在上述等效积分式(1-9-5)中，未知函数中，未知函数u在积分中将以导数或偏导数的形式在积分中将以导数或偏导数的形式出现，它的选择将取决于微分算子出现，它的选择将取决于微分算子A或或B中微分运算的最高阶次。中微分运算的最高阶次。一个函数在域内，它的零阶导数（即其函数本身）至它的一个函数在域内，它的零阶导数（即其函数本身）至它的n-1阶导数连续，它的第阶导数连续，它的第n阶阶导数具有有限个不连续点但在域内可积，这样的函数我们称之为导数具有有限个不连续点但在域内可积，这样的函数我们称之为具有具有Cn-1连续性的函连续性的函数数。在很多情况下可对式在很多情况下可对式(1-9-5)进行分部积分，得到等效积分的进行分部积分，得到等效积分的“弱弱”形式：形式：其中，其中，C、D、E、F是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较(1-9-1)式中的式中的A低，低，这样对这样对函数函数u只需要较低阶次的连续性只需要较低阶次的连续性就可以了。就可以了。该该“弱形式弱形式”在在板壳的有限元分析板壳的有限元分析中意义重大，导致了中意义重大，导致了非协调元、广义协调非协调元、广义协调元元的产生。这一弱处理往往能得到的产生。这一弱处理往往能得到更为精确的分析结果更为精确的分析结果。你现在浏览的是第三十二页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）基于等效积分形式的近似方法：加权余量法基于等效积分形式的近似方法：加权余量法n将未知场函数将未知场函数u取为近似函数，近似函数是一族带有确定参数的已知函取为近似函数，近似函数是一族带有确定参数的已知函 数，一般数，一般形式为：形式为：例如，当未知函数例如，当未知函数u为位移时，可取近似解：为位移时，可取近似解：则有：则有：你现在浏览的是第三十三页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）基于等效积分形式的近似方法：加权余量法基于等效积分形式的近似方法：加权余量法 显然，在通常显然，在通常n取有限项数的情况下，微分方程和边界条件将产生残差：取有限项数的情况下，微分方程和边界条件将产生残差：n用用n个规定的函数（权函数）来代替任意函数个规定的函数（权函数）来代替任意函数V及及 ：则有近似的等效积分形式：则有近似的等效积分形式：或余量的形式：或余量的形式：式式(1-9-10)和式和式(1-9-11)的意义是的意义是通过选择待定系数通过选择待定系数ai，强迫余量在某种平均意，强迫余量在某种平均意义上等于零义上等于零。你现在浏览的是第三十四页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）等效积分等效积分“弱弱”形式的加权余量近似公式形式的加权余量近似公式 你现在浏览的是第三十五页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）n配点法配点法n子域法子域法 在在n个子域个子域 内，内，在子域，在子域 外，外，：n最小二乘法最小二乘法 即，使函数即，使函数 取最小值：取最小值：n力矩法力矩法 一维问题时，取一维问题时，取 得得 你现在浏览的是第三十六页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）n伽辽金（伽辽金（Galerkin）法）法 在域内：在域内：在边界上：在边界上：即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数。即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数。得：得：近似解近似解 由于由于 是完全任意的，所以可重写为是完全任意的，所以可重写为 对于等效积分的对于等效积分的“弱弱”形式，有形式，有你现在浏览的是第三十七页，共40页1-9 微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）微分方程的等效积分形式和加权余量法（续）在很多情况下，采用在很多情况下，采用Galerkin法得到的法得到的求解方程的系数矩阵是对称的求解方程的系数矩阵是对称的，这是在用，这是在用加权余量法建立有限元格式时几乎毫无例外地都采用加权余量法建立有限元格式时几乎毫无例外地都采用Galerkin法的主要原因，而且法的主要原因，而且当当存在相应的泛函时，存在相应的泛函时，Galerkin法与变分法往往得到相同的结果法与变分法往往得到相同的结果。举例，二阶常微分方程的加权余量法举例，二阶常微分方程的加权余量法5种求解方法对比。种求解方法对比。加权余量法小结加权余量法小结n加权余量法可用于广泛的方程类型；加权余量法可用于广泛的方程类型；n选择不同的权函数，可以产生不同的加权余量法；选择不同的权函数，可以产生不同的加权余量法；n通过采用等效积分的通过采用等效积分的“弱弱”形式，可以降低对近似函数的连续性要求；形式，可以降低对近似函数的连续性要求；n当近似函数满足当近似函数满足连续性连续性和和完备性完备性要求时，近似解可趋近于精确解。要求时，近似解可趋近于精确解。但解的收敛但解的收敛性仍未有严格的证明，同时近似解也不具有明确的上、下界性质性仍未有严格的证明，同时近似解也不具有明确的上、下界性质。以下介绍的变分原。以下介绍的变分原理和理和Ritz法则从理论上解决了上述两方面的问题。法则从理论上解决了上述两方面的问题。你现在浏览的是第三十八页，共40页1-10 变分原理与变分原理与Ritz方法方法变分原理的定义变分原理的定义 建立一个标量泛函：建立一个标量泛函：其中，其中，u是未知函数，是未知函数，F和和E是特定的算子，是特定的算子，是求解域，是求解域，是是 的边界。的边界。称为未知函数的泛函，随函数称为未知函数的泛函，随函数u的变化而变化。的变化而变化。连续介质问题的解连续介质问题的解u使泛函使泛函 对于微小的变化对于微小的变化 取驻值，即泛函的取驻值，即泛函的“变分变分”等于零等于零 这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。在经典的变分原理表达中，在经典的变分原理表达中，问题的求解是寻求使具有一定已知边界条件的泛函问题的求解是寻求使具有一定已知边界条件的泛函取驻值的未知函数取驻值的未知函数。你现在浏览的是第三十九页，共40页1-10 变分原理与变分原理与Ritz方法方法变分原理的定义变分原理的定义 建立一个标量泛函：建立一个标量泛函：其中，其中，u是未知函数，是未知函数，F和和E是特定的算子，是特定的算子，是求解域，是求解域，是是 的边界。的边界。称为未知函数的泛函，随函数称为未知函数的泛函，随函数u的变化而变化。的变化而变化。连续介质问题的解连续介质问题的解u使泛函使泛函 对于微小的变化对于微小的变化 取驻值，即泛函的取驻值，即泛函的“变分变分”等于零等于零 这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。在经典的变分原理表达中，在经典的变分原理表达中，问题的求解是寻求使具有一定已知边界条件的泛问题的求解是寻求使具有一定已知边界条件的泛函取驻值的未知函数函取驻值的未知函数。你现在浏览的是第四十页，共40页