第2章 控制系统数学模型精.ppt

第2章 控制系统数学模型第1页，本讲稿共96页2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 微分方程微分方程 是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。第2页，本讲稿共96页例2.1 R-L-C 串联电路2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 第3页，本讲稿共96页例例2.2 2.2 弹簧弹簧阻尼器系统阻尼器系统2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 第4页，本讲稿共96页电磁力矩：安培定律电枢反电势：楞次定律电枢回路：克希霍夫力矩平衡：牛顿定律例2.3 电枢控制式直流电动机2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 第5页，本讲稿共96页电机时间常数电机传递系数消去中间变量 i,Mm,Eb 可得：2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 第6页，本讲稿共96页建立动态微分方程的步骤（1）根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还考虑扰动量），并根据需要引进一些中间变量。（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿定律和热力学定律等等。（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量）关系的微分方程，即元件的数学模数学模型。型。2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 第7页，本讲稿共96页微分方程标准形式微分方程标准形式 (1)将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。(2)方程两边导数项均按降阶排列。其一般形式为其一般形式为2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 第8页，本讲稿共96页第第2 2章章 自动控制系统数学模型自动控制系统数学模型 n 2.1 建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 n 2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统的传递函数n 2.6 信号流图第9页，本讲稿共96页2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 1 几种常见的非线性几种常见的非线性 第10页，本讲稿共96页2 2 线性化的方法线性化的方法（1 1）忽略弱非线性环节）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）（2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 第11页，本讲稿共96页 设 A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数忽略二次以上的各项，上式可以写成 其中这就是非线性元件的线性化数学模型第12页，本讲稿共96页取一次近似，且令 有 例 已知某装置的输入输出特性求小扰动线性化方程。解 在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 第13页，本讲稿共96页 解 在 处泰勒展开，取一次近似 代入原方程可得 例 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 第14页，本讲稿共96页在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 第15页，本讲稿共96页 如果一非线性元件输入输出关系如图所示 此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为（3 3）平均斜率法）平均斜率法2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 第16页，本讲稿共96页 注意：注意：上述几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 第17页，本讲稿共96页n 2.1 建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 n 2.3 2.3 传递函数传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统的传递函数n 2.6 信号流图第2章 自动控制系统数学模型第18页，本讲稿共96页1 拉普拉斯变换 2 传递函数3 典型环节的传递函数2.3 传递函数第19页，本讲稿共96页1 复数有关概念（1）复数、复函数 复数复函数 例1（2）模、相角（3）复数的共轭（4）解析若F(s)在 s 点的各阶 导数都存在，则F(s)在 s 点解析。模相角 1 1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第20页，本讲稿共96页（2）指数函数1 拉普拉斯变换第21页，本讲稿共96页2 拉氏变换的定义（1）阶跃函数像原像3 常见函数的拉氏变换1 拉普拉斯变换第22页，本讲稿共96页（3）正弦函数1 拉普拉斯变换第23页，本讲稿共96页（1）线性性质4 拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理0初条件下有：1 拉普拉斯变换第24页，本讲稿共96页例2 求解.例3 求解.1 拉普拉斯变换第25页，本讲稿共96页（3）积分定理零初始条件下有：进一步有：例4 求 Lt=?解.1 拉普拉斯变换第26页，本讲稿共96页例5 求解.1 拉普拉斯变换第27页，本讲稿共96页（4）实位移定理例6解.1 拉普拉斯变换第28页，本讲稿共96页（5）复位移定理例7例8例91 拉普拉斯变换第29页，本讲稿共96页（6）初值定理例101 拉普拉斯变换第30页，本讲稿共96页（7）终值定理例11例121 拉普拉斯变换第31页，本讲稿共96页5 用拉氏变换方法解微分方程L变换系统微分方程L-1变换1 拉普拉斯变换第32页，本讲稿共96页1)拉氏变换的定义（2）单位阶跃2)常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数1 拉普拉斯变换6 拉氏变换小结第33页，本讲稿共96页（2）微分定理3)L变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理1 拉普拉斯变换第34页，本讲稿共96页4)拉氏反变换（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）试凑法系数比较法留数法例1 已知，求解.1 拉普拉斯变换第35页，本讲稿共96页5)用L变换方法解线性常微分方程0 初条件nm:特征根（极点）:相对于 的模态1 拉普拉斯变换第36页，本讲稿共96页用留数法分解部分分式一般有其中：设I.当 无重根时1 拉普拉斯变换第37页，本讲稿共96页例2 已知，求解.例3 已知，求解.1 拉普拉斯变换第38页，本讲稿共96页例4 已知，求解一.解二：1 拉普拉斯变换第39页，本讲稿共96页II.当 有重根时(设 为m重根，其余为单根)1 拉普拉斯变换第40页，本讲稿共96页1 拉普拉斯变换第41页，本讲稿共96页例5 已知，求解.1 拉普拉斯变换第42页，本讲稿共96页1 拉普拉斯变换 2 2 传递函数传递函数3 典型环节的传递函数2.3 传递函数第43页，本讲稿共96页 2 传递函数 1)定义:在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。微分方程一般形式：第44页，本讲稿共96页 2 传递函数微分方程一般形式：拉氏变换：传递函数：第45页，本讲稿共96页 2)传递函数的性质 (1)G(s)是复函数；(2)G(s)只与系统自身的结构参数有关；(3)G(s)与系统微分方程直接关联；(4)G(s)=L k(t)；(5)G(s)与 s 平面上的零极点图相对应。第2章 自动控制系统的数学模型 2 传递函数第46页，本讲稿共96页 （1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息；（2）适合于描述单输入/单输出系统；（3）只能用于表示线性定常系统。传递函数的局限性传递函数的局限性 2 传递函数第47页，本讲稿共96页 例例8 8 已知某系统在已知某系统在0 0初条件下的阶跃响应为：初条件下的阶跃响应为：试求试求：（：（1 1）系统的传递函数；系统的传递函数；（2 2）系统的增益；系统的增益；（3 3）系统的特征根及相应的模态；系统的特征根及相应的模态；（4 4）画出对应的零极点图；画出对应的零极点图；（5 5）求系统的单位脉冲响应；求系统的单位脉冲响应；（6 6）求系统微分方程；求系统微分方程；（7 7）当当 c(0)=-1,c c(0)=-1,c(0)=0;r(t)=1(t)(0)=0;r(t)=1(t)时，求系统的响应。时，求系统的响应。解解.（1 1）2 传递函数第48页，本讲稿共96页(2)(4)如图所示(3)(5)2 传递函数第49页，本讲稿共96页(6)2 传递函数第50页，本讲稿共96页（7）2 传递函数第51页，本讲稿共96页其中初条件引起的自由响应部分 2 传递函数第52页，本讲稿共96页n 2.1 2.1 建立动态微分方程的一般方法建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化非线性系统微分方程模型的线性化 n2.3 2.3 传递函数传递函数n2.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图n2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数n2.6 2.6 信号流图信号流图第2章 自动控制系统数学模型 第53页，本讲稿共96页1 1 结构图的概念和组成结构图的概念和组成1)概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。2)组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。2.4 系统动态结构图第54页，本讲稿共96页 (2)比较点：综合点，相加点 加号常省略 负号必须标出 (3)引出点：一条传递线上的信号处处相等，引出点的信号与原信号相等。G(s)X(s)Y(s)2.4 系统动态结构图第55页，本讲稿共96页 2 2 结构图的绘制结构图的绘制 例：绘制双T网络的结构图2.4 系统动态结构图第56页，本讲稿共96页画图时G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组2.4 系统动态结构图第57页，本讲稿共96页将上页方程改写如下相乘的形式：2.4 系统动态结构图第58页，本讲稿共96页绘图绘图：ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。2.4 系统动态结构图第59页，本讲稿共96页 若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)从右到左列方程：2.4 系统动态结构图第60页，本讲稿共96页 这个结构与前一个不一样，所以选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。绘图 2.4 系统动态结构图第61页，本讲稿共96页3 3 结构图的等效变换结构图的等效变换（1 1）串联）串联G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)2.4 系统动态结构图第62页，本讲稿共96页 (2)(2)并联并联G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)2.4 系统动态结构图第63页，本讲稿共96页(3)(3)反馈反馈这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负，可能是正，我们用消去中间法来证明。消去中间法来证明。G(s)H(s)E(s)R(s)2.4 系统动态结构图第64页，本讲稿共96页 以后我们均采用(s)表示闭环传递函数，负反馈时，(s)的分母为1回路传递函数，分子是前向通路传递函数。正反馈时，(s)的分母为1回路传递函数，分子为前向通路传递函数。单位负反馈时2.4 系统动态结构图第65页，本讲稿共96页4 4 结构图等效变换方法结构图等效变换方法1)三种典型结构可直接用公式2)相邻综合点可互换位置3)相邻引出点可互换位置注意注意:1)不是典型结构不可直接用公式2)引出点综合点相邻，不可互换位置2.4 系统动态结构图第66页，本讲稿共96页引出点移动引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H12.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第67页，本讲稿共96页G2H1G1G3综合点移动综合点移动向同类移动向同类移动G1G2G3H1G12.4 2.4 系统动态结构图系统动态结构图第68页，本讲稿共96页G1G4H3G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1第69页，本讲稿共96页 n 2.1 建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 n 2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数n 2.6 信号流图第2章 自动控制系统数学模型第70页，本讲稿共96页2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数1 系统的开环传递函数 2 闭环系统的传递函数3 闭环系统的偏差传递函数 第71页，本讲稿共96页 1 系统的开环传递函数 控制系统的典型结构:前向通道传递函数 、与反馈通道传递函数 的乘积称为系统的开环传递函数开环传递函数，相当于 第72页，本讲稿共96页 2 闭环系统的传递函数 1)1)给定输入作用下的闭环传递函数给定输入作用下的闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出系统输出 对输入对输入 的闭环传递函数的闭环传递函数为 易知 第73页，本讲稿共96页 2 闭环系统的传递函数 2)2)扰动输入作用下扰动输入作用下的闭环传递函数的闭环传递函数 令 ,系统结构图等效为 系统输出系统输出 对对扰动作用扰动作用 的闭环传递函数的闭环传递函数为 系统在扰动作用下的输出为 第74页，本讲稿共96页 2 闭环系统的传递函数 3)3)给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在多个输入作用下，其总输出等于各种输入单独作用所引起的输出分量的代数和，系统的总输出为第75页，本讲稿共96页 3 闭环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数 偏差偏差是指给定输入信号 与主反馈信号 之间的差值，用 表示，即 其拉氏变换为 研究各种输入作用下所引起的偏差变化规律时，常用偏差传递函数来表示。第76页，本讲稿共96页 3 闭环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数 1)1)给定输入作用下的偏差传递函数给定输入作用下的偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对给定作用下的闭环传递函数，简称闭环系统的偏差传递函数，用 表示，由得 第77页，本讲稿共96页 3 闭环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数 2)2)扰动输入作用下的偏差传递函数扰动输入作用下的偏差传递函数 令 ，此时 与 之比称为偏差对扰动作用下的闭环传递函数，简称扰动偏差传递函数，用 表示，由有 第78页，本讲稿共96页 3 闭环系统的偏差传递函数闭环系统的偏差传递函数 3)3)给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差 根据线性系统的叠加原理，可求出系统在给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差为 不难发现，闭环传递函数都具有相同的分母，即这正是闭环控制系统的本质特征。通常把这个分母多项式称为闭环系统的特征多项式闭环系统的特征多项式，而将称为闭环系统的特征方程。闭环特征方程的根称为闭环系统的特征根或闭环系统的极点。第79页，本讲稿共96页 n 2.1 建立动态微分方程的一般方法 n 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 n 2.3 传递函数n 2.4 系统动态结构图n 2.5 自动控制系统的传递函数n 2.6 2.6 信号流图信号流图第2章 自动控制系统数学模型第80页，本讲稿共96页 2.6 信号流图1 1 术语介绍术语介绍 1)节点 结构图中所有的引出点，比较点称节点。2)前向通路 从输入到输出，并与任何一个节点相交不多于一次的通路，叫前向通路，前向通路中各传递函数的乘积，叫前向通路增益。3)回路 起点和终点在同一节点，且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路，回路中所有传递函数的乘积叫回路增益。第81页，本讲稿共96页4)不接触回路 相互间没有公共节点的回路称为不接触回路。2 2 梅逊公式梅逊公式 任一结构图中，某个输入对某个输出的传递函数为 2.6 信号流图第82页，本讲稿共96页式中：n 为前向通路的条数 Pk为第k条前向通路增益 为系统特征式=1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+k为第k条前向通路特征式的余子式，即将第k条前向通路去掉，对余下的图再算一次。2.6 信号流图第83页，本讲稿共96页梅逊公式梅逊公式 例例R-CR-CR(s)C(s)L1=G1 H1L2=G3 H3L3=G1G2G3H3H1L4=G4G3L5=G1G2G3L1L2=(G1H1)(G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G31=1 G4(s)H1(s)H3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G3(s)P2=G4G32=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?第84页，本讲稿共96页例 2.1 求C(s)/R(s)2.6 信号流图第85页，本讲稿共96页例 2.2 求传递函数 C(s)/R(s)控制系统结构图 2.6 信号流图第86页，本讲稿共96页例 2.2 求C(s)/R(s)2.6 信号流图第87页，本讲稿共96页例 2.3 求C(s)/R(s)2.6 信号流图第88页，本讲稿共96页例例 2.4 2.4 求传递函数求传递函数 C(s)/R(s)C(s)/R(s)控制系统结构图 2.6 信号流图第89页，本讲稿共96页例例 4 4 求求C(s)/R(s)C(s)/R(s)2.6 信号流图第90页，本讲稿共96页 2.6 信号流图第91页，本讲稿共96页例 2.5 求传递函数 C(s)/R(s)2.6 信号流图第92页，本讲稿共96页例 5 求C(s)/R(s)2.6 信号流图第93页，本讲稿共96页例2.6 求 C(s)/R(s),C(s)/N(s)2.6 信号流图第94页，本讲稿共96页 2.6 信号流图第95页，本讲稿共96页 The End第96页，本讲稿共96页