2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面课件新人教A版必修2.ppt

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面 1.1.平面的概念平面的概念几何里所说的几何里所说的“平面平面”,是从课桌面、黑板面、海面这是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展几何里的平面是无限延展的的.2.2.平面的画法平面的画法(1)(1)水平放置的平面水平放置的平面通常通常画成一个画成一个平行四边形平行四边形,它的锐它的锐角通常画成角通常画成45,45,且横边长等于其邻边长的且横边长等于其邻边长的2 2倍倍.如图如图.(2)(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的为了增强它的立体感立体感,把被遮挡部分用虚线画出来把被遮挡部分用虚线画出来.如图如图.【思考思考】类比直线的画法类比直线的画法,想一想为什么想一想为什么“通常通常”画画“平行四边平行四边形形”表示平面表示平面?提示提示:通常画的平行四边形表示的是整个平面通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要需要时时,可以把它延展开来可以把它延展开来,如同在平面几何中画直线一样如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限延伸的直线是可以无限延伸的,但在画直线时却只画一条线段但在画直线时却只画一条线段(无端点无端点)来表示来表示.加加“通常通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示其他平面图形表示,如用三角形、矩形、圆等平面图形如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面来表示平面.3.3.平面的表示法平面的表示法(1)(1)用希腊字母表示用希腊字母表示,如平面如平面,平面平面,平面平面.(2)(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示示,如平面如平面ABCD.ABCD.(3)(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面如平面AC,AC,平面平面BD.BD.4.4.平面的基本性质平面的基本性质公理公理文字文字语语言言图图形形语语言言符号符号语语言言公理公理1 1如果一条直如果一条直线线上的两点在一上的两点在一个平面内个平面内,那么那么这这条直条直线线在此在此平面内平面内 A Al,B,Bl,且且A A,B,Bl公理公理文字文字语语言言图图形形语语言言符号符号语语言言公理公理2 2过过不在一条直不在一条直线线上的三点上的三点,有且只有且只有一个平面有一个平面 A,B,CA,B,C三点不共三点不共线线存在惟一存在惟一的平面的平面使使A,B,CA,B,C公理公理3 3如果两个不重合如果两个不重合的平面有一个公的平面有一个公共点共点,那么它那么它们们有有且只有一条且只有一条过该过该点的公共直点的公共直线线 P P且且P P=l,且且P Pl【思考思考】用数学符号用数学符号“”“”、“”“”“”或或“”“”表示点和表示点和直线、平面的位置关系的依据是什么直线、平面的位置关系的依据是什么?这些符号分别适这些符号分别适用于什么情况用于什么情况?提示提示:(1)(1)直线可以看成无数个点组成的集合直线可以看成无数个点组成的集合,故点与故点与直线的关系是元素与集合的关系直线的关系是元素与集合的关系,用用“”或或“”表表示示.(2)(2)平面也可以看成点集平面也可以看成点集,故点与平面的关系也是元素故点与平面的关系也是元素与集合的关系与集合的关系,用用“”或或“”表示表示.(3)(3)直线和平面都是点集直线和平面都是点集,它们之间的关系可看成集合它们之间的关系可看成集合与集合的关系与集合的关系,故用故用“”或或“”表示表示.直线与平面直线与平面的交点的交点,平面与平面的交线可看成两个集合的平面与平面的交线可看成两个集合的“交集交集”,故用故用“”表示表示.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)几何里的平面是有厚度的几何里的平面是有厚度的,有边界的有边界的.()(2)(2)若线段若线段ABAB在平面在平面内内,则直线则直线ABAB在平面在平面内内.(.()(3)(3)平面平面与平面与平面相交相交,它们只有有限个公共点它们只有有限个公共点.(.()(4)(4)如果两个平面有三个公共点如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合则这两个平面重合.(.()提示提示:(1)(1).几何里的平面是没有厚度几何里的平面是没有厚度,无限延展而没无限延展而没有边界的有边界的.(2).(2).直线直线ABAB在平面在平面内内,因为线段因为线段ABAB在平面在平面内内,所所以线段以线段ABAB上的所有点都在平面上的所有点都在平面内内,故线段故线段ABAB上上A,BA,B两两点一定在平面点一定在平面内内,由公理由公理1 1可知直线可知直线ABAB在平面在平面内内.(3)(3).平面平面与平面与平面相交相交,它们有无限个公共点它们有无限个公共点,这这些点都在同一条直线上些点都在同一条直线上.(4)(4).如三点共线如三点共线,这两个平面有可能相交这两个平面有可能相交,也可能重也可能重合合,所以该命题错误所以该命题错误.2.2.如果空间四点如果空间四点A,B,C,DA,B,C,D不共面不共面,那么下列判断中正确那么下列判断中正确的是的是()A.A,B,C,DA.A,B,C,D四点中必有三点共线四点中必有三点共线B.A,B,C,DB.A,B,C,D四点中不存在三点共线四点中不存在三点共线C.C.直线直线ABAB与与CDCD相交相交D.D.直线直线ABAB与与CDCD平行平行【解析解析】选选B.B.两条平行直线、两条相交直线、直线及两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面直线外一点都分别确定一个平面.3.3.已知如图已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系之间的关系:(1)(1)点点C C与平面与平面:_.:_.(2)(2)点点A A与平面与平面:_.:_.(3)(3)直线直线ABAB与平面与平面:_.:_.(4)(4)直线直线CDCD与平面与平面:_.:_.(5)(5)平面平面与平面与平面:_.:_.【解析解析】(1)C(1)C.(2)A.(2)A.(3)AB=B.(4)CD(3)AB=B.(4)CD.(5)=BD.(5)=BD.答案答案:(1)C(1)C(2)A(2)A(3)AB=B(3)AB=B(4)CD(4)CD(5)=BD(5)=BD类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化类型一文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【典例典例】1.1.文字语言叙述文字语言叙述:“:“平面内有一条直线平面内有一条直线,则这条则这条直线上的点必在这个平面内直线上的点必在这个平面内”改成符号语言是改成符号语言是 ()A.a,AA.a,Aa aA A B.aB.a,Aa,AaAAC.a,AaC.a,AaA A D.a,AaD.a,AaAA2.2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法其中画法正确的是正确的是()3.3.如图所示如图所示,根据图形用符号表示下列点、直线、平面根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系之间的关系.(1)(1)点点P P与直线与直线AB.(2)AB.(2)点点C C与直线与直线AB.AB.(3)(3)点点A A1 1与平面与平面AC.(4)AC.(4)直线直线ABAB与直线与直线BC.BC.(5)(5)直线直线ABAB与平面与平面AC.(6)AC.(6)平面平面A A1 1B B与平面与平面AC.AC.【思维思维引引】1.1.点看作元素点看作元素,直线和平面看作点的集合直线和平面看作点的集合,据此选择恰据此选择恰当的数学符号当的数学符号.2.2.注意被遮挡的线画成虚线注意被遮挡的线画成虚线.3.3.判断点、直线和平面的位置关系判断点、直线和平面的位置关系,选择恰当的数学符选择恰当的数学符号表示出来号表示出来.【解析解析】1.1.选选B.B.直线在平面内用直线在平面内用“”,点在直线上和点在直线上和点在平面内用点在平面内用“”.2.2.选选D.D.画两个相交平面时画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示被遮住的部分用虚线表示,只有只有D D画法正确画法正确.3.(1)3.(1)点点PP直线直线AB.(2)AB.(2)点点C C 直线直线AB.AB.(3)(3)点点A A1 1 平面平面AC.(4)AC.(4)直线直线ABAB直线直线BC=BC=点点B.B.(5)(5)直线直线ABAB 平面平面AC.(6)AC.(6)平面平面A A1 1BB平面平面AC=AC=直线直线AB.AB.【内化内化悟悟】在用符号表示点、线、面之间的关系时在用符号表示点、线、面之间的关系时,如何区别如何区别“”“”与与“”?提示提示:可借助集合的观点区分可借助集合的观点区分“”与与“”.点与直线点与直线(或平面或平面)的位置关系的位置关系,用用“”或或“”表示表示;直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系,用用“”或或“”表示表示;直线与直线与直线相交、平面与平面相交要类比集合与集合交集说直线相交、平面与平面相交要类比集合与集合交集说明交点或交线明交点或交线.【类题类题通通】三种语言的转换方法三种语言的转换方法(1)(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何系如何,试着用文字语言表示试着用文字语言表示,再用符号语言表示再用符号语言表示.(2)(2)要注意符号语言的意义要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只如点与直线的位置关系只能用能用“”“”或或“”,直线与平面的位置关系只能用直线与平面的位置关系只能用“”或或“”.【习练习练破破】根据下列符号表示的语句根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置说明点、线、面之间的位置关系关系,并画出相应的图形并画出相应的图形:(1)A,B(1)A,B.(2)(2)l,m=A,A,m=A,A l.(3)P(3)Pl,P,P,Q,Ql,Q.,Q.【解析解析】(1)(1)点点A A在平面在平面内内,点点B B不在平面不在平面内内,如图如图所示所示.(2)(2)直线直线l在平面在平面内内,直线直线m m与平面与平面相交于点相交于点A,A,且点且点A A不在直线不在直线l上上,如图如图所示所示.(3)(3)直线直线l经过平面经过平面外一点外一点P P和平面和平面内一点内一点Q,Q,如图如图所示所示.【加练加练固固】将下列符号语言转化为图形语言将下列符号语言转化为图形语言.(1)a(1)a,b=A,A,b=A,A a.a.(2)=c,a(2)=c,a,b,b,ac,bc=P.,ac,bc=P.【解析解析】(1)(1)(2)(2)类型二点、线共面问题类型二点、线共面问题【典例典例】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内面内.【思维思维引引】用纳入法证明用纳入法证明,即先由两条相交直线确定即先由两条相交直线确定一个面一个面,再证第三条直线在这个平面内再证第三条直线在这个平面内.【证明证明】已知已知:如图所示如图所示,l1 1l2 2=A,=A,l2 2l3 3=B,=B,l1 1l3 3=C.=C.求证求证:直线直线l1 1,l2 2,l3 3在同一平面内在同一平面内.证明证明:方法一方法一:因为因为l1 1l2 2=A,=A,所以所以l1 1和和l2 2确定一个平面确定一个平面.因为因为l2 2l3 3=B,=B,所以所以BBl2 2.又因为又因为l2 2,所以所以B.B.同理可证同理可证C.C.又因为又因为BBl3 3,C,Cl3 3,所以所以l3 3.所以直线所以直线l1 1,l2 2,l3 3在同一平面内在同一平面内.方法二方法二:因为因为l1 1l2 2=A,=A,所以所以l1 1,l2 2确定一个平面确定一个平面.因为因为l2 2l3 3=B,=B,所以所以l2 2,l3 3确定一个平面确定一个平面.因为因为AAl2 2,l2 2,所以所以A.A.因为因为AAl2 2,l2 2,所以所以A.A.同理可证同理可证B,B,C,C.B,B,C,C.所以不共线的三个点所以不共线的三个点A,B,CA,B,C既在平面既在平面内内,又在平面又在平面内内.所以平面所以平面和和重合重合,即直线即直线l1 1,l2 2,l3 3在同一平面内在同一平面内.【素养素养探探】在点、线共面问题中在点、线共面问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究点、直线和平面之间的基本位置关系通过研究点、直线和平面之间的基本位置关系,从已知从已知定理出发定理出发,依据逻辑规则推出一个命题依据逻辑规则推出一个命题.将本例的条件将本例的条件“两两相交且不共点的三条直线两两相交且不共点的三条直线”改为改为“和同一条直和同一条直线相交的两条平行直线线相交的两条平行直线”,试证明这三条直线在同一平试证明这三条直线在同一平面内面内.【证明证明】已知已知l1 1l2 2,l1 1l3 3=A,=A,l2 2l3 3=B,=B,求证求证:l1 1,l2 2,l3 3共面共面.证明证明:因为因为l1 1l2 2,所以所以l1 1与与l2 2确定一个平面确定一个平面,设该平面为设该平面为,则则l1 1,l2 2,又因为又因为l1 1l3 3=A,=A,l2 2l3 3=B,=B,所以所以AAl1 1,B,Bl2 2,即即A,B,A,B,而而AAl3 3,B,Bl3 3,所所以以l3 3,因此因此l1 1,l2 2,l3 3共面共面.【类题类题通通】1.1.证明点、线共面问题的理论依据证明点、线共面问题的理论依据(1)(1)公理公理1 1和公理和公理2 2(2)(2)公理公理2 2的推论的推论经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.经过两条相交直线有且只有一个平面经过两条相交直线有且只有一个平面.经过两条平行直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面.2.2.证明点、线共面的两种常用方法证明点、线共面的两种常用方法(1)(1)纳入法纳入法:先由部分点、线确定一个面先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、再证其余的点、线都在这个平面内线都在这个平面内.(2)(2)重合法重合法:先由其中一部分点、线确定一个平面先由其中一部分点、线确定一个平面,其其余点、线确定另一个平面余点、线确定另一个平面,再证平面再证平面与与重合重合.【习练习练破破】已知直线已知直线l与四边形与四边形ABCDABCD的三边的三边AB,AD,CDAB,AD,CD所在的直线分别所在的直线分别相交于点相交于点E,F,G.E,F,G.求证求证:四边形四边形ABCDABCD是平面四边形是平面四边形.【证明证明】设设AB,ADAB,AD确定的平面为确定的平面为,则则E,F,E,F,于是于是l.因为因为GGl,所以所以G.G.所以所以DGDG,即即DCDC.所以所以C.C.故故A,B,C,DA,B,C,D四点共面四点共面,即四边形即四边形ABCDABCD为平面四边形为平面四边形.【加练加练固固】已知已知:A:Al,B,Bl,C,Cl,D,D l,如图所示如图所示.求证求证:直线直线AD,BD,CDAD,BD,CD共面共面.【证明证明】因为因为D D l,所以所以l与与D D可以确定平面可以确定平面,因为因为AAl,所以所以A,A,又又D,D,所以所以ADAD.同理同理,BD,BD,CD,CD,所以所以AD,BD,CDAD,BD,CD在同一平面在同一平面内内,即它们即它们共面共面.类型三点共线、线共点问题类型三点共线、线共点问题【典例典例】1.1.如图如图,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,设线段设线段A A1 1C C与平面与平面ABCABC1 1D D1 1交于点交于点Q,Q,求证求证:B,Q,D:B,Q,D1 1三点共线三点共线.2.2.如图如图,已知平面已知平面,且且=l,设梯形设梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,且且ABAB,CD,CD.求证求证:AB,CD,:AB,CD,l共点共点.【思维思维引引】1.1.注意到平面注意到平面ABCABC1 1D D1 1与平面与平面A A1 1BCDBCD1 1相交于相交于直线直线BDBD1 1,可知利用公理可知利用公理3 3证明点证明点Q Q同时在这两个平面内同时在这两个平面内.2.2.基本思路是证明其中两条直线的交点在第三条直线基本思路是证明其中两条直线的交点在第三条直线上上.【证明证明】1.1.如图如图,连接连接A A1 1B,CDB,CD1 1,BD,BD1 1显然显然BB平面平面A A1 1BCDBCD1 1,D,D1 1平面平面A A1 1BCDBCD1 1,所以所以BDBD1 1 平面平面A A1 1BCDBCD1 1.同理同理,BD,BD1 1 平面平面ABCABC1 1D D1 1,所以平面所以平面ABCABC1 1D D1 1平面平面A A1 1BCDBCD1 1=BD=BD1 1.因为因为A A1 1CC平面平面ABCABC1 1D D1 1=Q,=Q,所以所以QQ平面平面ABCABC1 1D D1 1.又因为又因为A A1 1C C 平面平面A A1 1BCDBCD1 1,所以所以QQ平面平面A A1 1BCDBCD1 1.所以所以Q Q在平面在平面A A1 1BCDBCD1 1与平面与平面ABCABC1 1D D1 1的交线上的交线上,即即QBDQBD1 1,所以所以B,Q,DB,Q,D1 1三点共线三点共线.2.2.因为梯形因为梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,所以所以AB,CDAB,CD是梯形是梯形ABCDABCD的两的两腰腰,所以所以AB,CDAB,CD必定相交于一点必定相交于一点,如图如图,设设ABCD=M.ABCD=M.又因又因为为ABAB,CD,CD,所以所以M,M,且且M.M.又因为又因为=l,所以所以MMl.即即AB,CD,AB,CD,l共点共点.【内化内化悟悟】1.1.证明点共线、线共点问题最终都可以归结为什么问证明点共线、线共点问题最终都可以归结为什么问题题?提示提示:最终都可以归结为利用公理最终都可以归结为利用公理3 3证明点在直线上的证明点在直线上的问题问题.2.2.利用公理利用公理3 3证明点在直线上的关键是什么证明点在直线上的关键是什么?提示提示:关键是恰当选择平面关键是恰当选择平面,把直线看作这两个平面的把直线看作这两个平面的交线交线.【类题类题通通】(1)(1)证明三点共线的方法证明三点共线的方法(2)(2)证明三线共点的步骤证明三线共点的步骤【习练习练破破】1.1.已知已知ABCABC在平面在平面外外,其三边所在的直线满足其三边所在的直线满足AB=P,BC=Q,AC=R,AB=P,BC=Q,AC=R,如图所示如图所示.求证求证:P,Q,R:P,Q,R三点共线三点共线.【证明证明】方法一方法一:因为因为AB=P,AB=P,所以所以PAB,PPAB,P平面平面.又又ABAB 平面平面ABC,ABC,所以所以PP平面平面ABC.ABC.所以由公理所以由公理3 3可知可知:点点P P在平面在平面ABCABC与平面与平面的交线上的交线上,同理可证同理可证Q,RQ,R也在平面也在平面ABCABC与平面与平面的交线上的交线上.所以所以P,Q,RP,Q,R三点共线三点共线.方法二方法二:因为因为APAR=A,APAR=A,所以直线所以直线APAP与直线与直线ARAR确定平面确定平面APR.APR.又因为又因为AB=P,AC=R,AB=P,AC=R,所以平面所以平面APRAPR平面平面=PR.=PR.因为因为BB平面平面APR,CAPR,C平面平面APR,APR,所以所以BCBC 平面平面APR.APR.因为因为QBC,QBC,所以所以QQ平面平面APR,APR,又又Q,Q,所以所以QPR,QPR,所以所以P,Q,RP,Q,R三点共线三点共线.2.2.如图如图,ABC,ABC与与A A1 1B B1 1C C1 1不全等不全等,且且A A1 1B B1 1AB,AB,B B1 1C C1 1BC,CBC,C1 1A A1 1CA.CA.求证求证:AA:AA1 1,BB,BB1 1,CC,CC1 1交于一点交于一点.【证明证明】如图所示如图所示,因为因为B B1 1C C1 1BC,BC,所以所以B B1 1C C1 1与与BCBC确定一个平面确定一个平面,记为平面记为平面.同理同理,将将C C1 1A A1 1与与CACA所确定的平面记为平面所确定的平面记为平面.易知易知=C=C1 1C.C.因为因为ABCABC与与A A1 1B B1 1C C1 1不全等不全等,且且A A1 1B B1 1AB,AB,所以所以AAAA1 1与与BBBB1 1相交相交,设交点为设交点为P,PAAP,PAA1 1,PBB,PBB1 1.而而AAAA1 1,BB,BB1 1,所以所以P,P,P,P,所以所以P P在平面在平面与平面与平面的交线上的交线上.又又=C=C1 1C,C,所以所以PCPC1 1C,C,所以所以AAAA1 1,BB,BB1 1,CC,CC1 1交于一点交于一点.【加练加练固固】如图如图,在四边形在四边形ABCDABCD中中,已知已知ABCD,ABCD,直线直线AB,BC,AD,DCAB,BC,AD,DC分别与平面分别与平面相交于点相交于点E,G,H,F.E,G,H,F.求证求证:E,F,G,H:E,F,G,H四点必定共线四点必定共线.【证明证明】因为因为ABCD,ABCD,所以所以AB,CDAB,CD确定一个平面确定一个平面(即平即平面面ABCD),ABCD),又因为又因为AB=E,ABAB=E,AB,所以所以E,E,E,E,即即E E为平面为平面与与的一个公共点的一个公共点.同理可证同理可证F,G,HF,G,H均为平面均为平面与与的公共点的公共点,两个平面有两个平面有公共点公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所所以以E,F,G,HE,F,G,H四点必定共线四点必定共线.