2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第7讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式含解析.pdf

2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 7讲讲 破解离破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式心率问题之焦点弦公式和焦半径公式一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题）1已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，点A在双曲线上，且2AFx轴，若12|7|3AFAF，则双曲线的离心率等于()A52B102C2D32如图，已知1F，2F为双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点，过点1F，2F分别作直线l，2l交双曲线E于A，B，C，D四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且11110,|FD F ADFAF ，则双曲线E的离心率为()A2B102C52D33点P是双曲线22122:1(0,0)xyCabab与圆22222:Cxyab的一个交点，且12212 PF FPF F，其中1F、2F分别为双曲线1C的左右焦点，则双曲线1C的离心率为()A31B312C512D514已知1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，圆2222xyab与该双曲线相交于点P，若21122PF FPF F，则该双曲线的离心率为()A512B51C312D315已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，点P在椭圆上，且1230PFF，2160PF F，则椭圆的离心率等于()A21B31C322D536已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c若椭圆C上存在一点P，使得2112sinsinPF FcPFFa，则椭圆C的离心率的取值范围为()A2(0,)2B(0,21)C(21,1)D2(,1)27已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，点M在椭圆C上，若ca12|MFMF，则该椭圆的离心率不可能是()A14B12C35D338 已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，P是椭圆上一点，212|2PFF Fc，若21(,)3PF F，则该椭圆的离心率的取值范围是()A1(0,)2B1(0,)3C1(,1)2D1 1(,)3 29已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F做倾斜角为6的直线与椭圆相交于A，B两点，若222AFF B，则椭圆C的离心率e为()A2 39B13C34D4510已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作倾斜角为6的直线与椭圆相交于A，B两点，若223BFF A ，则椭圆C的离心率e的值为()A33B32C22D2311已知1F，2F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，过左焦点1F的直线与椭圆C交于A，B两点，且11|3|AFBF，2|ABBF，则椭圆C的离心率为()A75B105C2 35D135二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题）12已知双曲线 E：的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1作直线与双曲线 E 交于 A，B 两点，满足|AF2|F1F2|，且，则双曲线 E 的离心率e 为13已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右焦点为1F，2F，M为椭圆上一点，若1|MF，123|F F，2|MF成等差数列，则椭圆C的离心率为14已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上一点，且满足11()0(PFOFOPO 为坐标原点）若12|2|PFPF，则椭圆的离心率为15点P是双曲线22122:1(0,0)xyCabab与圆22222:Cxyab的一个交点，且12212 PF FPF F，其中1F，2F分别为双曲线1C的左右焦点，则双曲线1C的离心率为16已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线222222222:1(0)xyCabab有相同的焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，点P为椭圆1C与双曲线2C的第一象限的交点，且123FPF，则1211ee取最大值时12ee的值为17已知双曲线22221(0)xyabab的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的 2 倍，若52AFFB，则该双曲线的离心率为三解答题（共三解答题（共 1 小题）小题）18已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，若椭圆上存在点P使2122211cos21cos2PFFaPF Fc，求该椭圆的离心率的取值范围第第 7 讲讲 破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式破解离心率问题之焦点弦公式和焦半径公式参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题）1已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，点A在双曲线上，且2AFx轴，若12|7|3AFAF，则双曲线的离心率等于()A52B102C2D3【解答】解：12|7|3AFAF，设2|3AFt，1|7AFt，2at，2AFx，22212|4|AFcAF即2224949tct，10ct，101022cteat，故选：B2如图，已知1F，2F为双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点，过点1F，2F分别作直线l，2l交双曲线E于A，B，C，D四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且11110,|FD F ADFAF ，则双曲线E的离心率为()A2B102C52D3【解答】解：连接2AF，设1|AFt，0t，由双曲线的定义可得2|2AFta，|由题意可得1|DFt，|2ADt，由双曲线的定义可得2|2DFta，在三角形2ADF中，24590135ADF，由余弦定理可得222222|2|cos135AFADDFADDF，即为2222(2)2(2)2 2(2)()2tattatta，化简可得3ta，在直角三角形12F DF中，1|3DFa，2|32DFaaa，12190F DFAF D，12|2F Fc，所以222(3)(2)aac，即为102ca，即102cea故选：B3点P是双曲线22122:1(0,0)xyCabab与圆22222:Cxyab的一个交点，且12212 PF FPF F，其中1F、2F分别为双曲线1C的左右焦点，则双曲线1C的离心率为()A31B312C512D51【解答】解：222abc，圆2C必过双曲线1C的两个焦点，122FPF，122123PF FPF F，则2|PFc，1|3PFc，故双曲线的离心率为2313ccc故选：A4已知1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，圆2222xyab与该双曲线相交于点P，若21122PF FPF F，则该双曲线的离心率为()A512B51C312D31【解答】解：圆2222xyab的半径为22abc，圆的直径为12F F，12PFPF，21122PF FPF F，02112260PF FPFF，123,PFc PFc，12(31)2PFPFca，23131cea，故选：D5已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，点P在椭圆上，且1230PFF，2160PF F，则椭圆的离心率等于()A21B31C322D53【解答】解：1230PFF，2160PF F，12|2F Fc，12PFF是直角三角形，2|PFc，1|3PFc，由椭圆的定义可得，12|2PFPFa，32cca，23131cea故选：B6已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c若椭圆C上存在一点P，使得2112sinsinPF FcPFFa，则椭圆C的离心率的取值范围为()A2(0,)2B(0,21)C(21,1)D2(,1)2【解答】解：在12PFF中，由正弦定理知211122sin|sin|PF FPFPFFPF，2112sinsinPF FcPFFa，12|PFcePFa，即12|PFe PF，又P在椭圆上，12|2PFPFa，联立得22|(,)1aPFac ace，即21aacace，同除以a得，2111eee，得211e 椭圆C的离心率的取值范围为(21,1)故选：C7 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，点M在椭圆C上，若ca12|MFMF，则该椭圆的离心率不可能是()A14B12C35D33【解答】解：设1|MFx，因为点M在椭圆C上，所以12|2MFMFa，所以2|2MFax，因为12|MFcaMF，所以2cxaax，解得2acxac，由题意可知ac x ac，即2acacacac，由2acacac可得22()acac，即220ac，显然成立，由2acacac可得222acac，则212ee，又01e，所以211e，故选：A8 已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，P是椭圆上一点，212|2PFF Fc，若21(,)3PF F，则该椭圆的离心率的取值范围是()A1(0,)2B1(0,)3C1(,1)2D1 1(,)3 2【解答】解：212|2PFF Fc，12PFF是以1PF为底的等腰三角形，1|22PFac，过2F作21F APF交1PF于A，则有111212121|2cos|2PFAFacPFFFFFFc，21(,)3PF F，12(0,)3PFF，121cos(22acPF Fc，1)，即1122acc，解得1132ca该椭圆的离心率的取值范围是1(3，1)2故选：D9已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F做倾斜角为6的直线与椭圆相交于A，B两点，若222AFF B，则椭圆C的离心率e为()A2 39B13C34D45【解答】解：由椭圆的方程可得右焦点2(,0)F c，由题意设直线AB的方程为3xyc，1(A x，1)y，2(B x，2)y，联立222231xycxyab，整理可得：22224(3)2 30abycb yb，则21222412222 333cbyyabby yab ，若222AFF B，则122yy，联立22222 33cbyab，可得24222222 32()33cbbabab，整理可得：22427ca，解得2 39cea，故选：A10已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作倾斜角为6的直线与椭圆相交于A，B两点，若223BFF A ，则椭圆C的离心率e的值为()A33B32C22D23【解答】解：由题意，由点A，B向右准线作垂线，设垂足分别为1A，1B，设2|F At，223BFF A ，2|3BFt 由椭圆的第二定义，可得：1|tAAe，13|tBBe过点A向直线1BB作垂线，设垂足为Q，则在Rt ABQ中，1122cosBBAABQABQABBFF A即331cos2632tteette，解得33e 故选：A11已知1F，2F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，过左焦点1F的直线与椭圆C交于A，B两点，且11|3|AFBF，2|ABBF，则椭圆C的离心率为()A75B105C2 35D135【解答】解：设1|BFx，则1|3AFx，2|4ABBFx，而由椭圆的定义可知12|25BFBFax，所以25ax，所以16|5aAF，则24|5aAF，在2ABF中，2222222216|125cos642|425aABAFBFAABAFa，所以在12AFF中，2222121212|4|2|cosFFcAFAFAFAFA，即2223616641422525554aacaa，整理可得：2225ca，所以105cea，故选：B二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题）12已知双曲线 E：的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1作直线与双曲线 E 交于 A，B 两点，满足|AF2|F1F2|，且，则双曲线 E 的离心率e 为【解答】解：因为|AF2|F1F2|，由双曲线的定义可得|AF1|2c2a，由，则|BF1|4c4a，所以|BF2|BF1|+2a4c2a，在 AF1F2中，由 余 弦 定 理 可 得 cos AF1F2，在 BF1F2中，由 余 弦 定 理 可 得 cos BF1F2，又因为 cosAF1F2+cosBF1F20，即+0，整理可得 3c2+5a28ac0，即 3e28e+50，解得：e或 e1（舍），故答案为：13已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右焦点为1F，2F，M为椭圆上一点，若1|MF，123|F F，2|MF成等差数列，则椭圆C的离心率为16【解答】解：因为1|MF，123|F F，2|MF成等差数列，所以1212|6|MFMFFF，即26 2ac，所以16cea故答案为：1614已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上一点，且满足11()0(PFOFOPO 为 坐 标 原 点）若12|2|PFPF，则 椭 圆 的 离 心 率 为63【解答】解：取1PF的中点N，连接ON，所以可得12OFOPON，又因为11()0PFOFOP，所以120PFON，即1ONPF，而O为12F F的中点，所以2/ONPF，可得12PFPF，因为12|2|PFPF，而12|2PFPFa，所以可得：22|21aPF，12 2|21aPF，在Rt12PFF中，由勾股定理可得2221212|FFPFPF，即222222 24()()2121ca，可得22123(32 2)96 2132 232 2ca，所以63ca，故答案为：6315点P是双曲线22122:1(0,0)xyCabab与圆22222:Cxyab的一个交点，且12212 PF FPF F，其中1F，2F分别为双曲线1C的左右焦点，则双曲线1C的离心率为31【解答】解：如图所示，12F F圆22222:Cxyab的直径，12F PF是直角；在Rt12PFF中，12212 PF FPF F，126PFF，2121|2PFF Fc，12|3|3PFPFc，12|32PFPFcca，23131ca故答案为：3116已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线222222222:1(0)xyCabab有相同的焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，点P为椭圆1C与双曲线2C的第一象限的交点，且123FPF，则1211ee取最大值时12ee的值为4 33【解答】解：设1|PFm，2|PFn，由椭圆的定义得12mna，由双曲线的定义得2|2mna，22得，2222122()mnaa，22得，2212mnaa，由余弦定理可得22212(2)2coscmnmnFPF，所以2221234aac，设12 cosac，22 3sin3ac，所以1212112 34 32cossinsin()333aaeecc，当2()32kkZ即26k时，1211ee最大值为4 33，此时，121211112cos2 32 32cos(2)sinsin(2)6336cceeaakk34 3333故答案为：4 3317已知双曲线22221(0)xyabab的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的 2 倍，若52AFFB，则该双曲线的离心率为2 147【解答】解：双曲线22221(0)xyabab的渐近线方程为byxa，直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的 2 倍，222labkab，直线l的方程为222()abyxcab，与byxa 联立，可得2223abcyab 或222abcyab，52AFFB，22222522 3abcabcabab22ab，2212 141177cbeaa 故答案为：2 147三解答题（共三解答题（共 1 小题）小题）18已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，若椭圆上存在点P使2122211cos21cos2PFFaPF Fc，求该椭圆的离心率的取值范围【解答】解：因为2122211cos21cos2PFFaPF Fc，即2212222211sinPFFasinPF Fce，所以1221sin1sinPFFPF Fe，由正弦定理可得21|1|PFPFe，即12|PFe PF，而12|2PFPFa，所以22|(,)1aPFac ace，即21aacace，可得2111eee，解得211e，所以该椭圆的离心率的范围(21，1)第第 8 讲讲 破解离心率问题之椭双共焦定理破解离心率问题之椭双共焦定理一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题）1 已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线222222222:1(0)xyCabab有相同的焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，点P为椭圆1C与双曲线2C的交点，且123FPF，则1211ee取最大值时12ee的值为()A3B4 33C13D232已知椭圆22211xya与双曲线22221xya有相同的焦点1F，2F，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，则()A1 21e e B22211eeC222212122eee eD212ee3已知椭圆1C与双曲线2C有相同的左右焦点，分别为1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲 线2C的 离 心 率 为2e，且 两 曲 线 在 第 二 象 限 的 公 共 点 为 点P，且 满 足1122|:|:|2:3:4PFF FPF，则212122eeee的值为()A3B4C5D64已知椭圆1C与双曲线2C的焦点相同，离心率分别为1e，2e，且满足215ee，1F，2F是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF，则双曲线2C的离心率为()A2B3C2D3225已知椭圆1C与双曲线2C有相同的焦点1F、2F，点P是1C与2C的一个公共点，12PFF是一个以1PF为底的等腰三角形，1|4PF，1C的离心率是67，则2C的离心率是()A67B76C65D36已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线22222222:1(0 xyCaab，20)b 有相同的左右焦点1F，2F若点P是1C与2C在第一象限内的交点，且122|2|F FPF，设1C与2C的离心率分别为1e，2e，则12ee的取值范围是()A1(,)3B3(,)2C3,)2D以上答案都不对7已知椭圆1C与双曲线2C有相同的左、右焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，两曲线的一个公共点为点P，且满足1122|:|:|3:4:6PFF FPF，则12ee的值为()A3B17C7D138 已知椭圆22122:1(0)xyCabab与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn有相同的焦点1F，2F，若点P是1C与2C在第一象限内的交点，且122|4|F FPF，设1C与2C的离心率分别为1e与2e，则1 2e e的取值范围是()A1,)3B1(,2)3C2,)3D2(,2)39已知椭圆2212:1(1)xCymm与双曲线2222:1(0)xCynn的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线1C，2C的离心率分别为1e，2e，则12e e 的值为()A1B35C53D5310已知椭圆1C与双曲线2C有相同的左、右焦点，分别为1F，2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，且两曲线在第一象限的公共点P满足1122|:|:|4:3:2PFF FPF，则2121eeee的值为()A2B3C4D611已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线22222222:1(0 xyCaab，20)b 有相同的左、右焦点1F，2F，若点P是1C与2C在第一象限内的交点，且122|4|F FPF，设1C与2C的离心率分别为1e，2e，则21ee的取值范围是()A1(,)3B1(,1)3C1(,)2D1(,2)2二多选题（共二多选题（共 2 小题）小题）12已知椭圆2212:1(1)xCymm与双曲线2222:1(0)xCynn的焦点重合，1e，2e分别为1C，2C的离心率，则()AmnBmnC1 21e e D1 21e e 13已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线22222222:1(0 xyCaab，20)b 有公共的焦点1F，2F，设P是1C，2C的一个交点，1C与2C的离心率分别是1e，2e，则下列结论正确的有()A221212|PFPFbbB12FPF的面积1 2SbbC若122FPF，则12bbD若123FPF，则2212114ee三填空题（共三填空题（共 11 小题）小题）14已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线222222222:1(0)xyCabab有相同的焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，点P为椭圆1C与双曲线2C的第一象限的交点，且123FPF，则1211ee取最大值时12ee的值为15已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线222222222:1(0,0)xyCabab有公共的焦点1F，2F，设P是1C，2C的一个交点，1C与2C的离心率分别是1e，2e，若123FPF，则1 2e e的最小值为16已知椭圆22122:1xyCab与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn有相同的焦点1F，2F，且两曲线在第一象限的交点为P，若212PFF F，且2ab，则双曲线2C的离心率为17 已知椭圆22143xy与双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线的交点为P，若点P的横坐标为 1，则双曲线的离心率等于18 已知椭圆22122:1xyCab及双曲线22222:1xyCmn，均以(2,0)为右焦点且都经过点(2,3)，则椭圆1C与双曲线2C的离心率之比为19已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线22222222:1(0 xyCaab，20)b 有相同的焦点1F，2F，若点P是1C与2C在第一象限内的交点，且122|2|F FPF，设1C与2C的离心率分别为1e，2e，则21ee的取值范围是20已知椭圆2212xy与双曲线22221(0,0)xyabab有相同的焦点，其左，右焦点分别为1F、2F，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且112F PF F，则双曲线的离心率为21已知椭圆1C与双曲线2C有相同的左右焦点1F，2F，P为椭圆1C与双曲线2C在第一象限内的一个公共点，设椭圆1C与双曲线2C的离心率分别为1e，2e，且1213ee，若123FPF，则椭圆1C的离心率为22已知椭圆2222:1xyab与双曲线2222:1xymn共焦点，1F、2F分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为P，且离心率之积为 1若1212sin2sinFPFPFF，则该双曲线的离心率为23已知椭圆2214xym与双曲线221yxn的离心率分别为1e，2e，且有公共的焦点1F，2F，则22124ee，若P为两曲线的一个交点，则12|PFPF 24已知椭圆2212211:1xyCab与双曲线2222222:1xyCab有公共的焦点1F、2F，且在第一象限交点为P，且124cos5F PF 若1C与2C的离心率分别为1e、2e，则1211ee的最大值为第第 8 讲讲 破解离心率问题之椭双共焦定理破解离心率问题之椭双共焦定理参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题）1 已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线222222222:1(0)xyCabab有相同的焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，点P为椭圆1C与双曲线2C的交点，且123FPF，则1211ee取最大值时12ee的值为()A3B4 33C13D23【解答】解：设1|PFm，2|PFn，由椭圆的定义得12mna，由双曲线的定义得2|2mna，22得，2222122()mnaa，22得，2212mnaa，由余弦定理可得22212(2)2coscmnmnFPF，所以2221234aac，设12 cosac，22 3sin3ac，所以1212112 34 32cossinsin()333aaeecc，当2()32kkZ即26k时，1211ee最大值为4 33，此时，121211112cos2 32 32cos(2)sinsin(2)6336cceeaakk34 3333故选：B2已知椭圆22211xya与双曲线22221xya有相同的焦点1F，2F，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，则()A1 21e e B22211eeC222212122eee eD212ee【解答】解：由椭圆与双曲线的几何性质可得，221211aa，则2222121122222212121121121111aaaaeeaaaa，所以222212122eee e故选：C3已知椭圆1C与双曲线2C有相同的左右焦点，分别为1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲 线2C的 离 心 率 为2e，且 两 曲 线 在 第 二 象 限 的 公 共 点 为 点P，且 满 足1122|:|:|2:3:4PFF FPF，则212122eeee的值为()A3B4C5D6【解答】解：因为1122|:|:|2:3:4PFF FPF，设1|2PFt，12|3FFt，2|4PFt，设双曲线的实半轴长为a，半个焦距c，椭圆的长半轴长为a，半个焦距为c，由椭圆，双曲线的定义可得212|422aPFPFttt，122|246aPFPFttt，所以椭圆的离心率1231262cteat，所以双曲线的离心率2233222cteat，所以21213122225312222eeee，故选：C4已知椭圆1C与双曲线2C的焦点相同，离心率分别为1e，2e，且满足215ee，1F，2F是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF，则双曲线2C的离心率为()A2B3C2D322【解答】解：由题意可得双曲线与椭圆的焦距相同，设焦点在x轴上，设椭圆的方程2222111xyab，双曲线的方程为：2222221xyab，由题意可得222222211ababc，设11|PFr，22|PFr，12|2F Fc，在12PFF中，由余弦定理22212121 241cos22rrcFPFrr，在双曲线中，1222rra，椭圆中，1212rra，所以22121 21 222121 21 2()24122()24122rrrrcrrrrrrcrr 2211 21 22222122221 21 2221244()()32212arrcrraccaarrcrr ，可得2221234aac，因为足215ee，1F，所以2222215ccaa，可得22125aa，所以222223 54aac，所以2242cea，故选：C5已知椭圆1C与双曲线2C有相同的焦点1F、2F，点P是1C与2C的一个公共点，12PFF是一个以1PF为底的等腰三角形，1|4PF，1C的离心率是67，则2C的离心率是()A67B76C65D3【解答】解：根据题意知1C的离心率1112111122|62|7ccFFeaaPFPF，又1|4PF，122|F FPF212|24PFF F，双曲线的离心率2212222212|2462|2445ccFFeaaPFPF，故选：C6已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线22222222:1(0 xyCaab，20)b 有相同的左右焦点1F，2F若点P是1C与2C在第一象限内的交点，且122|2|F FPF，设1C与2C的离心率分别为1e，2e，则12ee的取值范围是()A1(,)3B3(,)2C3,)2D以上答案都不对【解答】解：设椭圆与双曲线的焦距为12|2F Fc，再设1|PFt，由题意可得，12tca，22tca，12tac，22tac，1222acac，12aac，12111ee，即2121eee则222222122222222(1)11(1)1111eeeeeeeeeeee令21ek，则2k 函数1()f kkk在(2,)上单调递增，可得()f kf（2）1322212ee的取值范围是3(,)2故选：B7已知椭圆1C与双曲线2C有相同的左、右焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，两曲线的一个公共点为点P，且满足1122|:|:|3:4:6PFF FPF，则12ee的值为()A3B17C7D13【解答】解：由题意可得：1211212212|4|163|4363|FFeFPPFFFeFPPF故选：D8 已知椭圆22122:1(0)xyCabab与双曲线22222:1(0,0)xyCmnmn有相同的焦点1F，2F，若点P是1C与2C在第一象限内的交点，且122|4|F FPF，设1C与2C的离心率分别为1e与2e，则1 2e e的取值范围是()A1,)3B1(,2)3C2,)3D2(,2)3【解答】解：设1|PFs，2|PFt，由椭圆的定义可得2sta，由双曲线的定可得2stm，解得sam，tam，由122|4|F FPF，可得12tc，即12amc，由1cea，2cem，可得121112ee，由101e，可得111e，可得2112e，即212e，则221 2222ee ee，可设22(34)ett，则222222(2)42(4)2ettett，由4()4f ttt 在34t 递增，可得1()(3f t，1)则1 22(3e e，2)故选：D9已知椭圆2212:1(1)xCymm与双曲线2222:1(0)xCynn的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线1C，2C的离心率分别为1e，2e，则12e e 的值为()A1B35C53D53【解答】解：椭圆2212:1(1)xCymm与双曲线2222:1(0)xCynn的焦点重合，可得2211mn，即222nm，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得13nm，由可得32m，12n，则2212221111451111493mne emnmn故选：C10已知椭圆1C与双曲线2C有相同的左、右焦点，分别为1F，2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，且两曲线在第一象限的公共点P满足1122|:|:|4:3:2PFF FPF，则2121eeee的值为()A2B3C4D6【解答】解：如图，1122|:|:|4:3:2PFF FPF，1|423PFc，得18|3cPF，2|223PFc，得24|3cPF 设椭圆的长轴长为12a，双曲线的实轴长为22a，则12184|233PFPFcca，即12ac，得112e；12284|233PFPFcca，即223ac，得232e 2121312223122eeee故选：A11已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线22222222:1(0 xyCaab，20)b 有相同的左、右焦点1F，2F，若点P是1C与2C在第一象限内的交点，且122|4|F FPF，设1C与2C的离心率分别为1e，2e，则21ee的取值范围是()A1(,)3B1(,1)3C1(,)2D1(,2)2【解答】解：设1|PFm，2|PFn，由椭圆的定义可得12mna，由双曲线的定可得22mna，解得12maa，12naa，由122|4|F FPF，可得12nc，即1212aac，由11cea，22cea，可得121112ee，由101e，可得111e，可得2112e，即212e，则22221222222eeeeeee，可设22(34)ett，则2222(2)442ettett，由4()4f ttt 在34t 递增，可得1()(3f t，1)故选：B二多选题（共二多选题（共 2 小题）小题）12已知椭圆2212:1(1)xCymm与 双 曲 线2222:1(0)xCynn的焦点重合，1e，2e分别为1C，2C的离心率，则()AmnBmnC1 21e e D1 21e e【解答】解：由题意椭圆2212:1(1)xCymm与双曲线2222:1(0)xCynn的焦点重合，可得2211mn，即222mn，又1m，0n，则mn，由22222212222211112mnnneemnnn42422112nnnn，则121ee故选：AC13已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线22222222:1(0 xyCaab，20)b 有公共的焦点1F，2F，设P是1C，2C的一个交点，1C与2C的离心率分别是1e，2e，则下列结论正确的有()A221212|PFPFbbB12FPF的面积1 2SbbC若122FPF，则12bbD若123FPF，则2212114ee【解答】解：由P是1C，2C的一个交点，所以121|2PFPFa，122|2PFPFa，22得2212124|44PFPFaa，所以2222222212121212|()PFPFaabccbbb，故A正确；设122F PF，由椭圆焦点三角形面积公式可得1221tanF PFSb，由双曲线焦点三角形面积公式可得1222tanF PFbS，所以121222222112tantanF PFF PFbSSbb b，所以121 2F PFSbb，故B正确；若122FPF，则有22212|4PFPFc，22得222212122|2|44PFPFaa，所 以22221212|22PFPFaa，所 以22212224aac，所 以222122aac，所 以222212acca，所以2212bb，所以12bb，故C正确；若123FPF，可得22221212121|2|cosFFPFPFPFPFFPF，所以可得2222222121212422()3caaaaaa，所以2212243aacc，所以2212134()()ccaa，故D错误；故选：ABC三填空题（共三填空题（共 11 小题）小题）14已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线222222222:1(0)xyCabab有相同的焦点1F、2F，椭圆1C的离心率为1e，双曲线2C的离心率为2e，点P为椭圆1C与双曲线2C的第一象限的交点，且123FPF，则1211ee取最大值时12ee的值为4 33【解答】解：设1|PFm，2|PFn，由椭圆的定义得12mna，由双曲线的定义得2|2mna，22得，2222122()mnaa，22得，2212mnaa，由余弦定理可得22212(2)2coscmnmnFPF，所以2221234aac，设12 cosac，22 3sin3ac，所以1212112 34 32cossinsin()333aaeecc，当2()32kkZ即26k时，1211ee最大值为4 33，此时，121211112cos2 32 32cos(2)sinsin(2)6336cceeaakk34 3333故答案为：4 3315已知椭圆221112211:1(0)xyCabab与双曲线222222222:1(0,0)xyCabab有公共的焦点1F，2F，设P是1C，2C的一个交点，1C与2C的离心率分别是1e，2e，若123FPF，则1 2e e的最小值为32【解答】解：由已知可设1PFm，2PFn，且mn，结合椭圆与双曲线的定义可知：12mna，22mna，所以12maa，12naa，设焦距为2c，则在12PFF中，由余弦定理得22222222212121242cos()()()3cmnmnmnmnaaaaaa22123aa，两边同除以2c得22121213134 2eeee，即1232ee，当且仅当12132ee，即1226,22ee时取等号，故所求