2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第3讲 圆锥曲线第三定义含解析.pdf

2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 3讲讲 圆锥曲圆锥曲线第三定义线第三定义一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题）1椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为1A，2A，点P在C上且直线1PA的斜率的取值范围是 2，1，那么直线2PA斜率的取值范围是()A1 3,2 4B3 3,8 4C1,12D3,142椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为1A，2A，点P在C上且直线2PA的斜率的取值范围是 3，1，那么直线1PA斜率的取值范围是()A14，34B12，34C12，1D34，13椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为M、N，点P在C上，且直线PN的斜率为14，则直线PM斜率为()A13B3C13D34设椭圆22221(0)xyabab长轴的两个顶点分别为A、B，点C为椭圆上不同于A、B的任一点，若将ABC的三个内角记作A、B、C，且满足3tan3tantan0ABC，则椭圆的离心率为()A33B13C63D235已知A，B，P为双曲线2214yx 上不同三点，且满足2(PAPBPO O 为坐标原点），直线PA，PB的斜率记为m，n，则224nm 的最小值为()A8B4C2D16已知A，B，P是双曲线22221xyab上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为()A22B62C2D2137已知A，B，P是双曲线2222:1(0,0)xyCabab上的不同的三点，直线PA的斜率为1k，直线PB的斜率为2k，且1k，2k是关于x的方程2430 xmx的两个实数根，若0OAOB ，O为坐标原点，则双曲线C的离心率是()A2B72C2D32二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题）8已知A、B、P为双曲线2214yx 上不同三点，且满足2(PAPBPO O 为坐标原点），直线PA、PB的斜率记为m，n，则229nm 的最小值为9已知A，B是椭圆22221(0)xyabab和双曲线22221xyab的公共顶点，P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P，M都异于A，)B，且()PAPBMAMB ，其中R，设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为1k，2k，3k，4k，若123kk，则34kk10已知A，B椭圆2222:1xyCab和双曲线22221(0)xyabab的左右顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足()(,|1)PAPBQAQBR ，设直线PA、PB、QA、QB的斜率分别为1k、2k、3k、4k，则1234kkkk11已知A、B、P是双曲线22221xyab上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，若直线PA，PB的斜率乘积12PAPBkk，则该双曲线的离心率e 三解答题（共三解答题（共 4 小题）小题）12如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142xy的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当2k 时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意0k，求证：PAPB13已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左焦点1(5,0)F，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1DF相切于线段1DF的中点F（）求椭圆E的方程；（）已知两点(2,0)Q，(0,1)M及椭圆22229:1xyGab，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（）过坐标原点O的直线交椭圆222294:12xyWab于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PAPB14如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142xy的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）求PMN，面积S的最大值，并指出对应的点P的坐标；（3）对任意的0k，过点P作PA的垂线交椭圆于B，求证：A，C，B三点共线15椭圆22221(0)xyabab，过原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连AC，并延长交椭圆于B，若PAPB，求椭圆的离心率第第 3 讲讲 圆锥曲线第三定义圆锥曲线第三定义参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题）1椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为1A，2A，点P在C上且直线1PA的斜率的取值范围是 2，1，那么直线2PA斜率的取值范围是()A1 3,2 4B3 3,8 4C1,12D3,14【解答】解：设0(P x，0)y，22003(4)4yx，由1(2,0)A，2(2,0)A，1220002200034PAPAyyykkxaxaxa，1234PAPAkk，由1 2PAk，1，23421PAk，则23384PAk，直线2PA斜率的取值范围38，34，故选：B2椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为1A，2A，点P在C上且直线2PA的斜率的取值范围是 3，1，那么直线1PA斜率的取值范围是()A14，34B12，34C12，1D34，1【解答】解：由椭圆22:143xyC可知其左顶点1(2,0)A，右顶点2(2,0)A设0(P x，00)(2)yx ，则得2020344yx 记直线1PA的斜率为1k，直线2PA的斜率为2k，则201220344yk kx 直线2PA斜率的取值范围是 3，1，直线1PA斜率的取值范围是14，34故选：A3椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为M、N，点P在C上，且直线PN的斜率为14，则直线PM斜率为()A13B3C13D3【解答】解：椭圆22:143xyC的左、右顶点分别为M、N，M点坐标为(2,0)，N点坐标为(2,0)，又直线PN的斜率为14，直线PN的方程为：1(2)4yx，代入椭圆22:143xyC方程可得：2134440 xx，设P点坐标为(,)x y，则4213x，解得2213x ，1213y，故直线PM斜率1213322213k，故选：B4设椭圆22221(0)xyabab长轴的两个顶点分别为A、B，点C为椭圆上不同于A、B的任一点，若将ABC的三个内角记作A、B、C，且满足3tan3tantan0ABC，则椭圆的离心率为()A33B13C63D23【解 答】解：因 为3tan3tantan0ABC可 得3sin3sinsin()coscoscos()ABABABAB，即3(sincossincos)sin()coscoscos()ABBAABABAB，而 在 三 角 形 中，sincoscossinsin()0ABABAB，所 以 上 式 可 得3cos()coscos0ABAB而cos()coscossinsinABABAB，所以可得2coscos3sinsinABAB，即2tantan3AB，由题意可得(,0)Aa，(,0)B a，设0(C x，0)y，可得2200221xyab，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示：在ACD中，00tanyAxa，在ABD中，00tanyBax，所以220222000222220000(1)tantanxbyyybaABxa axaxaxa，所以可得2223ba，所以离心率22231133cbeaa故选：A5已知A，B，P为双曲线2214yx 上不同三点，且满足2(PAPBPO O 为坐标原点），直线PA，PB的斜率记为m，n，则224nm 的最小值为()A8B4C2D1【解答】解：满足2(PAPBPO O 为坐标原点），A，B关于原点对称，设1(A x，1)y，1(Bx，1)y，0(P x，0)y，则220014yx，221114yx，直线PA，PB的斜率记为m，n，满足220122014yymnxx，则222442nnmmmn，即224nm 的最小值为 4故选：B6已知A，B，P是双曲线22221xyab上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为()A22B62C2D213【解答】解：由题意，设1(A x，1)y，2(P x，2)y，则1(Bx，1)y，2221212122212121PAPByyyyyykkxxxxxx，2211221xyab，2222221xyab，两式相减可得2222122221yybxxa，43PAPBkk，2243ba，222273abea，则213e 故选：D7已知A，B，P是双曲线2222:1(0,0)xyCabab上的不同的三点，直线PA的斜率为1k，直线PB的斜率为2k，且1k，2k是关于x的方程2430 xmx的两个实数根，若0OAOB ，O为坐标原点，则双曲线C的离心率是()A2B72C2D32【解答】解：设点P的坐标为(,)x y，点A的坐标为0(x，0)y，因为0OAOB ，所以点B的坐标为0(x，0)y，因为1234k k，所以000034yyyyxxxx，即22022034yyxx，又P，A在双曲线2222:1(0,0)xyCabab上，所以22221xyab，2200221xyab，两式相减得2222002211()()0 xxyyab，即22202220yybxxa，又因为22022034yyxx，所以2234ba，所以2222344()abca，所以2274ac，72cea，故选：B二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题）8已知A、B、P为双曲线2214yx 上不同三点，且满足2(PAPBPO O 为坐标原点），直线PA、PB的斜率记为m，n，则229nm 的最小值为83【解答】解：由2(PAPBPO O 为坐标原点），得O为AB的中点，设1(A x，1)y，2(P x，2)y，则1(Bx，1)y，2121yymxx，2121yynxx，故2221212122212121yyyyyymnxxxxxx，又由A、B、P为双曲线上的点，221114yx，222214yx，代入，可得2221222141()4yymnyy222282993nnmm当且仅当229nm 时上式“”成立229nm 的最小值为83故答案为：839已知A，B是椭圆22221(0)xyabab和双曲线22221xyab的公共顶点，P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P，M都异于A，)B，且()PAPBMAMB ，其中R，设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为1k，2k，3k，4k，若123kk，则34kk3【解答】解：根据题意可得(,0)Aa，(,0)B a，设1(P x，1)y，2(M x，2)y，因为()PAPBMAMB 其中R，所以1(xa，11)(yxa，12)(yxa，22)(yxa，2)y，所以1221x yx y，因为P，M都异于A，B，所以10y，20y，1212xxyy，由1111122211123yyx ykkxaxaxa，因为2211221xyab，由得，21221232xxayyb，222234222222yyx ykkxaxaxa，又因为2222221xyab，所以222234222222332xbbakkayab 故答案为：310已知A，B椭圆2222:1xyCab和双曲线22221(0)xyabab的左右顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足()(,|1)PAPBQAQBR ，设直线PA、PB、QA、QB的斜率分别为1k、2k、3k、4k，则1234kkkk0【解答】解：A、B为椭圆22221xyab和双曲线22221(0)1xyabab的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，由()(PAPBQAQBR ，|1)，即22POQO，可得OPOQ，则点P，Q，O三点共线设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，则211111111222222111112222yyx yx yxbkkaxaxaxaayyb，同理，得：2234222xbkkay，OPOQ，12xx，12yy，1212xxyy，2123422(bkkkka1212)0 xxyy故答案为：011已知A、B、P是双曲线22221xyab上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，若直线PA，PB的斜率乘积12PAPBkk，则该双曲线的离心率e 62【解答】解：由题意，设1(A x，1)y，2(P x，2)y，则1(Bx，1)y2221212122212121PAPByyyyyykkxxxxxx2211221xyab，2222221xyab，两式相减可得2222122221yybxxa12PAPBkk，2212ba22212caa，22112ca 2232ca，62cea 故答案为：62三解答题（共三解答题（共 4 小题）小题）12如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142xy的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当2k 时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意0k，求证：PAPB【解答】解：（1）由题设知，2a，2b，故(2,0)M，(0,2)N，所以线段MN中点坐标为2(1,)2 由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以22k（2）直线PA的方程为2yx，代入椭圆方程得224142xx，解得23x ，因此2(3P，4)3，2(3A，4)3于是2(3C，0)，直线AC的斜率为 1，故直线AB的方程为203xy因此，242|2 233331 1d（3）设1(P x，1)y，2(B x，2)y，则10 x，20 x，12xx，2211142xy，2222142xy，221124xy，222224xy，1(Ax，1)y，1(C x，0)设直线PB，AB的斜率分别为1k，2k因为C在直线AB上，所以1121110()()22yykkxxx ，从而2221212111222212121()22121211()yyyyyykkk kxxxxxx 22222211222221212(2)440 xyxyxxxx因此11kk ，所以PAPB13已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左焦点1(5,0)F，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1DF相切于线段1DF的中点F（）求椭圆E的方程；（）已知两点(2,0)Q，(0,1)M及椭圆22229:1xyGab，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（）过坐标原点O的直线交椭圆222294:12xyWab于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PAPB【解答】（本小题满分 14 分）解：（）连接2DF，(FO O为坐标原点，2F为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为2(5,0)F因为FO是12DF F的中位线，且1DFFO，所以2|2|2DFFOb，所以12|2|22DFaDFab，故111|2FFDFab（2 分）在1Rt FOF中，22211|FOFFFO即222()5babc，又225ba，解得29a，24b，所求椭圆E的方程为22194xy（4 分）（）由（）得椭圆22:14yG x 设直线l的方程为(2)yk x并代入2214yx 整理得：2222(4)4440kxk xk由0得：223333k，（5 分）设1(H x，1)y，2(K x，2)y，0(N x，0)y则由中点坐标公式得：202002248(2)4kxkkyk xk（6 分）当0k 时，有(0,0)N，直线MN显然过椭圆G的两个顶点(0,2)，(0,2)（7 分）当0k 时，则00 x，直线MN的方程为0011yyxx此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点(0,2)，(0,2)；若直线MN过椭圆G的顶点(1,0)，则00101yx，即001xy，所以22228144kkkk，解得：2,23kk（舍去），（8 分）若直线MN过椭圆G的顶点(1,0)，则00101yx，即001xy，所以22228144kkkk，解得：42 5,42 5kk （舍去）（9 分）综上，当0k 或23k 或42 5k 时，直线MN过椭圆G的顶点（10 分）（）法一：由（）得椭圆W的方程为2212xy，（11 分）根据题意可设(,)P m n，则(,)Amn，(,0)C m则直线AC的方程为()2nynxmm，过点P且与AP垂直的直线方程为()mynxmn，并整理得：222222xmyn，又P在椭圆W上，所以2212mn，所以2212xy，即、两直线的交点B在椭圆W上，所以PAPB（14 分）法二：由（）得椭圆W的方程为2212xy根据题意可设(,)P m n，则(,)Amn，(,0)C m，PAnkm，2ACnkm，所以直线22()2:()212nyxmnmAC yxmmxy，化简得22222(1)2022nnnxxmm，所以22222ABmnxxmn，因为Axm，所以3222232Bmmnxmn，则322222BBnnnyxmmn（12 分）所以32232222232PBnnmmnkmmnnmmn，则1PAPBkk，故PAPB（14 分）14如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142xy的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）求PMN，面积S的最大值，并指出对应的点P的坐标；（3）对任意的0k，过点P作PA的垂线交椭圆于B，求证：A，C，B三点共线【解答】（1）解：由题设知，2a，2b，故(2,0)M，(0,2)N，线段MN中点坐标为2(1,)2 由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，22k；（2）解：(2,0)M，(0,2)N，2020(2)2MNk ，设与MN平行的直线方程为22yxm，联立2222142yxmxy，得22220 xmxm由22(2)480mm，解得：2m 由题意可知，当2m 时，直线222yx 与直线MN的距离最大，最大值22|4|2 63(2)2d即PMN面积S有最大值，等于112 6|62223MN d 由22 220 xx，解得2x，1y P点坐标为(2,1)；（3）证明：设1(P x，1)y，2(B x，2)y，PB中点0(Q x，0)y，则2211142xy，2222142xy，两式作差可得：12121212()()()()42xxxxyyyy，0121202xyyxxy，即002PBxky PAPB，00()12xky ，即002ykx002OQykkxPOOA，PQQB，/OQAB，即2ABkk111110022AACACyyykkxxxxxACABkk故A，C，B三点共线15椭圆22221(0)xyabab，过原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连AC，并延长交椭圆于B，若PAPB，求椭圆的离心率【解答】解：设1(P x，1)y，2(B x，2)y，则10 x，20 x，12xx，1(Ax，1)y，11PAykx，1212PByykxx，1211212AByyykxxxPAPB，112112()1()y yyx xx，112112()112()2y yyx xx 2211221xyab，2222221xyab，由可得222212122211()()0 xxyyab，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，2212ba22212cbeaa 第第 4 讲讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题锥曲线问题一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题）1已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是()A15B3C2 3D22如图，从双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MOMT与ba的大小关系为()A|MOMTbaB|MOMTbaC|MOMTbaD以上三种可能都有3 从双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MOMT等于()AcaBbaCabDcb4设1F，2F是双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点，点P在双曲线上，已知1|PF是2|PF和12|F F的等差中项，且12120F PF，则该双曲线的离心率为()A1B32C52D725已知点P是椭圆22221(0,0)xyabxyab上的动点，1(,0)Fc、2(,0)F c为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是12F PF的角平分线上的一点，且1FMMP，则|OM的取值范围是()A(0,)cB(0,)aC(,)b aD(,)c a6设1(,0)Fc，2(,0)F c是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是12F PF的角平分线，过点1F作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ的长为()A定值aB定值bC定值cD不确定，随P点位置变化而变化7圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点 直线:280l xy与椭圆22:11612xyC相切于点P，椭圆C的焦点为1F，2F，由光学性质知直线1PF，2PF与l的夹角相等，则12F PF的角平分线所在的直线的方程为()A210 xy B10 xy C210 xy D10 xy 8根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知1F，2F分别是双曲线22:12yC x 的左、右焦点，若从点2F发出的光线经双曲线右支上的点0(A x，2)反射后，反射光线为射线AM，则2F AM的角平分线所在的直线的斜率为()A3B33C33D39 设直线30(0)xymm与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A，B，若点(,0)P m满足|PAPB，则该双曲线的离心率是()A52B32C52D5110椭圆22221(0)xyabab的右焦点为(,0)F c关于直线byxc的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是()A512B22C212D35二多选题（共二多选题（共 1 小题）小题）11已知1F，2F分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为3yx，且1F到l的距离为3 3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为(2,0)，PQ为12F PF的平分线，则下列正确的是()A双曲线的方程为221927xyB12|2|PFPFC12|3 6PFPF D点P到x轴的距离为3 152三填空题（共三填空题（共 7 小题）小题）12已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF为半径的圆上，则|PF；P点的坐标为13已知F是抛物线2yx的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|3AFBF，则线段AB的中点到y轴的距离为14抛物线22(0)ypx p的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足120AFB过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MNAB的最大值为15设抛物线22(0)ypx p的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足60AFB，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MNAB的最大值为16抛物线22(0)ypx p的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足90AFB，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MNAB 的最大值为17已知1F、2F分别为双曲线22:1927xyC的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2,0)，AM为12F AF的平分线，则2|AF 18如图，从椭圆的一个焦点1F发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点2F，事实上，点0(P x，0)y处的切线00221xxyyab垂直于12F PF的角平分线已知椭圆22:143xyC的两个焦点是1F，2F，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，12F PF的角平分线PT交椭圆C的长轴于点(,0)T t，则t的取值范围是四解答题（共四解答题（共 8 小题）小题）19已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点分别为：1(2,0)F，2(2,0)F，P为椭圆E上除长轴端点外任意一点，12PFF周长为 12（1）求椭圆E的方程；（2）作12F PF的角平分线，与x轴交于点(,0)Q m，求实数m的取值范围20 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F上椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线1PF、2PF的夹角相等已知12BCF F，垂足为1F，1|3F Bm，12|4FFcm，以12F F所在直线为x轴，线段12F F的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点是否存在m，使得P到2F和P到直线xm的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；若12F PF的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线1PF、2PF的斜率分别为1k，2k，请问21kkkk是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由21在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab与直线:()l xm mR，四点(3,1)，(2 2，0)，(3,1)，(3，3)中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线l上()I求椭圆C的方程；（）若动点P在直线l上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得|PMPN，再过P作直线lMN 证明直线l恒过定点，并求出该定点的坐标22已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右焦点分别为1F，2F，上顶点为BQ为抛物线224yx的焦点，且10FB QB ，12120FFQF（）求椭圆C的标准方程；（）过定点(0,4)P的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在P，N之间），设直线l的斜率为(0)k k，在x轴上是否存在点(,0)A m，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由23在离心率12e，椭圆C过点3(1,)2，12PFF面积的最大值为3，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、F，过1F且斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，已知椭圆C的短轴长为2 3，_（1）求椭圆C的方程；（2）若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：1|PQNF为定值24已知A，B，C是椭圆22:14xWy上的三个点，O是坐标原点（）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由25 已知过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点，斜率为2 2的直线交抛物线于1(A x，1)y和2(B x，212)()yxx两点，且9|2AB （1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C的准线为l，焦点为F，点P为直线:20m xy上的动点，且点P的横坐标为a，试讨论当a取不同的值时，圆心在抛物线C上，与直线l相切，且过点P的圆的个数26设抛物线2:4C yx的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程第第 4 讲讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆锥曲线问题锥曲线问题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题）1已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是()A15B3C2 3D2【解答】解：如图所示，设线段PF的中点为M，连接OM设椭圆的右焦点为F，连接PF则/OMPF又|2OMOFc，11|(22)122FMPFacac设MFO，在OMF中，2222121cos22 14，215sin14costan15故选：A2如图，从双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MOMT与ba的大小关系为()A|MOMTbaB|MOMTbaC|MOMTbaD以上三种可能都有【解答】解：将点P置于第一象限设1F是双曲线的右焦点，连接1PFM、O分别为FP、1FF的中点，11|2MOPF又由双曲线定义得，1|2PFPFa，22|FTOFOTb故|MOMT11|2PFMFFT11(|)|2PFPFFTba故选：C3从双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MOMT等于()AcaBbaCabDcb【解答】解：如图所示，设F是双曲线的右焦点，连接PF点M，O分别为线段PF，FF的中点，由三角形中位线定理得到：111|(|2)|222OMPFPFaPFa|MFa，|OMMTMFMTaFTa，连接OT，因为PT是圆的切线，则OTFT，在Rt FOT中，|OFc，|OTa，22|FTOFOTb|OMMTba故选：B4设1F，2F是双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点，点P在双曲线上，已知1|PF是2|PF和12|F F的等差中项，且12120F PF，则该双曲线的离心率为()A1B32C52D72【解答】解：设1|PFm，2|PFn，由1|PF是2|PF和12|F F的等差中项，12120F PF，则点P在C的右支上，2mna，12122|PFPFFF，即22mnc，22mca，24nca，由余弦定理可知：22212111212|2|cosFFPFPFPFPFFPF，222(2)(22)(24)2(22)(24)cos120ccacacaca，整理得222920cacc，由cea，22970ee，由1e，解得：72e，曲线的离心率为72，故选：D5已知点P是椭圆22221(0,0)xyabxyab上的动点，1(,0)Fc、2(,0)F c为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是12F PF的角平分线上的一点，且1FMMP，则|OM的取值范围是()A(0,)cB(0,)aC(,)b aD(,)c a【解答】解：如图，延长2PF，1FM，交于N点，PM是12F PF平分线，且1FMMP，1|PNPF，M为1F N中点，连接OM，O为12F F中点，M为1F N中点2212111|222OMF NPNPFPFPF在椭圆22221(0,0)xyabxyab中，设P点坐标为0(x，0)y则10|PFaex，20|PFaex，120000|2|2|PFPFaexaexexe xP点在椭圆22221(0,0)xyabxyab上，0|(0 x，a，又当0|xa时，1FMMP不成立，0|(0,)xa|(0,)OMc故选：A6设1(,0)Fc，2(,0)F c是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是12F PF的角平分线，过点1F作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ的长为()A定值aB定值bC定值cD不确定，随P点位置变化而变化【解答】解：过点1F作PQ的垂线，垂足为Q，交2PF的延长线于M，由三角形1PFM为等腰三角形，可得Q为1FM的中点，由双曲线的定义可得122|2PFPFF Ma，由三角形的中位线定理可得21|2OQF Ma，故选：A7圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点 直线:280l xy与椭圆22:11612xyC相切于点P，椭圆C的焦点为1F，2F，由光学性质知直线1PF，2PF与l的夹角相等，则12F PF的角平分线所在的直线的方程为()A210 xy B10 xy C210 xy D10 xy【解答】解：由光学性质知直线1PF，2PF与l的夹角相等，则12F PF的角平分线所在的直线为法线，即与直线l垂直的直线，而直线:280l xy，所以设所求的直线的方程为20 xym，联立222803448xyxy，整理可得：2690yy，解得3y，代入直线l的方程可得2380 x，可得2x，即(2,3)P，将(2,3)P代入所求的直线方程可得：2230m，可得1m ，所以12F PF的角平分线所在的直线的方程为210 xy，故选：A8根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知1F，2F分别是双曲线22:12yC x 的左、右焦点，若从点2F发出的光线经双曲线右支上的点0(A x，2)反射后，反射光线为射线AM，则2F AM的角平分线所在的直线的斜率为()A3B33C33D3【解答】解：由已知可得0(A x，2)在第一象限，将点A的坐标代入双曲线方程可得：20412x，解得03x，所以(3A，2)，又由双曲线的方程可得1a，2b，所以3c，则2(3,0)F，所以2|2AF，且点A，2F都在直线3x 上，又12|3OFOF，所以12122|2 3tan3|2FFF AFAF，所以1260F AF，设2F AM的角平分线为AN，则21(18060)602F AN，所以直线AN的倾斜角为150，所以直线的斜率为3tan1503 ，故选：B9 设直线30(0)xymm与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A，B，若点(,0)P m满足|PAPB，则该双曲线的离心率是()A52B32C52D51【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为byxa，分别与30(0)xymm联立，解得(3amAab，)3bmab，(3amBab，)3bmab，AB中点坐标为222(9maba，2223)9mbba，点(,0)P m满足|PAPB，22222230939mbbamamba，2ab，5cb，52cea 故选：A10椭圆22221(0)xyabab的右焦点为(,0)F c关于直线byxc的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是()A512B22C212D35【解答】解：设(,)Q m n，由题意可得2222221ncmcbnb mccmnab，由可得：322ccbma，222bcna，代入可得：3222222222()()1ccbbcaaab，解得2422(441)41eeee，可得，62410ee 即64422422210eeeee，可得242(21)(21)0eee解得22e 故选：B二多选题（共二多选题（共 1 小题）小题）11已知1F，2F分别为