第五章傅立叶变换优秀PPT.ppt
第五章傅立叶变换第一页，本课件共有68页什么是图象变换什么是图象变换将图象看成是线性叠加系统将图象看成是线性叠加系统图象在空域上相关性很强图象在空域上相关性很强图象变换是将图象从空域变换到其它域图象变换是将图象从空域变换到其它域如频域的数学变换如频域的数学变换常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换、离散换、沃尔什变换、离散K-L变换、小波变变换、小波变换等换等第二页，本课件共有68页连续函数集合的正交性连续函数集合的正交性正交函数集合正交函数集合当当C=1时，时，称集合为归一化正交函数集合称集合为归一化正交函数集合 第三页，本课件共有68页正交函数集合的完备性正交函数集合的完备性若若f(x)是定义在是定义在t0和和t0+T区间的实值信号区间的实值信号，平方可积。可以表示为：平方可积。可以表示为：对任意小的对任意小的0，存在充分大的，存在充分大的N，其中其中，则称函数则称函数U集合是完备的。集合是完备的。第四页，本课件共有68页离散情况离散情况n个正交向量个正交向量当当C=1时，时，称归一化正交称归一化正交 第五页，本课件共有68页满足：满足：第六页，本课件共有68页一维正交变换一维正交变换对于一向量对于一向量f，用上述正交矩阵进行，用上述正交矩阵进行运算：运算：g=Af若要恢复若要恢复f，则，则以上过程称为以上过程称为正交变换正交变换。第七页，本课件共有68页酉变换酉变换若若A为复数矩阵，正交的条件为：为复数矩阵，正交的条件为：其中其中A*为为A的复数共轭矩阵，满足这个的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为条件的矩阵为酉矩阵酉矩阵。对于任意向量。对于任意向量f的运算称为的运算称为酉变换酉变换：第八页，本课件共有68页酉变换、正交变换与信号分析酉变换、正交变换与信号分析正交变换是酉变换的特例正交变换是酉变换的特例它们都可以用于信号分析它们都可以用于信号分析用于信号分析的基函数集合和正交矩阵用于信号分析的基函数集合和正交矩阵都应满足正交性和完备性都应满足正交性和完备性第九页，本课件共有68页二维酉变换二维酉变换 NN二维函数可以类似于一维用正交序列展开和恢复二维函数可以类似于一维用正交序列展开和恢复正变换核正变换核反变换核反变换核第十页，本课件共有68页变换核的可分离性变换核的可分离性其中其中au(x),u=0,1,N-1,bv(y),v=0,1,N-1为为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：A=a(u,x)，B=b(v,y)通常选择通常选择A=B。第十一页，本课件共有68页二维酉变换二维酉变换A=B时，二维酉变换正变换表示为时，二维酉变换正变换表示为用矩阵表示：用矩阵表示：F=AfAT类似的，对于类似的，对于MN的二维函数的二维函数f(x,y)第十二页，本课件共有68页基图象基图象反变换反变换看成是基图象看成是基图象F(u,v)权因子权因子图象图象f(x,y)可以用可以用N2个基图象的加权和来表示个基图象的加权和来表示第十三页，本课件共有68页酉变换的性质酉变换的性质1.酉矩阵是正交阵酉矩阵是正交阵2.AA*T=A*TA=INN3.2.A为酉阵，则为酉阵，则A-1和和AT都是酉阵都是酉阵4.3.酉变换是能量保持的变换酉变换是能量保持的变换5.对于一维酉变换对于一维酉变换F=Af,有有|F|=|f|6.二维情况下，则有：二维情况下，则有：第十四页，本课件共有68页酉变换的性质酉变换的性质(2)设设f(x,y)的均值和协方差为的均值和协方差为f和和f4.均值和方差均值和方差则则F(u,v)的均值为：的均值为：则则F(u,v)的协方差为：的协方差为：第十五页，本课件共有68页酉变换的性质酉变换的性质(3)5.其他性质：其他性质：(1)A为酉阵，则其行列式值为酉阵，则其行列式值|A|=1(2)若若a为向量，则作酉变换后向量模为向量，则作酉变换后向量模保持不变：保持不变：b=Aa，则，则|b|=|a|。第十六页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.1.1 一维傅立叶变换一维傅立叶变换1.一维连续函数的傅立叶变换（一维连续函数的傅立叶变换（FT）定义：若函数定义：若函数f（x）满足条件：）满足条件：1）具有有限个间断点；）具有有限个间断点；2）具有有限个极值点；）具有有限个极值点；3）绝对可积，）绝对可积，则把变换称为：则把变换称为：傅立叶正变换：傅立叶正变换：傅立叶反变换：傅立叶反变换：傅立叶变换对：傅立叶变换对：F（u）f（x）第十七页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 2.一维离散傅立叶变换（一维离散傅立叶变换（DFT）傅立叶正变换：傅立叶正变换：傅立叶反变换：傅立叶反变换：运算量为运算量为N*N次复数相乘和次复数相乘和N*(N-1)次复数相加次复数相加第十八页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 2.一维离散傅立叶变换（一维离散傅立叶变换（DFT）实序列的实序列的FT：第十九页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 目的:（1）用矩阵乘法的程序进行FT；（2）理论推导用。一维一维DFT的矩阵表示的矩阵表示根据定义:令:则:展开:第二十页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 一维一维DFT的矩阵表示的矩阵表示当当N=4时：时：第二十一页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 一维一维DFT的矩阵表示的矩阵表示例：例：第二十二页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 系数 和 具有 周期 性和对称性 傅立叶系数的性质：傅立叶系数的性质：第二十三页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 时间抽取基时间抽取基2 FFT算法算法 要求N为2的幂，即 ，M为正整数将输入时间序列按奇、偶抽取两个N/2点的FT3.快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（FFT）第二十四页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 时间抽取基时间抽取基2 FFT算法算法对于uN/2-1的点，有以下规则给出：N=84点DFT4点DFT第二十五页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 时间抽取基时间抽取基2 FFT算法算法蝶形运算蝶形运算(u=0,1,N/2-1)第二十六页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 时间抽取基时间抽取基2 FFT算法算法用两个2点DFT代替4点DFT：第二十七页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 时间抽取基时间抽取基2 FFT算法算法2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT输入倒序排列第二十八页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 时间抽取基时间抽取基2 FFT算法算法输入倒序排列第二十九页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 标号二进制表示按位倒序的二进制表示倒序后标号0123456700000101001110010111011100010001011000110101111104261537时间抽取基时间抽取基2 FFT算法算法第三十页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 4.如何提高如何提高FFT的速度？的速度？（1）减少乘法次数；（2）基4、基8算法；（3）实数FFT；（4）硬件实现（DSP芯片，FFT集成块）第三十一页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.FFT举例举例w2w1w3-1-1-1-1F（u）-1-1-1-1w2w2-1-1-1-11001-1001111-1-1-1202000001001f（x）其中：第三十二页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.FFT举例举例21+j01-j000010101000-101111-11-1-j-1 j第三十三页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.FFT举例举例F（u）=2，0，幅度谱：幅度谱图：0121234567uF（u）第三十四页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.1.2 二维傅立叶变换二维傅立叶变换1.二维连续函数傅立叶变换（二维连续函数傅立叶变换（2D FT）定义定义:若若f(x,y)是连续图象函数是连续图象函数正变换正变换:反变换反变换:变换对变换对:第三十五页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 2.幅度谱、相位谱、能量谱幅度谱、相位谱、能量谱一般一般F(u,v)是复函数是复函数,即即:幅度谱幅度谱:相位谱相位谱:能量谱能量谱:第三十六页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 二维连续傅立叶变换举例：二维连续傅立叶变换举例：函数 f(x，y)=A,0,其他 求F(u,v)。f(x,y)xy0XYAXY(0,0)图象屏幕显示第三十七页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 ；代入函数；分离变量；查积分表；欧拉公式第三十八页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 幅度谱：u=0，v方向v=0，u方向谱图（截面图）第三十九页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 幅度谱：幅度谱的屏幕显示：u=0，v方向第四十页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.1.2 二维傅立叶变换二维傅立叶变换2.二维离散傅立叶变换（二维离散傅立叶变换（2D DFT）定义定义:若若f(x,y)是离散图象函数是离散图象函数正变换正变换:反变换反变换:第四十一页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 二维离散傅立叶变换的矩阵表示二维离散傅立叶变换的矩阵表示令:正变换:反变换:(忽略1/N)第四十二页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 根据可分离性：令:忽略1/N第四十三页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 FT：IFT：（忽略1/N）第四十四页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.1.3 二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质1.可分离性可分离性正变换第四十五页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 同样，反变换也具有可分离性同样，反变换也具有可分离性第四十六页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维DFT转化成一维转化成一维DFT计算。计算。即，先在即，先在x（或（或y）方向进行一维）方向进行一维DFT，再在，再在y（或（或x）方向进行一维）方向进行一维DFT：第一步：第二步：第四十七页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 二维离散傅立叶变换过程图示：二维离散傅立叶变换过程图示：第一步：第二步：f（x，y）=F（u，y）=先在先在x方向逐行进行一维方向逐行进行一维FT先在先在y方向逐列进行一维方向逐列进行一维FT1/NF（u，v）=第四十八页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 二维离散傅立叶变换举例二维离散傅立叶变换举例例例1：x方向FFT11001111201-j1+j21-j01+j-1-1-1-1w1y方向FFT1/4第四十九页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 二维离散傅立叶变换举例二维离散傅立叶变换举例1111220040004000-1-1-1-1w1第五十页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 二维离散傅立叶变换举例二维离散傅立叶变换举例例例2：二维傅立叶反变换：二维傅立叶反变换用下式求反变换，与正变换使用同一流程：第五十一页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 二维离散傅立叶变换举例二维离散傅立叶变换举例例例2：二维傅立叶反变换：二维傅立叶反变换第五十二页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 二维离散傅立叶变换举例二维离散傅立叶变换举例例例2：二维傅立叶反变换：二维傅立叶反变换逐列FFT逐行FFT1/4逐像素求共轭第五十三页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.1.3 二维傅立叶变换的性质二维傅立叶变换的性质2.平移性平移性FT则：相当于F（u，v）的坐标原点移到（u0，v0）点第五十四页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 即：移中性移中性同理：第五十五页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 移中性移中性移中性的用途：移中性的用途：图象作傅立叶变换时，若采用以下公式变换，则变换后主要能图象作傅立叶变换时，若采用以下公式变换，则变换后主要能量（低频分量）集中在频率平面的中心。量（低频分量）集中在频率平面的中心。第五十六页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 移中性移中性先以一维为例：f（x）=1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0，N=16。求 F（u）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16N/2直流分量高频分量低频分量周期性重复周期性重复第五十七页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 f（x）=1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0，N=16。求 F（u）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16N/2直流分量高频分量低频分量0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16N/2直流分量高频分量低频分量高频分量低频分量f(x)=f(x)(-1)x=1-1 1-1 1-1 1-1 0 0 0 0 0 0 0 0，求求 F(u)第五十八页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 移中性移中性未移中的变换：移中的变换：能量集中于中心（示意图）移中FT原图象f（x，y）FT能量分布于四角（示意图）第五十九页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 移中移中FT移中移中FT第六十页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 移中性计算举例移中性计算举例FT1/4 FT1/4 第六十一页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 3.周期性非周期性离散函数的FT是离散的周期性函数第六十二页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 4.旋转性当变量x，y，u，v都用极坐标表示时，即：则：若：此式含义是：当原图象旋转某一角度时，FT后的图象也旋转同一角度。第六十三页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 旋转性举例：原图象及其傅立叶幅度谱图象原图象旋转45，其幅度谱图象也旋转45 第六十四页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.二维函数的卷积定理若：*卷积 乘积 则：空域空域频域频域第六十五页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 6.二维函数的相关定理若：则：空域空域频域频域*共轭 乘积 相关 第六十六页，本课件共有68页5.1 傅立叶变换傅立叶变换 5.1.4 二维傅立叶幅度谱的显示二维傅立叶幅度谱的显示1.求移中的傅立叶变换：2.求幅度谱：3.求幅度谱的对数函数：步骤:4.显示D(u,v)若D(u,v)很小或很大，则将其线性扩展或压缩到0-255第六十七页，本课件共有68页作业作业编写FFT和IFFT程序,对一幅二维数字图象进行移中和非移中变换，并还原图象。第六十八页，本课件共有68页
