2020_2021学年高中数学第一章空间几何体1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修2.ppt

1.3.2球的体积和表面积 球的体积和表面积公式球的体积和表面积公式(1)(1)体积公式体积公式:V=R:V=R3 3.(2)(2)表面积公式表面积公式:S=4RS=4R2 2.【思考思考】从公式看从公式看,球的表面积和体积分别是关于哪个量的函数球的表面积和体积分别是关于哪个量的函数?提示提示:从公式看从公式看,球的表面积球的表面积(或体积或体积)只与球的半径有只与球的半径有关关,给定球的半径给定球的半径R R有唯一确定的有唯一确定的S(S(或体积或体积V)V)与之对应与之对应,故表面积和体积是关于球的半径故表面积和体积是关于球的半径R R的函数的函数.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)球的表面可以展开成平面球的表面可以展开成平面.()(2)(2)两个球的半径之比为两个球的半径之比为12,12,则其表面积之比为则其表面积之比为14.14.()(3)(3)两个球的半径之比为两个球的半径之比为12,12,则其体积之比为则其体积之比为14.14.()提示提示:(1).(1).球的表面不能展开成平面图形球的表面不能展开成平面图形,故错误故错误.(2).(2).根据球的表面积公式可知此说法正确根据球的表面积公式可知此说法正确.(3).(3).两个球的半径之比为两个球的半径之比为12,12,则其体积之比为则其体积之比为18.18.2.2.直径为直径为6 6的球的表面积和体积分别是的球的表面积和体积分别是()A A.144,144.144,144B B.144,36.144,36C C.36,144.36,144D D.36,36.36,36【解析解析】选选D.R=3,S=4RD.R=3,S=4R2 2=36,V=R=36,V=R3 3=36.=36.3.3.两个半径为两个半径为1 1的铁球的铁球,熔化成一个大球熔化成一个大球,这个大球的半这个大球的半径为径为()A.2A.2B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.设大球半径为设大球半径为r,r,则则 rr3 3=2 ,=2 ,所以所以r=.r=.类型一球的表面积和体积类型一球的表面积和体积【典例典例】1.(20191.(2019株洲高一检测株洲高一检测)两个球的体积之比两个球的体积之比为为827,827,那么这两个球的表面积之比为那么这两个球的表面积之比为()A.23A.23B.49B.49C.C.D.D.2.(1)2.(1)若球的表面积为若球的表面积为64,64,则它的体积为则它的体积为_._.(2)(2)若球的体积为若球的体积为 ,则它的表面积为则它的表面积为_._.3.3.若圆锥与球的体积相等若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径且圆锥底面半径与球的直径相等相等,求圆锥侧面积与球的表面积之比求圆锥侧面积与球的表面积之比.【思维思维引引】1.1.以球的表面积和体积公式为依据以球的表面积和体积公式为依据,先由体积之比推出先由体积之比推出半径之比半径之比,然后推出表面积之比然后推出表面积之比2.(1)2.(1)借助球的表面积公式先列方程求半径借助球的表面积公式先列方程求半径,进而计算进而计算球的体积球的体积.(2)(2)借助球的体积公式先列方程求半径借助球的体积公式先列方程求半径,进而计算球的进而计算球的表面积表面积.3.3.根据题目条件列出方程根据题目条件列出方程,用圆锥的高表示底面半径和用圆锥的高表示底面半径和母线母线,然后代入公式求比值然后代入公式求比值.【解析解析】1.1.选选B.B.设这两个球的半径分别为设这两个球的半径分别为r,R,r,R,则则 ,所以所以 ,则这两个球的表面积之比为则这两个球的表面积之比为 =()=()2 2=.=.2.(1)2.(1)设球的半径为设球的半径为R,R,则则4R4R2 2=64,=64,解得解得R=4,R=4,所以球所以球的体积的体积V=RV=R3 3=4=43 3=.=.(2)(2)设球的半径为设球的半径为R,R,则则 RR3 3=,=,解得解得R=5,R=5,所以球所以球的表面积的表面积S=4RS=4R2 2=4=45 52 2=100.=100.答案答案:(1)(1)(2)100(2)100 3.3.设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为r,r,高为高为h,h,母线长为母线长为l,球的半径球的半径为为R,R,则由题意得则由题意得 (2R)(2R)2 2h=Rh=R3 3,所以所以R=h,r=2h,R=h,r=2h,所以所以l=h,=h,所以所以S S圆锥侧圆锥侧=rl=2h2h h=h=2 h2 h2 2,S,S球球=4R=4R2 2=4h=4h2 2,所以所以 .【内化内化悟悟】利用球的表面积和体积主要可以解答哪两类问题利用球的表面积和体积主要可以解答哪两类问题?提示提示:(1)(1)已知球半径可以利用公式求它的表面积和体已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积积;(2)(2)已知体积或表面积也可以求其半径已知体积或表面积也可以求其半径.【类题类题通通】求球的表面积与体积的一个关键和两个结论求球的表面积与体积的一个关键和两个结论(1)(1)关键关键:把握住球的表面积公式把握住球的表面积公式S S球球=4R=4R2 2,球的体积公球的体积公式式V V球球=R=R3 3是计算球的表面积和体积的关键是计算球的表面积和体积的关键,半径与半径与球心是确定球的条件球心是确定球的条件.把握住公式把握住公式,球的体积与表面积球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了计算的相关题目也就迎刃而解了.(2)(2)两个结论两个结论:两个球的表面积之比等于这两个球的两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方半径比的平方;两个球的体积之比等于这两个球的半两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方径比的立方.【习练习练破破】1.1.把一个铁制的底面半径为把一个铁制的底面半径为r,r,高为高为h h的实心圆锥熔化后的实心圆锥熔化后铸成一个铁球铸成一个铁球,则这个铁球的半径为则这个铁球的半径为 ()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析 】选选C.C.因为因为 rr2 2h=Rh=R3 3,所以所以R=.R=.2.(1)2.(1)火星的直径约为地球直径的一半火星的直径约为地球直径的一半,地球的体积约地球的体积约是火星体积的多少倍是火星体积的多少倍?(2)(2)木星的表面积约为地球表面积的木星的表面积约为地球表面积的120120倍倍,木星的体积木星的体积约是地球体积的多少倍约是地球体积的多少倍?【解析解析】(1)(1)设火星的半径为设火星的半径为R,R,则地球的半径为则地球的半径为2R,2R,因此因此 =8.=8.故地球的体积约是火星体积的故地球的体积约是火星体积的8 8倍倍.(2)(2)设木星和地球的半径分别为设木星和地球的半径分别为r,R.r,R.依题意依题意,有有4r4r2 2=120=1204R4R2 2,解得解得r=2 R,r=2 R,所以所以 .故木星的体积约是地球体积的故木星的体积约是地球体积的240 240 倍倍.【加练加练固固】圆柱形容器内部盛有高度为圆柱形容器内部盛有高度为8 cm8 cm的水的水,若若放入三个相同的球放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同球的半径与圆柱的底面半径相同)后后,水恰好淹没最上面的球水恰好淹没最上面的球(如图所示如图所示),),则球的半径是则球的半径是_ cm._ cm.【解析解析】设球的半径为设球的半径为r,r,放入放入3 3个球后个球后,圆柱液面高度圆柱液面高度变为变为6r.6r.则有则有rr2 26r=8r6r=8r2 2+3 r+3 r3 3,即即2r=8,2r=8,所以所以r=4 cm.r=4 cm.答案答案:4 4类型二与球有关的组合体问题类型二与球有关的组合体问题【典例典例】1.(20191.(2019资阳高一检测资阳高一检测)已知一个几何体的已知一个几何体的三视图如图所示三视图如图所示,图中四边形是边长为图中四边形是边长为1 1的正方形的正方形,虚线虚线所示为半圆所示为半圆,那么该几何体的体积为那么该几何体的体积为()A.1-A.1-B.1-B.1-C.1-C.1-D.1-D.1-2.2.圆柱被一个平面截去一部分后与半球圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为半径为 r)r)组组成一个几何体成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示如图所示.若该几何体的表面积为若该几何体的表面积为 16+20,16+20,则则 r=r=()A.1A.1B.2B.2C.4C.4D.8D.83.3.如图所示如图所示,图中阴影部分绕图中阴影部分绕ABAB所在直线旋转一周所形所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为成的几何体的体积为_._.【思维思维引引】1.1.根据三视图及其数据得出几何体的直观图为棱长为根据三视图及其数据得出几何体的直观图为棱长为1 1的正方体中挖空了一个半球的正方体中挖空了一个半球,利用组合体的体积公式求利用组合体的体积公式求解即可解即可.2.2.先判断该组合体的结构特征先判断该组合体的结构特征,然后根据表面积列方程然后根据表面积列方程,求出半径求出半径r.r.3.3.先判断该组合体的结构特征先判断该组合体的结构特征,然后求出有关几何量求然后求出有关几何量求其体积其体积.【解析解析】1.1.选选B.B.因为题干图为某几何体的三视图因为题干图为某几何体的三视图,图中图中四边形为边长为四边形为边长为1 1的正方形的正方形,虚线所示为半圆虚线所示为半圆,几何体是几何体是正方体挖去一个半球正方体挖去一个半球,球的半径为球的半径为 ,几何体的体积几何体的体积为为:1-=1-.:1-=1-.2.2.选选B.B.如图如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体体,球的半径为球的半径为r,r,圆柱的底面半径为圆柱的底面半径为r,r,高为高为2r,2r,则表面积则表面积S=S=4r4r2 2+r+r2 2+4r+4r2 2+r+r2r=(5+4)r2r=(5+4)r2 2.又又S=16+20,S=16+20,所以所以(5+4)r(5+4)r2 2=16+20,=16+20,所以所以r r2 2=4,r=2.=4,r=2.3.3.由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球半球,其中圆台的体积为其中圆台的体积为 V=V=(2 22 2+5 52 2)4=,4=,半球的体积半球的体积 V=V=2 23 3=,=,则所求体积为则所求体积为 .答案答案:【内化内化悟悟】由三视图计算与球有关的组合体的表面积和体积由三视图计算与球有关的组合体的表面积和体积,应注应注意什么意什么?提示提示:关键是还原组合体关键是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义三视图中数据的含义,在此基础上可以设计算法计算表在此基础上可以设计算法计算表面积和体积面积和体积.【类题类题通通】解决与球有关的组合体问题的解题技巧解决与球有关的组合体问题的解题技巧(1)(1)与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题:解题时要认真分析图形解题时要认真分析图形,明明确切点位置确切点位置,明确有关元素间的数量关系明确有关元素间的数量关系,并且作出合并且作出合适的截面图适的截面图.(2)(2)球与旋转体的组合球与旋转体的组合,通过作它们的轴截面解题通过作它们的轴截面解题.(3)(3)球与多面体的组合球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心、通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图切点或接点作出截面图.【习练习练破破】(2019(2019包头高一检测包头高一检测)某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示,则则该几何体的表面积为该几何体的表面积为()A.(3+2 )A.(3+2 )B.(4+4 )B.(4+4 )C.(3+4 )C.(3+4 )D.(4+2 )D.(4+2 )【解析解析】选选A.A.由题意可知几何体是上部为半球由题意可知几何体是上部为半球,下部是下部是两个圆锥的组合体两个圆锥的组合体,球的半径为球的半径为1,1,圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为1,1,高为高为1,1,所以几何体的表面积为所以几何体的表面积为:21:212 2+2 2+2 2 +1 +12 2=(3+2 ).=(3+2 ).【加练加练固固】1.1.已知某几何体的三视图如图所示已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成图均是由三角形与半圆构成,俯视图由圆与内接三角形俯视图由圆与内接三角形构成构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为根据图中的数据可得此几何体的体积为()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.由已知的三视图可知原几何体的上方是由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥三棱锥,下方是半球下方是半球,所以所以V=1+V=1+=+.=+.2.2.已知某几何体的三视图如图所示已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面则该几何体的表面积和体积分别为积和体积分别为_与与_._.【解析解析】由三视图可知由三视图可知,其对应的几何体是一个组合体其对应的几何体是一个组合体,上半部分是一个直径为上半部分是一个直径为2 2的球的球,下半部分是一个棱柱下半部分是一个棱柱,棱棱柱的底面是边长为柱的底面是边长为2 2的正方形的正方形,高为高为4,4,则该几何体的表则该几何体的表面积面积S=41S=412 2+22+222 2+424=40+4,+424=40+4,几何体的体几何体的体积积:V=1:V=13 3+2+22 24=16+.4=16+.答案答案:40+440+416+16+类型三有关球的切、接问题类型三有关球的切、接问题【典例典例】1.1.一块硬质木料的三视图如图所示一块硬质木料的三视图如图所示,正视图是正视图是边长为边长为3 cm3 cm的正方形的正方形,俯视图是俯视图是3 cm 4 cm3 cm 4 cm的矩形的矩形,将将该木料切削、打磨该木料切削、打磨,加工成球加工成球,则能得到的最大球的半则能得到的最大球的半径最接近径最接近()A.1 cmA.1 cmB.2 cmB.2 cmC.3 cmC.3 cmD.4 cmD.4 cm2.(20192.(2019亳州高一检测亳州高一检测)体积为体积为8 8的正方体的顶点都在的正方体的顶点都在同一球面上同一球面上,则该球面的表面积为则该球面的表面积为_._.3.3.已知四面体的各面都是边长为已知四面体的各面都是边长为a a的正三角形的正三角形,求它外求它外接球的体积及内切球的半径接球的体积及内切球的半径.【思维思维引引】1.1.先判断最大球的半径是多少先判断最大球的半径是多少,然后计算然后计算.2.2.解答本题的依据是解答本题的依据是:若正方体内接于球若正方体内接于球,则则2R=a(a2R=a(a为正方体的棱长为正方体的棱长).).3.3.方法一方法一:找到球心的位置找到球心的位置,建立方程求外接球半径建立方程求外接球半径,然然后求外接球的体积及内切球的半径后求外接球的体积及内切球的半径.方法二方法二:补形为正方体补形为正方体.【解析解析】1.1.选选A.A.由题意得最大球的半径为直角三角形由题意得最大球的半径为直角三角形(直角边长为直角边长为3 3和和4)4)内切圆的半径内切圆的半径,所以所以r=1.r=1.2.2.设此球的半径为设此球的半径为R,R,由题意得由题意得正方体的棱长为正方体的棱长为2,2,所以所以2R=,2R=,所以所以R=,R=,所以该球面的表面积为所以该球面的表面积为4R4R2 2=12.=12.答案答案:12123.3.方法一方法一:如图如图,设设SOSO1 1是四面体是四面体S-ABCS-ABC的高的高,则外接球的则外接球的球心球心O O在在SOSO1 1上上.设外接球半径为设外接球半径为R.R.因为四面体的棱长为因为四面体的棱长为a,Oa,O1 1为正为正ABCABC的中心的中心,所以所以AOAO1 1=a=a,a=a,SOSO1 1=a.=a.在在RtOORtOO1 1A A中中,R,R2 2=A =A +(SO=A =A +(SO1 1-R)-R)2 2,即即R R2 2=,=,解得解得R=a,R=a,所以所求外接球体积所以所求外接球体积V V球球=R R3 3=a a3 3.所以所以OOOO1 1即为内切球的半径即为内切球的半径,OO,OO1 1=a,=a,所以内切球的半径为所以内切球的半径为 a.a.方法二方法二:以四面体的各棱为正方体的面对角线以四面体的各棱为正方体的面对角线,将其补将其补形为正方体形为正方体.由于过不共面的四点有且只有一个球由于过不共面的四点有且只有一个球,所所以该四面体的外接球就是正方体的外接球以该四面体的外接球就是正方体的外接球.设正方体的设正方体的棱长为棱长为x,x,外接球的半径为外接球的半径为R,R,则则2R=x2R=x且且a=x,a=x,所以所以R=a,R=a,所求外接球体积所求外接球体积V V球球=R=R3 3=a=a3 3,设该四设该四面体的内切球的半径为面体的内切球的半径为r,r,利用体积分割法可知此多面利用体积分割法可知此多面体的体积为体的体积为4 4 a a2 2r=ar=a2 2r.r.利用补形法可知此多面体的体积可由正方体的体积减利用补形法可知此多面体的体积可由正方体的体积减去四个三棱锥得到去四个三棱锥得到,即即 ,所以所以 a a2 2r=ar=a3 3,解得解得r=a.r=a.【素养素养探探】在解球的外接几何体问题中在解球的外接几何体问题中,经常利用核心素养中的数经常利用核心素养中的数学运算学运算,通过研究球与其外接几何体的结构特征通过研究球与其外接几何体的结构特征,找到找到相关几何量之间的关系相关几何量之间的关系,然后进行计算然后进行计算.将本例将本例2 2条件改为条件改为“三个相邻面的面积分别为三个相邻面的面积分别为2,3,62,3,6的的长方体长方体”,求该长方体外接球的表面积求该长方体外接球的表面积.【解析解析】设长方体的棱长分别为设长方体的棱长分别为 a,b,c,a,b,c,则则 所以所以 (abc)(abc)2 2=36,=36,于是于是 设球的半径为设球的半径为R,R,则则 4R4R2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2=14,=14,所以这个球面所以这个球面的表面积为的表面积为4R4R2 2=14.=14.【类题类题通通】常见的与球有关的切接问题常见的与球有关的切接问题(1)(1)正方体的内切球正方体的内切球.球与正方体的六个面都相切球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球称球为正方体的内切球,此时球的半径为此时球的半径为r r1 1=,=,过在一个平面上的四个切点作过在一个平面上的四个切点作截面如图截面如图.(2)(2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切.球与正方体的各条棱相切于各棱的中点球与正方体的各条棱相切于各棱的中点,过球心作正方过球心作正方体的对角面有体的对角面有r r2 2=,=,如图如图.(3)(3)长方体的外接球长方体的外接球.长方体的八个顶点都在球面上长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球称球为长方体的外接球,根据球的定义可知根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径长方体的体对角线是球的直径,若若长方体过同一顶点的三条棱长为长方体过同一顶点的三条棱长为a,b,c,a,b,c,则过球心作长则过球心作长方体的对角面有球的半径为方体的对角面有球的半径为r r3 3=,=,如图如图.(4)(4)正方体的外接球正方体的外接球.正方体棱长正方体棱长a a与外接球半径与外接球半径R R的关系为的关系为2R=a.2R=a.【习练习练破破】1.(20191.(2019济南高一检测济南高一检测)设正方体的表面积为设正方体的表面积为24 24 cmcm2 2,一个球内切于该正方体一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是那么这个球的体积是()A.cmA.cm3 3B.cmB.cm3 3C.cmC.cm3 3D.cmD.cm3 3【解析解析】选选A.A.因为正方体的全面积为因为正方体的全面积为24 cm24 cm2 2,所以正所以正方体的棱长为方体的棱长为2 cm,2 cm,又因为球内切于该正方体又因为球内切于该正方体,所以这所以这个球的直径为个球的直径为2 cm,2 cm,则这个球的半径为则这个球的半径为1 cm,1 cm,所以球的所以球的体积体积V=cmV=cm3 3.2.2.底面为正方形底面为正方形,顶点在底面上的投影为底面中心的棱顶点在底面上的投影为底面中心的棱锥锥P-ABCDP-ABCD的五个顶点在同一球面上的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边若该棱锥的底面边长为长为4,4,侧棱长为侧棱长为2 ,2 ,则这个球的表面积为则这个球的表面积为_._.【解析解析】正四棱锥正四棱锥P-ABCDP-ABCD外接球的球心在它的高外接球的球心在它的高POPO1 1上上,记为记为O,OP=OA=R,POO,OP=OA=R,PO1 1=4,OO=4,OO1 1=4-R,=4-R,或或OOOO1 1=R-4(=R-4(此时此时O O在在POPO1 1的延长线上的延长线上).).在在RtAORtAO1 1O O中中,R,R2 2=8+(R-4)=8+(R-4)2 2得得R=3,R=3,所以球的表面积所以球的表面积S=36.S=36.答案答案:3636【加练加练固固】1.(20171.(2017全国卷全国卷)长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高分别为3,2,1,3,2,1,其顶点都在球其顶点都在球O O的球面上的球面上,则球则球O O的表面积为的表面积为_._.【解析解析】球的直径是长方体的体对角线球的直径是长方体的体对角线,所以所以2R=,S=4R2R=,S=4R2 2=14.=14.答案答案:14142.2.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 ()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.设正方体的棱长为设正方体的棱长为a,a,球的半径为球的半径为R,R,则则3a3a2 2=4R=4R2 2,所以所以a a2 2=R=R2 2,球的表面积球的表面积S S1 1=4R=4R2 2,正方体的表面积正方体的表面积S S2 2=6a=6a2 2=6 R=6 R2 2=8R=8R2 2,所以所以S S1 1S S2 2=.=.