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工程随机数学你现在浏览的是第一页，共108页课程内容课程内容一、概率论一、概率论 Ch 1 Ch 5二、数理统计二、数理统计 Ch 6 Ch 9三、随机过程三、随机过程 Ch 10 Ch 14你现在浏览的是第二页，共108页课程内容介绍课程内容介绍概率论 是整个随机理论的基础，首先研究随机现象最基本的规是整个随机理论的基础，首先研究随机现象最基本的规律性，其次给出刻画随机变量的方法，进而研究随机变量的律性，其次给出刻画随机变量的方法，进而研究随机变量的取值规律性，包括在某些假设下进一步研究随机变量的各种取值规律性，包括在某些假设下进一步研究随机变量的各种规律性。对于多个或有限个随机变量，还要研究变量之间在规律性。对于多个或有限个随机变量，还要研究变量之间在随机取值规律性的依赖关系。随机取值规律性的依赖关系。你现在浏览的是第三页，共108页数理统计 以概率论为基础，通过观测试验数据，根据建筑在概率以概率论为基础，通过观测试验数据，根据建筑在概率论基础上原理对随机数据进行推断或预测，包括如何有效地论基础上原理对随机数据进行推断或预测，包括如何有效地收集、整理和分析数据，如何应用这些数据进行统计推断和收集、整理和分析数据，如何应用这些数据进行统计推断和预测估计。预测估计。概率论是数理统计学基础，数理统计学是概率论的应用概率论是数理统计学基础，数理统计学是概率论的应用课程内容介绍课程内容介绍你现在浏览的是第四页，共108页课程内容介绍随机过程 可称为概率论的动力学部分，它把有限或无限多个随机可称为概率论的动力学部分，它把有限或无限多个随机变量与参数变量与参数T T联系在一起，突出了随机性和过程性。联系在一起，突出了随机性和过程性。作为随时间变化的随机变量，随机过程广泛存在于社会作为随时间变化的随机变量，随机过程广泛存在于社会科学、自然科学、管理科学的各个领域中，有着重要的应用科学、自然科学、管理科学的各个领域中，有着重要的应用前景。前景。你现在浏览的是第五页，共108页本课程与后续课程的关系现代数字信号处理现代数字信号处理随机信号分析随机信号分析信息论信息论误差分析方法误差分析方法 通信原理通信原理无线电波传播无线电波传播 。你现在浏览的是第六页，共108页应用信号谱估计、高阶矩谱分析、双谱分析等信号谱估计、高阶矩谱分析、双谱分析等无线电波在随机介质中的传播无线电波在随机介质中的传播日地空间物理日地空间物理雷达信号处理雷达信号处理无线通信理论无线通信理论随机信号处理随机信号处理信号与信息的统计建模信号与信息的统计建模误差分析、可靠性估计误差分析、可靠性估计时间序列分析时间序列分析 。你现在浏览的是第七页，共108页本门课程本门课程ABCABC起源于赌博起源于赌博博弈博弈1616世纪意大利学者卡丹诺开始研究掷骰子等赌博问题世纪意大利学者卡丹诺开始研究掷骰子等赌博问题1717世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B.B.帕斯卡、荷兰数学家帕斯卡、荷兰数学家C.C.惠更斯基惠更斯基于排列组合方法，研究了较复杂的赌博问题于排列组合方法，研究了较复杂的赌博问题合理分配赌金合理分配赌金问题问题论赌博中的数学论赌博中的数学（16571657）、概率论的分析理论概率论的分析理论（18121812）、统计学数学方法统计学数学方法（19461946）奠基人：瑞士数学家奠基人：瑞士数学家J.J.伯努利伯努利、拉普拉斯、泊松、高斯等、拉普拉斯、泊松、高斯等2020世纪世纪3030年代，苏联人科尔莫格洛夫创建概率的公理化体年代，苏联人科尔莫格洛夫创建概率的公理化体系，正式作为一个数学分支系，正式作为一个数学分支你现在浏览的是第八页，共108页名人名言法国数学家法国数学家LaplaceLaplace：“生活中最重要的问题生活中最重要的问题 ,其中绝大多数在实质上其中绝大多数在实质上只是概率的问题只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯：英国的逻辑学家和经济学家杰文斯：“概率论是生活真正的领路人概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种如果没有对概率的某种估计估计,那么我们就寸步难行那么我们就寸步难行,无所作为无所作为.”你现在浏览的是第九页，共108页Ch1、随机事件与概率、随机事件与概率1 1 随机事件及其运算随机事件及其运算内容：内容：引入概率论的基本概念：引入概率论的基本概念：随机现象、随机试验、随机事件、样本空间、随机现象、随机试验、随机事件、样本空间、事件的关系及运算事件的关系及运算你现在浏览的是第十页，共108页一、随机现象一、随机现象1 1确定性现象：确定性现象：事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，并且在一定事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，并且在一定条件下，它必然发生或不发生，遵从严格的因果关系。条件下，它必然发生或不发生，遵从严格的因果关系。2 2不确定性现象不确定性现象：包括：随机现象、模糊数学、浑沌数学包括：随机现象、模糊数学、浑沌数学你现在浏览的是第十一页，共108页一、随机现象一、随机现象（1 1）随机现象：）随机现象：随机性：事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，但条件事物概念本身有明确定义，不是模糊不清的，但条件与事件的发生之间没有决定性的因果关系；与事件的发生之间没有决定性的因果关系；统计规律性：指在大量同类随机现象中所呈现的一种具有指在大量同类随机现象中所呈现的一种具有集体性质的必然规律集体性质的必然规律统计规律；统计规律；客观性：其发生的可能性大小却是可以用数量关系精确地其发生的可能性大小却是可以用数量关系精确地描述，是客观存在的。描述，是客观存在的。你现在浏览的是第十二页，共108页一、随机现象一、随机现象基本定义：基本定义：在个别实验中呈现出不确定性，但在大量重复试在个别实验中呈现出不确定性，但在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象就成为随机现象。验中其结果具有统计规律性的现象就成为随机现象。你现在浏览的是第十三页，共108页一、随机现象一、随机现象（2 2）模糊现象：）模糊现象：事物概念没有明确的外延、模糊不清，从而造成事事物概念没有明确的外延、模糊不清，从而造成事物分类归属上的不确定性物分类归属上的不确定性模糊性。模糊性。你现在浏览的是第十四页，共108页二、随机试验二、随机试验 对某事物特征进行观察对某事物特征进行观察,统称统称试验试验 ：可重复性试验在相同条件下可重复进行，它是随机现象具有统计规律性的客观依据。试验在相同条件下可重复进行，它是随机现象具有统计规律性的客观依据。随机性进行一次试验前不可能事先确定哪个结果会发生，否则就无意义了。进行一次试验前不可能事先确定哪个结果会发生，否则就无意义了。完备性 尽管事先不能明确试验结果（或各次试验的结果不尽相同），但能事先尽管事先不能明确试验结果（或各次试验的结果不尽相同），但能事先明确试验的所有可能结果。明确试验的所有可能结果。具有上述三个特征的试验称为随机试验，记为具有上述三个特征的试验称为随机试验，记为E E。你现在浏览的是第十五页，共108页二、随机试验二、随机试验注意：注意：随机试验是相对于确定性试验而言，指一个试验可以在相同条随机试验是相对于确定性试验而言，指一个试验可以在相同条件下重复进行，且每次试验结果不能事先确定；件下重复进行，且每次试验结果不能事先确定；并非指并非指“试验的结果都具有同等发生的可能性试验的结果都具有同等发生的可能性”，仅指都有可，仅指都有可能发生，但有的发生的机率大，有的小，这个几率就是概率；能发生，但有的发生的机率大，有的小，这个几率就是概率；有的具有等可能性，如掷硬币，有的不具有，如射击中靶的环有的具有等可能性，如掷硬币，有的不具有，如射击中靶的环数；数；若若E E是由一系列试验依次各做一次所组成，则称为复合试验。是由一系列试验依次各做一次所组成，则称为复合试验。你现在浏览的是第十六页，共108页三、随机事件三、随机事件随机事件表示：随机事件表示：在随机试验中，对一次试验可能发生或不发生、但在大在随机试验中，对一次试验可能发生或不发生、但在大量重复试验中具有某种规律性的事情量重复试验中具有某种规律性的事情 随机事件。随机事件常用随机事件常用A A、B B、c c等表示等表示 随机事件又可分为：随机事件又可分为：基本事件、复合事件、绝对型事件。你现在浏览的是第十七页，共108页三、随机事件三、随机事件基本事件：基本事件：不能再分或不必再分的随机事件。不能再分或不必再分的随机事件。复合事件：复合事件：由多个基本事件组成的事件。由多个基本事件组成的事件。绝对型事件：绝对型事件：为了描述绝对型现象（确定性现象）而引入：为了描述绝对型现象（确定性现象）而引入：必然事件（必然事件（S）、不可能事件（、不可能事件（）你现在浏览的是第十八页，共108页三、随机事件三、随机事件基本事件的三个重要特征：基本事件的三个重要特征：（1 1）等可能性：在每次试验中，每个基本事件发生的可能性相等；在每次试验中，每个基本事件发生的可能性相等；（2 2）互不相容性：在一次试验中，只可能发生基本事件中的一个，即任意在一次试验中，只可能发生基本事件中的一个，即任意2 2个基本事件不会同时在在一次试验中发生；个基本事件不会同时在在一次试验中发生；（3 3）完备性：在一次试验中，所有基本事件中必有一个会发生。在一次试验中，所有基本事件中必有一个会发生。你现在浏览的是第十九页，共108页四、样本空间四、样本空间 在一次试验中所有基本事件的集合称为该随机试在一次试验中所有基本事件的集合称为该随机试验的样本空间，记为验的样本空间，记为。故基本事件又称为样本。故基本事件又称为样本点，记为点，记为，即，即 是全体样本点的集合，也即是是全体样本点的集合，也即是随机试验所有可能结果的集合。随机试验所有可能结果的集合。你现在浏览的是第二十页，共108页四、样本空间四、样本空间袋中摸球：袋中摸球：E E为判断颜色为判断颜色 1 1=黑，黑，2 2=白，则白，则 1 1=1 1，2 2 可列、可数、有限样本空间可列、可数、有限样本空间打靶：打靶：E E为判断中靶否为判断中靶否 击中击中=“+”，脱靶，脱靶=“”则则 2 2=+，-+-+，-+-+，-+-+不可列、无限不可列、无限交换台在交换台在1010分钟内收到的呼唤次数：分钟内收到的呼唤次数：E E为判断次数，为判断次数，3 3=0 0，1 1，2 2，3 3，可列、离散可列、离散你现在浏览的是第二十一页，共108页四、样本空间四、样本空间注意：注意：（1 1）由由E E决定，不同的决定，不同的E E有不同的有不同的。关键在于基本事件的选择关键在于基本事件的选择（2 2）可以概括各种实际内容大不相同的问题，可以概括各种实际内容大不相同的问题，如如 1 1=1 1，2 2胜负、正反等胜负、正反等（3 3）可以是可数集，亦可谓不可数集可以是可数集，亦可谓不可数集 这对随机过程、极限定理等问题的讨论很重要！这对随机过程、极限定理等问题的讨论很重要！你现在浏览的是第二十二页，共108页归纳 随机现象随机现象 随机试验随机试验 包含许多可能包含许多可能结果（随机事件）结果（随机事件）基本事件的集合（样基本事件的集合（样本空间）本空间）你现在浏览的是第二十三页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算目的：目的：通过研究事件之间的关系与运算，把某些复杂事件表示通过研究事件之间的关系与运算，把某些复杂事件表示为若干简单事件的积、差、和，达到化繁为简，从而可利用为若干简单事件的积、差、和，达到化繁为简，从而可利用简单事件的概率求解复杂事件的概率。简单事件的概率求解复杂事件的概率。（一）事件之间的关系（一）事件之间的关系（二）事件的运算（二）事件的运算 设：设：E E随机试验，随机试验，样本空间，样本空间，A A，B B，A Ak k随机事件随机事件（k=1k=1，2 2，3 3）你现在浏览的是第二十四页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算（一）事件之间的关系（一）事件之间的关系基本关系基本关系 ：等价、包含、互斥、互逆：等价、包含、互斥、互逆 （1 1）包含）包含 若若A A的发生必然导致的发生必然导致B B发生，即发生，即A A是是B B的子集，或的子集，或A A包含于包含于B B中。对任意事件有：中。对任意事件有：（2 2）等价）等价 若若A A发生发生B B必然发生，反之，若必然发生，反之，若B B发生发生A A必然发生，必然发生，A=BA=BSAB你现在浏览的是第二十五页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算（3 3）和（并）和（并）A A与与B B中至少有一个发生，记：中至少有一个发生，记：三种情况：三种情况：或或A A发生；发生；或或B B发生；发生；或或A A，B B都发生。都发生。即即C C包含了属于包含了属于A A和和B B的全体样本点。的全体样本点。当当B AB A时，时，AB=BAB=B，由此类推：，由此类推：SAB你现在浏览的是第二十六页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算和事件可推广和事件可推广N N个事件的和事件，个事件的和事件，N N可有限或可列无穷多个可有限或可列无穷多个 有限可加性有限可加性可列可加性可列可加性如：“故障不超过十次”（B）=“0次”（A1）“1次”（A2）“10次”（A11）这11个事件之和。你现在浏览的是第二十七页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算（4 4）积（交）积（交）A A与与B B同时发生记为：同时发生记为：C=ABC=AB，或，或 C=ABC=ABC只包含了既属于只包含了既属于A A，又属于，又属于B B的那些样本点。的那些样本点。有限可积性有限可积性 可列可积性可列可积性 SAB显然，当BA时，AB=A，由此类推：对对任意事件任意事件总总有：有：你现在浏览的是第二十八页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算（5）互斥（互不相容）互斥（互不相容）若若A A与与B B不可能同时发生，则称不可能同时发生，则称A A，B B互斥（互不相容）互斥（互不相容）记为：记为：AB=AB=（积事件）（积事件）三种情况：三种情况：A A发生但发生但B B不发生；不发生；B B发生但发生但A A不发生；不发生；A A，B B都不发生。都不发生。ABS你现在浏览的是第二十九页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算 注意：注意：“等价等价”同发或同不发；同发或同不发；“积积”同发，同发，“互斥互斥”不同发不同发 基本事件一定互斥，任一事件（包括必然事件）与不可能事件互斥基本事件一定互斥，任一事件（包括必然事件）与不可能事件互斥 两事件互斥时，两事件互斥时，ABAB可写为可写为A+BA+B 互斥并不意味着互斥并不意味着A A，B B互不相干，实际上是有关的。即相互不相干，实际上是有关的。即相 互独立互独立互斥。互斥。AB=AB=，指其中一个发，另一个必不发；，指其中一个发，另一个必不发；若一组事件中，若一组事件中，A A1 1，A A2 2，A A3 3A Ak k中任意两个互斥，则称这组事中任意两个互斥，则称这组事件两两互斥件两两互斥你现在浏览的是第三十页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算（6）互逆（对立）互逆（对立）若，若，S=ABS=AB，且，且AB=AB=，则，则A A，B B对立（互逆），并称对立（互逆），并称 A A 是是B B的逆事件，记的逆事件，记 ，反之亦然。，反之亦然。条件条件1 1：A A，B B构成一个完备事件组构成一个完备事件组条件条件2 2：A A，B B互斥互斥 对立只适于描述两个事件之间的关系，互斥只是对立的必对立只适于描述两个事件之间的关系，互斥只是对立的必要条件，而非充分条件要条件，而非充分条件 AS你现在浏览的是第三十一页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算互斥与对立的区别互斥与对立的区别 1 1）两事件对立必互斥，但互斥不一定对立）两事件对立必互斥，但互斥不一定对立2 2）相互独立）相互独立互逆互逆3 3）互逆只适于两个事件，互斥则可多个事件）互逆只适于两个事件，互斥则可多个事件4 4）“A BA B都发生都发生”与与 “A A，B B都不发生都不发生”并非对立事件，相反，并非对立事件，相反，“A BA B都发生都发生”与与“A A，B B不都发生不都发生”是对立事件。是对立事件。5 5）对任意事件，有）对任意事件，有你现在浏览的是第三十二页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算（7）差）差若若A A发生但发生但B B不发生，记为不发生，记为C=A-BC=A-B由于由于B B不发生，其对立事件一定发生，所以：不发生，其对立事件一定发生，所以：A-B=A-B=ABSAB如A=直径合格，B=长度合格，则 C=直径合格，但长度不合格=A-B你现在浏览的是第三十三页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算若若 A1、A2，.An 两两互斥，且两两互斥，且则称，则称，A1、A2，.An 为为 的一个划分的一个划分（8 8）完备事件组完备事件组你现在浏览的是第三十四页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算（二）事件的运算（二）事件的运算1交换律：交换律：2结合律：结合律：3分配律：分配律：4重迭律：重迭律：5互逆律：互逆律：你现在浏览的是第三十五页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算6 6吸收律：吸收律：A A=，A A=A=A；A A=A=A，A A=7 7差化积：差化积：8 8吸收律：吸收律：和之逆和之逆=逆之积逆之积 至少发生一个的对立事件为都不发生至少发生一个的对立事件为都不发生 ：积之逆积之逆=逆之和逆之和 都发生的对立事件为不都发生都发生的对立事件为不都发生你现在浏览的是第三十六页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算例例1 1：计算：计算：（A-AB）+B=？：AAB=AB，（，（AB）+B=A+B和（差）的运算时不能通过去括号、移项来处理的。和（差）的运算时不能通过去括号、移项来处理的。你现在浏览的是第三十七页，共108页五、事件之间的关系与运算五、事件之间的关系与运算例例2 2：证明：证明：解：解：A+BA+B包括：包括：A A发发B B不发，不发，B B发发A A不发，不发，A A，B B都发都发由分配律：由分配律：但不能由此得出：但不能由此得出：因为和（差）不能去括号处理因为和（差）不能去括号处理你现在浏览的是第三十八页，共108页2 2 随机事件的概率及其运算随机事件的概率及其运算简单定义：简单定义：刻画事件发生可能性大小的数量指标，称作为随机事件的刻画事件发生可能性大小的数量指标，称作为随机事件的概率概率 P P。P P 应具有客观性、可度量性应具有客观性、可度量性一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）二、几何概型二、几何概型三、概率的统计定义三、概率的统计定义你现在浏览的是第三十九页，共108页2 2 随机事件的概率及其运算随机事件的概率及其运算一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）（一）模型与计算公式（一）模型与计算公式（一）模型与计算公式（一）模型与计算公式 试验的可能结果有限，即样本空间所含样本点（基本事件）试验的可能结果有限，即样本空间所含样本点（基本事件）有限，且这有限个事件两两互不相容有限，且这有限个事件两两互不相容有限性有限性各基本事件发生的可能性相同，即机会均等各基本事件发生的可能性相同，即机会均等等可能性等可能性你现在浏览的是第四十页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）设有一随机试验设有一随机试验E E发生，其基本事件总数有限，记为发生，其基本事件总数有限，记为n n，且，且等可能性发生。设事件等可能性发生。设事件A A包含了包含了k k个基本事件（个基本事件（k k n n），），则定义事件则定义事件A A发生的概率为发生的概率为 你现在浏览的是第四十一页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）用古典概型计算概率要注意：用古典概型计算概率要注意：弄清弄清E E（判断有限性和等可能性）（判断有限性和等可能性）根据试验目的，构建样本空间根据试验目的，构建样本空间（求出基本事件总数（求出基本事件总数n）考察所关心的事件考察所关心的事件A A（求出（求出A A所包含的基本事件个数所包含的基本事件个数k）利用定义式计算利用定义式计算（求求P（A）关键：关键：基本事件数目的计算做到不遗漏、不重复基本事件数目的计算做到不遗漏、不重复常用方法：常用方法：乘法定理（串联）、加法定理（并联），排列与组合（注意乘法定理（串联）、加法定理（并联），排列与组合（注意区分有序或无序排列，重复与不重复排列、有放回和无放回抽样）。区分有序或无序排列，重复与不重复排列、有放回和无放回抽样）。你现在浏览的是第四十二页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）例如：例如：（1 1）2 2个人入座个人入座3 3个座位：一个人不能同时座个座位：一个人不能同时座2 2个座位，一个座个座位，一个座位也不能同时座位也不能同时座2 2个人，故问题属于不重复排列问题，其座法为个人，故问题属于不重复排列问题，其座法为（2 2）2 2封信投入封信投入3 3个信箱：虽然一封信不能同时投入个信箱：虽然一封信不能同时投入2 2个信箱，但个信箱，但1 1个信箱可同时容纳多封信，故属于可重复排列问题，其投个信箱可同时容纳多封信，故属于可重复排列问题，其投法为法为3 32 2。注意区分底数注意区分底数n n和指数和指数m m。你现在浏览的是第四十三页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）例1:设甲类设备有设甲类设备有8 8套，乙类设备有套，乙类设备有6 6套，一次雷击毁坏了套，一次雷击毁坏了3 3套，套，问这问这3 3套是同一类设备的概率套是同一类设备的概率解：解：E E：毁坏了：毁坏了3 3套设备套设备 则则1414套中套中3 3套被毁的基本事件数为：套被毁的基本事件数为：A=A=毁坏的为同类设备毁坏的为同类设备 毁坏的均为甲类的基本事件数：毁坏的均为甲类的基本事件数：均为乙类的基本事件数：均为乙类的基本事件数：所以：所以：你现在浏览的是第四十四页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）例2：摸球问题摸球问题袋中有袋中有a a个黑球，个黑球，b b个白球，无放回依次抽，摸个白球，无放回依次抽，摸k k次，求第次，求第k k（ka+bka+b）次摸到黑球概率。）次摸到黑球概率。解：解：考察考察E E：从：从a+ba+b个球中依次摸个球中依次摸k k次。次。由于要求把由于要求把k k个球一个一个摸出来，第个球一个一个摸出来，第k k次摸到黑球，并且是次摸到黑球，并且是无放回，因此考虑摸球的顺序，故属于无重复排列，基本无放回，因此考虑摸球的顺序，故属于无重复排列，基本事件总数应为：事件总数应为：你现在浏览的是第四十五页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）也可在摸球时暂不考虑顺序，而在取出后再考虑顺序。也可在摸球时暂不考虑顺序，而在取出后再考虑顺序。则第一步为不可重复组合（由于无放回），有则第一步为不可重复组合（由于无放回），有 种取法；种取法；第二步将取出的第二步将取出的k k个球进行全排列，有个球进行全排列，有K K！中排法。再由乘法！中排法。再由乘法定理，基本事件总数为定理，基本事件总数为考察考察A A：A=A=第第k k次摸到黑球次摸到黑球 第一步：从第一步：从a a个黑球中任取一个放到第个黑球中任取一个放到第k k个位置上，属于任意个位置上，属于任意 不重复排列，有不重复排列，有 种取法；种取法；第二步：从余下的个球中任取个球排列到前面的位置上，有第二步：从余下的个球中任取个球排列到前面的位置上，有 种取法；种取法；你现在浏览的是第四十六页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）第三步：由乘法定理第三步：由乘法定理 ，A A所含基本事件总数为所含基本事件总数为 第四步：利用定义式求第四步：利用定义式求P P（A A）你现在浏览的是第四十七页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）例3：将将n个人等可能地分配到个人等可能地分配到N个房间中（个房间中（nN）中每一间，中每一间，求下列事件概率求下列事件概率事件事件A：A=某指定的某指定的n间房中各有一人间房中各有一人事件事件B：B=恰有恰有n间房各有一人间房各有一人事件事件C：C=某指定房中恰有某指定房中恰有m个人个人（mn）事件事件D：D=余下余下N-1间房中各有一人间房中各有一人你现在浏览的是第四十八页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）E：由于没有限定每间可住多少人，属于任意可重复排列数问由于没有限定每间可住多少人，属于任意可重复排列数问题，故基本事件为：题，故基本事件为：事件事件A A：A=A=某指定的某指定的n n间房中各有一人间房中各有一人 解：解：n n个人等可能地分配到个人等可能地分配到n n间房，保证每房一人，则第一人间房，保证每房一人，则第一人有有n n中选择，第二人有中选择，第二人有n-1n-1种选择，类推，种选择，类推，A A包含的基本事件包含的基本事件数为数为 A=nA=n！（全排列）！（全排列）你现在浏览的是第四十九页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）事件事件B B：B=恰有恰有n间房各有一人间房各有一人解：解：恰有恰有n n间房，表示要在间房，表示要在N N间房中选取，故属于不重复组合问题，间房中选取，故属于不重复组合问题，再加上各有一人的条件，故再加上各有一人的条件，故事件事件C：C=某指定房中恰有某指定房中恰有m个人个人（mn）解：解：首先从首先从n n个人中找出个人中找出m m个人放在指定房间中，有个人放在指定房间中，有 种余种余下的下的n-mn-m个人等可能地分到个人等可能地分到N-1N-1间房中，有间房中，有 种分法，由乘法定理种分法，由乘法定理你现在浏览的是第五十页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）事件事件D D：若若D=D=余下余下N-1N-1间房中各有一人间房中各有一人 你现在浏览的是第五十一页，共108页 例例4 4 将将 15 15 名新生随机地平均分配到名新生随机地平均分配到 3 3 个班中去，这个班中去，这 15 15 名新生中有名新生中有 3 3 名是优秀生。问：名是优秀生。问：(1)(1)每个班各分配到一每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？名优秀生的概率是多少？(2)3(2)3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？解：解：1515名新生平均分配到名新生平均分配到 3 3 个班级中去的分法总数为：个班级中去的分法总数为：一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）你现在浏览的是第五十二页，共108页(1)将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3!种。其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：于是所求的概率为：你现在浏览的是第五十三页，共108页三名优秀生分配在同一班级内其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名(2)3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：你现在浏览的是第五十四页，共108页例例5 5 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12 12 次来访，已知所有这次来访，已知所有这 1212次次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？有规定的？解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，一天中去接待站是等可能的，那么，12 12 次接待来访者都在周二、次接待来访者都在周二、周四的概率为周四的概率为:212/712=0.0000003，即千万分之三。即千万分之三。一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）你现在浏览的是第五十五页，共108页 人们在长期的实践中总结得到人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的验中几乎是不发生的”（称之为（称之为实际推断原理实际推断原理）。现在概率）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）你现在浏览的是第五十六页，共108页一、古典概型（等可能概型）一、古典概型（等可能概型）（二）古典概型的性质（二）古典概型的性质根据定义，对任意事件根据定义，对任意事件A A有有（1）非负性非负性（2）归一性归一性（3）若）若A1，A2，A3两两互不相容，两两互不相容，则，则，有限可加性有限可加性即即 和的概率等于概率之和和的概率等于概率之和：你现在浏览的是第五十七页，共108页二、几何概型二、几何概型（一）定义及计算方法（一）定义及计算方法 有一个可度量的几何图形有一个可度量的几何图形S S：试验：试验E E可看成在可看成在S S中随机地中随机地投掷一点投掷一点M M，M M的每个落点就是一个样本点，因此的每个落点就是一个样本点，因此S S中有无穷中有无穷多个样本点（试验结果）。多个样本点（试验结果）。S S即为样本空间，而事件即为样本空间，而事件A A就是所就是所投掷的点落在投掷的点落在S S中的可度量图形中的可度量图形A A中。中。事件事件A A的概率与的概率与A A的度量的度量L L（A A）成正比，即）成正比，即 你现在浏览的是第五十八页，共108页二、几何概型二、几何概型例：约会问题甲乙相约甲乙相约9-109-10点见面，约定先来者等点见面，约定先来者等2020分钟过时即走，问见面分钟过时即走，问见面机会多少？机会多少？解：二人均可能在此段时间（解：二人均可能在此段时间（6060分）内的任意时刻到达。设，分）内的任意时刻到达。设，甲、乙到达时间分别为甲、乙到达时间分别为X X、Y Y（分钟），则有，（分钟），则有，将（将（X X，Y Y）看作平面直角坐标系的一点，则所有基本）看作平面直角坐标系的一点，则所有基本事件总数为事件总数为60606060（分钟）（分钟）你现在浏览的是第五十九页，共108页二、几何概型二、几何概型设，事件设，事件A=A=两人见面两人见面（1 1）甲先到（）甲先到（XYXY），即），即（2 2）乙先到（）乙先到（YXY 0 0，则，则，可推广到可推广到n n个事件情形，设个事件情形，设P P（ABAB）0 0，如，如你现在浏览的是第八十二页，共108页二、乘法公式二、乘法公式例例1 1：一批产品一批产品100100个，个，10%10%次品率，接连两次无放回抽取，次品率，接连两次无放回抽取，求第二次才取到正品概率。求第二次才取到正品概率。解：解：A=A=第一次次品第一次次品，B=B=第二次正品第二次正品，C=C=第二次第二次才才取到正品取到正品 因为：因为：C C的发生要求的发生要求A A，B B同时发生，而不是同时发生，而不是A A发生后要求发生后要求B B发生发生所以：所以：你现在浏览的是第八十三页，共108页二、乘法公式二、乘法公式例例2 2：设甲地设甲地1010条线路，在条线路，在t t时间内平均有时间内平均有100100人用，乙地人用，乙地也有也有1010条，在条，在t t时间内平均有时间内平均有5050个当地人用。在甲地打不个当地人用。在甲地打不了电话的人中有了电话的人中有2020人到乙地去打。问，任一个在甲地打电话人到乙地去打。问，任一个在甲地打电话的人，在甲地打不通，且到乙地也打不通电话的概率。的人，在甲地打不通，且到乙地也打不通电话的概率。解：解：A=A=在甲地打不通在甲地打不通，B=B=由甲地转到乙地由甲地转到乙地，C=C=在乙地也打不通在乙地也打不通 求求 P P（ABCABC）你现在浏览的是第八十四页，共108页二、乘法公式二、乘法公式则：则：，P P（B/AB/A）=0.2=0.2，而在而在t t时间内由甲地转到乙地的人数为：时间内由甲地转到乙地的人数为：（100-10100-10）0.2=180.2=18在甲地打不通，转到乙地后打通电话的概率：在甲地打不通，转到乙地后打通电话的概率：所以：所以：故：故：你现在浏览的是第八十五页，共108页（三）全概率公式（三）全概率公式目的：计算一类较复杂事件的概率目的：计算一类较复杂事件的概率意义：根据先验知识，推算结果发生可能性意义：根据先验知识，推算结果发生可能性方法：借助于其它事件组，将这类随机事件分解为若干较简单方法：借助于其它事件组，将这类随机事件分解为若干较简单的事件，把这些简单事件的概率综合起来。的事件，把这些简单事件的概率综合起来。即：即：全概率公式全概率公式=加法和乘法公式加法和乘法公式定理：设定理：设A A1 1，A A2 2，AnAn构成一个互不相容的完备事件组，即构成一个互不相容的完备事件组，即A A1 1+A+A2 2+An=S+An=S，A Ai iA Aj j=，且，且P P（A Ai i）0 0，则对任意事件，则对任意事件B B，有，有你现在浏览的是第八十六页，共108页（三）全概率公式（三）全概率公式全概率公式的证明全概率公式的证明 B=BS=B（A1+A2+A3+An）=BA1+BA2+BA3+BAn 完备事件组完备事件组由由加法公式加法公式和互不相容性：和互不相容性：P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（B An）（I I）由由乘法公式乘法公式：（IIII）（I I）中包括了所有可能导致事件发生的可能性中包括了所有可能导致事件发生的可能性（IIII）指明了其中任一可能与事件发生的关系的概率指明了其中任一可能与事件发生的关系的概率你现在浏览的是第八十七页，共108页（三）全概率公式（三）全概率公式注意：注意：即使不是完备群，但一定要能盖住即使不是完备群，但一定要能盖住B B，使，使B B当且仅当当且仅当A A1 1，A A2 2，A An n，中某一事件出现时才发生；，中某一事件出现时才发生；直观意义：对一个试验，某一结果的发生可能有多种原直观意义：对一个试验，某一结果的发生可能有多种原因，每一原因都对这一结果的发生作出一定贡献。不要因，每一原因都对这一结果的发生作出一定贡献。不要把全概公式作为一个计算公式来理解，以为只要有和和把全概公式作为一个计算公式来理解，以为只要有和和积，就可用全概公式，它是其意义的。积，就可用全概公式，它是其意义的。A Ai i是导致试验结果的原因，是导致试验结果的原因，P P（A Ai i）则是各种原因发生的概率，）则是各种原因发生的概率，称为先验概率，是试验前对各种原因的认识，称为先验概率，是试验前对各种原因的认识，B B是结果是结果 由因导果由因导果你现在浏览的是第八十八页，共108页（三）全概率公式（三）全概率公式例例1 1：去某地出差，乘飞机、船、汽车、火车的概率分别为去某地出差，乘飞机、船、汽车、火车的概率分别为3/103/10，1/51/5，1/101/10和和2/52/5，而乘这些交通工具迟到的概率分别，而乘这些交通工具迟到的概率分别1/41/4，1/31/3，1/121/12，0 0，求此人迟到的概率。，求此人迟到的概率。解：解：设设A Ai i（i=1i=1，2 2，3 3，4 4）表示乘）表示乘 飞机飞机、船船、汽车汽车、火车火车 B B：迟到迟到 由题设：由题