2023年新高考一轮复习讲义第19讲 利用导数证明不等式含答案.docx

2023年新高考一轮复习讲义第19讲利用导数证明不等式学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知数列中，若，则下列结论中错误的是（       ）ABCD2（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）下列大小比较中，错误的是（       ）ABCD3（2022·河北衡水中学一模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（       ）ABCD4（2022·福建福州·高三期末）设函数，则（       ）AB函数有极大值为C若，则D若，且，则5（多选）（2022·湖南·模拟预测）已知，且，则下列结论一定正确的是（       ）ABCD6（2022·河北沧州·二模）已知实数满足，则（       ）ABCD7（2022·北京市第九中学模拟预测）已知(1)当时，判断函数零点的个数；(2)求证：.8（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数.(1)若函数，讨论的单调性.(2)若函数，证明：.9（2022·湖南·雅礼中学二模）已知.(1)求的最大值；(2)求证：（i）存在，使得；（ii）当存在，使得时，有.10（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数(1)求函数的最大值；(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；(3)证明：11（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数自然对数底数）.(1)当时，求函数f（x）的单调区间；(2)当时，（i）证明：存在唯一的极值点：（ii）证明：【素养提升】1（2022·重庆八中高三阶段练习）已知为常数，函数有两个极值点，则（       ）ABCD2（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）已知函数(1)求的极值点(2)若有且仅有两个不相等的实数满足（i）求k的取值范围（）证明3（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，且，证明：；证明：（注：为自然对数的底数）试卷第7页，共7页（北京）股份有限第19讲利用导数证明不等式学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知数列中，若，则下列结论中错误的是（       ）ABCD【答案】D【解析】解：A. 由题得所以该选项正确；B. 由题得，所以，当时，也满足，所以，所以该选项正确；C. 由前面得，所以也适合，所以.设，所以函数在单调递减，所以 所以，所以，所以所以，所以该选项正确；D. ,所以该选项错误.故选：D2（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）下列大小比较中，错误的是（       ）ABCD【答案】D【解析】解：对于选项D,构造函数，所以，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. 所以.（当且仅当时取等）则令，则，化简得，故，故，故，所以选项D错误；对于选项A，在中，令，则，化简得，故，所以. 所以，所以选项A正确；对于选项B,在中，令，则，所以，所以选项B正确；对于选项C, 所以，所以选项C正确.故选：D3（2022·河北衡水中学一模）已知实数，且，为自然对数的底数，则（       ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，函数在上单调递增，且，因为所以，所以，即，又，所以，所以，即，综上，.故选：D4（2022·福建福州·高三期末）设函数，则（       ）AB函数有极大值为C若，则D若，且，则【答案】A【解析】A. ，故正确；B. 求导，令，得，当时，当时，所以当时，函数有极小值为，故错误；C. 因为，所以，则，令，则，令，得或，当或，当时，故无最小值，故错误；D.，因为，且，所以，由B知在上递减，在上递增，所以，因为的大小不确定，故无法判断的大小，故错误；故选：A5（多选）（2022·湖南·模拟预测）已知，且，则下列结论一定正确的是（       ）ABCD【答案】AC【解析】令，则，所以当时，所以在上单调递增；由得，即，即，即，A正确；由知，所以，所以选项B错误；由知，所以选项C正确由，知，所以，所以D错误，故选：AC6（2022·河北沧州·二模）已知实数满足，则（       ）ABCD【答案】BCD【解析】由得，又，所以，所以，所以，选项错误；因为，所以，即，所以，选项正确，因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增，所以，即，又，所以，即，选项正确.故选：BCD7（2022·北京市第九中学模拟预测）已知(1)当时，判断函数零点的个数；(2)求证：.【解】(1)当时，当且仅当时取“=”，所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，所以函数零点的个数是1.(2)，令，则，因，则，因此，函数在上单调递增，所以当时，成立.8（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数.(1)若函数，讨论的单调性.(2)若函数，证明：.【解】(1)解：因为，所以，的定义域为，.当时，在上单调递增.当时，若，则单调递减；若，则单调递增.综上所述：当时，f(x)在上单调递增; 当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增 ；(2)证明：.设，则.当时，单调递减；当时，单调递增.所以，因此，当且仅当时，等号成立.设，则.当时，单调递减：当时，单调递增.因此，从而，则，因为，所以中的等号不成立，故.9（2022·湖南·雅礼中学二模）已知.(1)求的最大值；(2)求证：（i）存在，使得；（ii）当存在，使得时，有.【解】(1)法一：，当时，单调递增；当时，单调递减.法二：，由在上均为减函数，在上单调递减，又，当时，单调递增；当时，单调递减.(2)过的直线方程为，令，则.，易知在单调递减.（i）当时，在单调递减，则，这与矛盾，不符题意；同理可证，当时不符题意.，故存在，使，即.（ii）要证，即证，由在单调递减，即证，即证，即证，可证，其中.在单调递减，式得证，故.10（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数(1)求函数的最大值；(2)若关于x的方程有实数根，求实数k的取值范围；(3)证明：【解】(1)，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减所以，即当时，取最大值1(2)依题意，令，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，即，因此的值域是，方程有解，有，所以实数k的取值范围是.(3)由（1）知，当且仅当时取等号，因此当时，即当时，             所以11（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数自然对数底数）.(1)当时，求函数f（x）的单调区间；(2)当时，（i）证明：存在唯一的极值点：（ii）证明：【解】(1)，构建当时，则在上单调递减，且当时，当时，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为(2)（i）由（1）可知：当时，在上单调递减在内存在唯一的零点当时，当时，则函数的单调递增区间为，单调递减区间为存在唯一的极值点（ii）由（i）可知：，即，且在单调递减则构建，则当时恒成立则在上单调递增，则则，即【素养提升】1（2022·重庆八中高三阶段练习）已知为常数，函数有两个极值点，则（       ）ABCD【答案】AC【解析】,令, 由题意可得有两个实数解； 所以函数有且只有两个零点； . 当时,单调递增, 因此至多有一个零点, 不符合题意, 应舍去；当时, 令, 解得,因为当 时, , 函数单调递增;当时,   , 函数单调递减,所以是函数的极大值点, 则>0 , 即>0 ,解得，故选项A正确；因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，故选项C正确；又，所以，=，令，则，当，单调递增，而，所以，故选项D错误；当时（符合，此时仍有两个极值点），此时，解得，所以，故正负不确定，因此选项B错误；综上所述，AC为正确答案；故选：AC.2（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）已知函数(1)求的极值点(2)若有且仅有两个不相等的实数满足（i）求k的取值范围（）证明【解】(1)函数的导函数为.当时，所以函数单调递减；当时，所以函数单调递增.所以为的极值点.(2)因为有且仅有两个不相等的实数满足，所以.（i）问题转化为在(0,+)内有两个零点,则.当时, ,单调递减；当时, ,单调递增.若有两个零点,则必有,解得：.若k0,当时, ,无法保证有两个零点；若,又,，,故存在使得,存在使得.综上可知, .（）设则t(1,+).将代入,可得，（*）.欲证: ，需证即证，将（*）代入，则有，则只需要证明：，即.构造，则，.令，则.所以，则，所以在内单减.又，所以当时，有，单调递增；当时，有，单调递减；所以，因此，即.综上所述，命题得证.3（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，且，证明：；证明：（注：为自然对数的底数）【解】(1)函数，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，此时单调递减，令，此时单调递增.综上可得：当时，的增区间为，无减区间；当时，的增区间为，减区间为.(2)证明：由（1）可知，当时，不可能有两个零点，当时，即时，有两个零点且，.设，则，所以在上单调递增，即，所以，又，因为在单调递减，所以且，故；，由，故，而且在单调递增，所以，又，则；由于，由可知.综上可得：试卷第24页，共17页（北京）股份有限第20讲利用导数研究不等式的恒成立问题学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（       ）ABCD2（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（       ）ABCD3（2022·重庆八中模拟预测）已知函，（为自然对数底数，），若对成立，则实数a的最大值为（       ）AB1CD4（2022·辽宁沈阳·三模）已知函数的图象恒在的图象的上方，则实数m的取值范围是（       ）ABCD5（2022·江苏扬州·模拟预测）已知为正整数，若对任意，不等式成立，则的最大值为（       ）A2B3C4D56（2022·江苏·模拟预测）已知且成立，则（       ）ABCD7（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，若存在实数使不等式成立，则a的取值范围为(       )ABCD8（2022·浙江绍兴·高三期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则（       ）A既有最小值，也有最大值B有最小值，没有最大值C有最大值，没有最小值D既没有最小值，也没有最大值9（多选）（2022·广东·模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（       ）ABC1D10（多选）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（            ）ABCD211（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_     .12（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为_.13（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_.14（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数，），当时，函数在点处的切线方程为_；若对）成立，则实数a的最大值为_.15（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数(1)请讨论函数的单调性(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围16（2022·山东临沂·三模）已知函数，其图象在处的切线过点(1)求a的值；(2)讨论的单调性；(3)若，关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围17（一题多解）（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.【素养提升】1（2022·广东广州·三模）对于任意都有，则的取值范围为（       ）ABCD2（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，函数，当x1时，恒成立，则实数的最小值为（       ）ABCD13（2022·山东聊城·三模）已知函数（且），若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_.4（2022·辽宁·二模）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为_5（2022·福建龙岩·模拟预测）若对恒成立，则实数m的取值范围是_.6（2022·山东聊城·三模）已知函数，.(1)当b=1时，讨论函数的单调性；(2)若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.试卷第30页，共6页（北京）股份有限第20讲利用导数研究不等式的恒成立问题学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（       ）ABCD【答案】B【解析】由，即，即，即对恒成立，令，则在上单调递增，由即，即，因为在上单调递增，故选：B.2（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（       ）ABCD【答案】A【解析】由题设，令，则恒成立，令，则，当时，递减；当时，递增；所以，故递增，当，即时，不合题意；当，即时，要使恒成立，则恒成立，令且，则，当时，递减；当时，递增；所以，故在上递增，而，此时时，即恒成立.综上，的取值范围为.故选：A3（2022·重庆八中模拟预测）已知函，（为自然对数底数，），若对成立，则实数a的最大值为（       ）AB1CD【答案】C【解析】解：因为，恒成立，即，所以，故令，在上恒成立，所以，在上单调递减，所以，两边取对数得，即，记，则，所以，当，单调递减，当时，单调递增，所以，的最小值是，故，所以，实数a的最大值是 故选：C4（2022·辽宁沈阳·三模）已知函数的图象恒在的图象的上方，则实数m的取值范围是（       ）ABCD【答案】A【解析】由题意可得，故，即令，则单调递增，原不等式可化为，所以，即，令，则，当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，故，所以.故选：A5（2022·江苏扬州·模拟预测）已知为正整数，若对任意，不等式成立，则的最大值为（       ）A2B3C4D5【答案】B【解析】因为对恒成立，令，当时，在上单调递减，时，不满足题意；当时，恒成立；当时，所以在上递增，在上递减，设，所以在上递减，在上递增，而成立，成立，故选：B.6（2022·江苏·模拟预测）已知且成立，则（       ）ABCD【答案】C【解析】依题意，构造函数，所以在区间递减；在区间递增.若，则，不符合题意.若，则，符合题意，若，此时对任意，有两个不同的实数根，则存在，使“且”成立.对任意，有两个不同的实数根，则存在，使“且”成立.综上所述，.故选：C7（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，若存在实数使不等式成立，则a的取值范围为(       )ABCD【答案】A【解析】令得，将化简得，令，则，令，为增函数，当时，为增函数，；当时，为减函数，；因此最小值为1，从而，即故选：A8（2022·浙江绍兴·高三期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则（       ）A既有最小值，也有最大值B有最小值，没有最大值C有最大值，没有最小值D既没有最小值，也没有最大值【答案】B【解析】变形为：，令（）则上式可化为：，其中，所以（）单调递增，故，即，令，则，当时，当时，所以在处取得极大值，也是最大值，故，所以，解得：，综上：有最小值，无最大值.故选：B9（多选）（2022·广东·模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（       ）ABC1D【答案】AD【解析】设，则，所以在上单调递增，所以，所以，又在上恒成立，所以在上单调递增，所以对恒成立，即恒成立令，当时，故，解得或，所以a的值可以为，故选：AD.10（多选）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（            ）ABCD2【答案】ACD【解析】解：由题意，不等于，由，得，令，则，设，则，因为函数在上单词递增，且，所以当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增，从而，即，解得或.故.故选：ACD.11（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_     .【答案】【解析】不等式可化为： ，即.记.因为，所以当时，所以在上单调递增函数，所以当时，即.记，则.因为，所以只需在上递增，所以，只需恒成立.因为在单调递减，所以当时，最大，所以.即实数的取值范围为.故答案为：.12（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为_.【答案】【解析】因为仅在时取等号，故为R上的单调递增函数，故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，可得，恒成立，即恒成立，当时，恒成立，当时，构造函数，恒成立，当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，故需，设，在，上递增，在，递减，故的最小值为 ，故答案为：13（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】易知，将原不等式变形：，可得，即，其中.设，则，原不等式等价于.当时，原不等式显然成立；当时，因为在上递增，恒成立，设，则，所以在递减，递增，所以的最小值为，故.故答案为：14（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数，），当时，函数在点处的切线方程为_；若对）成立，则实数a的最大值为_.【答案】          【解析】由题意当时，则，所以函数在点处的切线方程为，即.因为，即，则，令，在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，记，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是.故答案为：；.15（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数(1)请讨论函数的单调性(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围【解】(1)当时，在上递增当时，在，单调递减在上，单调递增(2)原式等价于设，由（1）当时，为增函数 ， ，等式等价于恒成立，时，成立，时，设，设，所以在上为增函数，又因为，所以在上，为减函数，在上，为增函数， ，16（2022·山东临沂·三模）已知函数，其图象在处的切线过点(1)求a的值；(2)讨论的单调性；(3)若，关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围【解】(1)解：因为函数，所以，则，所以函在处的切线方程为，又因为切线过点，所以，即，解得；(2)由（1）知；，则，令，则，当时，当时， 所以即当时，当时，所以在上递增，在上递增；(3)因为x的不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为在上递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，当时，当时，所以当时，取得最大值，所以.17（一题多解）（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.【解】(1)因为，所以，即.当时，令，则，所以在单调递增，因为，所以，当时，；当时，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)法一：设，则，当时，即，故不符合题意.当时，当时，.·令，即，取，则，即，.故不符合题意.当时，令，则，故在单调递增.因为，所以存在唯一的使得，所以，时，；时，故在单调递减，在单调递增.所以的最小值为，因为，即，两边取对数得，所以.令，则，所以在单调递增，在单调递减，故，当且仅当时，等号成立，故当且仅当时，在恒成立，综上，存在a符合题意，.法二：设，则，设，易知在单调递增，当时，因为，所以存在唯一，使得，即，.所以当，即，单调递减；当，即，单调递增.故，即，符合题意.当时，所以存在唯一，使得，所以当，即，单调递减，故，即，故不符合题意.当时，所以存在唯一，使得，所以当，即.所以在单调递增，故，即，故不符合题意.当时，不符合题意.当时，不符合题意.综上，存在a符合题意，.法三：当时，故在上单调递增.因为在单调递增，且，故存在唯一，使得，即，即，故，所以任意，都有.故不符合题意.当时，对于函数，.所以时，；时，.所以在单调递减，在单调递增，故，所以，故，故符合题意.当且时，对于函数，因为在单调递增，且，所以存在，使得，即，所以.令，则，故在单调递增，在单调递减.故，当且仅当时，“=”成立.所以当时，即，故不符合题意.综上，存在a符合题意，.法四：设，易知在单调递增.又当时，所以的值域为；当时，的值域为.所以的值域为.故对于上任意一个值，都有唯一的一个正数，使得.因为，即.设，所以要使，只需.当时，因为，即，所以不符合题意.当时，当时，在单调递减；当时，在单调递增.所以.设，则，当时，在单调递增；当时，在单调递减.所以，所以，当且仅当时，等号成立.又因为，所以，所以.综上，存在a符合题意，.【素养提升】1（2022·广东广州·三模）对于任意都有，则的取值范围为（       ）ABCD【答案】B【解析】，令，则，所以在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，所以转化为：，令，当时，所以在上单调递增，所以，所以.当时，您，所以，（i）当即时，所以在上单调递增，所以.(ii)当即时， 在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.综上，的取值范围为：.故选：B.2（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，函数，当x1时，恒成立，则实数的最小值为（       ）ABCD1【答案】D【解析】解：因为x1时，恒成立，所以 在x1时，恒成立，即，在 x1时，恒成立，令，则，又，当时，即，因为，不成立；当时，即，则 所以在上递增，则，所以在上递增，所以，解得，实数的最小值为1，故选：D3（2022·山东聊城·三模）已知函数（且），若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】解：因为函数（且），所以，当，时，则在上成立，所以在上递增，所以，所以，因为任意的，不等式恒成立，所以，即，解得，当，时，则在上成立，所以在上递增，所以，所以，因为任意的，不等式恒成立，所以，即，解得，综上：实数a的取值范围为，故答案为：4（2022·辽宁·二模）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为_【答案】【解析】由题意，不等式可变形为，得对任意恒成立.设，则对任意恒成立，当时，所以函数在上单调递减，当时，所以函数在上单调递增.当时，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，因为函数在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得上，由于，所以.令，则，令，得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.故答案为：.5（2022·福建龙岩·模拟预测）若对恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】解：因为对恒成立，即对恒成立，记，所以，令，令，则，所以当时，所以在上单调递增，所以，即，则所以在上是增函数，所以当，即时，在上是增函数，所以符合题意；当时，且当时， 所以，使得，即当时，单调递减，此时，所以不符合题意，综上可得，即故答案为：6（2022·山东聊城·三模）已知函数，.(1)当b=1时，讨论函数的单调性；(2)若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.【解】(1)当b=1时，定义域为（0，+），.当时，所以函数在（0，+）上单调递减.当时，令，得；令，得，所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减.综上，当时，函数在（0，+）上单调递增，当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减.(2)因为函数在处的切线方程为y=(e1)x2，所以，且，由于，所以解得a=b=1，所以f(x)=lnxx，所以f(x)g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.令，所以，.令，则恒成立，所以G(x)在（0，）上单调递增.由于G(1)=e>0，所以使得，即，（）所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0，即F(x)在上单调递减，在上单调递增，所以，由（）式可知，令，又x>0，所以，即s(x)在（0，+）上为增函数，所以，即，所以，所以所以，实数m的取值范围为（，1.