111变化率问题及导数的概念.ppt
微积分主要与四类问题的处理相关:l一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等求物体在任意时刻的速度与加速度等;l二、求曲线的切线二、求曲线的切线;l三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;l四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。最一般、最有效的工具。3.1.13.1.1变化率问题变化率问题3.1.1变化率问题变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题导数研究的问题 的快慢程度的快慢程度变化率问题变化率问题问题1 高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）存在函（单位：秒）存在函数关系数关系 h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.用运动员在某些时间段内的用运动员在某些时间段内的 平均速度粗略地描述其运动状态平均速度粗略地描述其运动状态请计算请计算hto1.1.1变化率问题请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10l问题问题2 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的增随着气球内空气容量的增加加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角从数学角度度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?l气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系之间的函数关系是是l如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么我们来分析一下:l当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为l当当V从从1增加到增加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为显然显然0.620.16思考?l当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平均气球的平均膨胀率是多少膨胀率是多少?平均变化率定义平均变化率定义:l若设若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)则则平均变化率平均变化率为为这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的上述问题中的变化率变化率可用式子可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率 思考?l观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜的斜率率 其几何意义其几何意义是是 表示曲线上两点连线（就是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。曲线的割线）的斜率。练习：l2.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动的规律作直线运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为度为h（单位：（单位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位：单位：s)存存在函数关系在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？2 0时时2 0时时2 3.1.2导数的概念导数的概念瞬时速度 在局部以在局部以平均速度平均速度代替代替瞬时速度瞬时速度，然后通过，然后通过取极限取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：思考：如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？(2)运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的瞬时变化率瞬时变化率是是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即导数的定义导数的定义:由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:一差、二比、三极限一差、二比、三极限问题问题:l求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.分析：先求分析：先求y=f(x)-f()=6x+3(x)2 再求再求再求再求应用：应用：l例例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：0C）为）为 f(x)=x2-7x+15(0 x8).计算第计算第2（h)和第和第6（h）时，原）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义导数的几何意义:相应的相应的 ,y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线处的切线方程为：方程为：函数函数y=f(x)在在x=x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就就是是曲线曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率导数的几何意义导数的几何意义:这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.例2、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数导函数导函数由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0)是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变变化时化时,f(x)便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的的导函数导函数.即即:小结：小结：1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量ss=s(t+t)-s(ts(t+t)-s(t)(2)(2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限
