2023年新高考一轮复习讲义第09讲 函数性质的综合问题含答案.docx

2023年新高考一轮复习讲义第9讲函数性质的综合问题学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·全国·高三专题练习）设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，则（       ）ABCD2（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，则下列结论正确的是（       ）ABCD3（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（       ）A BC D4（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，则下列结论正确的是（       ）A是函数的周期B函数在上的最大值为2C函数在上单调递减D方程在上的所有实根之和为5（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为不小于x的最小整数，如，则关于性质的表述，正确的是（       ）A定义域为B在定义域内为增函数C函数为周期函数D函数为奇函数6（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（       ）A只有B只有C和D和都不是7（2022·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（       ）A30B14C12D68（2022·全国·高三专题练习）设函数.若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（       ）ABCD9（多选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，则（       ）A是以2为周期的周期函数B点是函数的一个对称中心CD函数有3个零点10（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当，则（       ）A是偶函数B的图象关于对称C在上有3个实数根D11（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且最大值为2其解析式可以为_12（2022·全国·高三专题练习）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，则=_13（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为_.14（2022·北京市第五中学三模）已知函数给出下列四个结论：存在实数，使函数为奇函数；对任意实数，函数既无最大值也无最小值；对任意实数和，函数总存在零点；对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是_.15（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，.（1）求证：是周期函数；（2）当时，求的解析式；（3）计算.【素养提升】1（2022·全国·高考真题（理）已知函数的定义域均为R，且若的图像关于直线对称，则（       ）ABCD2（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：_Sigmoid函数是单调递增函数；Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；对于任意正实数a，方程有且只有一个解；Sigmoid函数的导数满足：3（2022·全国·高三专题练习）设函数.（1）证明函数在上是递减函数，在上是递增函数；（2）函数，若实数，满足，求的最小值；（3）函数如（2）中所述，是定义在上的函数，当时，且对任意的，都有成立，若存在实数满足，求的最大值.试卷第6页，共6页（北京）股份有限第9讲函数性质的综合问题学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·全国·高三专题练习）设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，则（       ）ABCD【答案】A【解析】，即，由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减， 由于函数为偶函数，则，即，故选：A.2（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，则下列结论正确的是（       ）ABCD【答案】A【解析】因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故因此即是以4为周期的周期函数.，当时，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以 故选：A3（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图像不可能是（       ）A BC D【答案】D【解析】解：设，因为，所以是R上的奇函数，又时，在上单调递增，所以在R上单调递增，且有唯一零点0，所以的图像一定经过原点，当时，与的图像相同，不符合题意当时，是R上的奇函数，且在上单调递增，所以与的图像可能为选项C；当时，若，所以与的图像可能为选项A或B.故选：D4（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，则下列结论正确的是（       ）A是函数的周期B函数在上的最大值为2C函数在上单调递减D方程在上的所有实根之和为【答案】D【解析】是上的奇函数，故不是函数的周期，且，故是函数的周期，故A错误；当时，且单调递增，且单调递减，则单调递增，故C错误；当时，且单调递减，且单调递增，则单调递减；且，又是奇函数且周期为，故B错误；由可得关于对称，方程的根等价于与的交点的横坐标，根据的单调性和周期可得，与在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，在有两个关于对称的交点，所以方程在上的所有实根之和为，故D正确.故选：D.5（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其中为不小于x的最小整数，如，则关于性质的表述，正确的是（       ）A定义域为B在定义域内为增函数C函数为周期函数D函数为奇函数【答案】C【解析】解：易知，故定义域为，故选项错误，令，易知，故是以1为周期的函数，故选项正确，项错误，因为，故选项错误故选：C6（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质P，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质P的充分条件是（       ）A只有B只有C和D和都不是【答案】C【解析】：当，因为函数单调递减，所以即，存在，当满足命题时，具有性质P.：当时，因为函数单调递增，所以，即，存在，当满足命题时，具有性质P.综上可知命题、都是具有性质P的充分条件故选：C7（2022·全国·高三专题练习）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（       ）A30B14C12D6【答案】A【解析】由知函数的图象关于直线对称，是R上的奇函数，的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，故当时，当时，当时，当时，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A.8（2022·全国·高三专题练习）设函数.若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（       ）ABCD【答案】B【解析】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，由，解得由，时，；时，；时由，由时，综上可得：，故答案为：9（多选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，则（       ）A是以2为周期的周期函数B点是函数的一个对称中心CD函数有3个零点【答案】BD【解析】依题意，为偶函数，且，有，即关于对称，则，所以是周期为4的周期函数，故A错误；因为的周期为4，关于对称，所以是函数的一个对称中心，故B正确；因为的周期为4，则，所以，故C错误；作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数有3个零点，故D正确.故选：BD.10（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当，则（       ）A是偶函数B的图象关于对称C在上有3个实数根D【答案】BC【解析】根据题意，可得函数的定义域为，由函数为偶函数，可得函数的图象关于对称，即，所以B正确；由函数是奇函数，可得函数的图象关于点对称，即，可得，则，即函数是以8为周期的周期函数，当时，可得，即，所以D不正确；由函数是以8为周期的周期函数，可得，因为，令，可得，所以，所以函数一定不是偶函数，所以A不正确；当时，所以，由，可得，又由，所以C正确.故选：BC.11（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且最大值为2其解析式可以为_【答案】或（，等）（答案不唯一）【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2，所以满足题中的条件，再如，再如等等（答案不唯一）.故答案为：或（，等）（答案不唯一）.12（2022·全国·高三专题练习）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，则=_【答案】【解析】因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，即是偶函数.对于，令，可得，又，所以，则.所以函数对满足.所以.所以，即是周期为的周期函数.所以，.所以.故答案为.13（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为_.【答案】【解析】因为，所以当时，令，则在上单调递增，又因为为定义在R上的奇函数,所以是偶函数，且在上单调递减，因为，所以，等价于或，所以或，即不等式的解集为.故答案为：.14（2022·北京市第五中学三模）已知函数给出下列四个结论：存在实数，使函数为奇函数；对任意实数，函数既无最大值也无最小值；对任意实数和，函数总存在零点；对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是_.【答案】 【解析】如上图分别为，和时函数的图象，对于 ：当时，图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故正确；对于 ：由三个图知当时，当时，所以函数既无最大值也无最小值；故 正确；对于 ：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故 不正确对于 ：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故正确；故答案为： 15（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，.（1）求证：是周期函数；（2）当时，求的解析式；（3）计算.【解】（1）由，是以4为周期为周期函数；（2）任取，则，有，；（3），由（1）可知为一个周期的函数值，和为0，所以.点睛：本题是奇偶性周期性的综合，利用给出的等式结合奇偶性得出周期，对于这类型的问题利用周期性，主要解决一共包含几个周期，一个周期的和是多少，剩余哪些项可以利用周期求解.【素养提升】1（2022·全国·高考真题（理）已知函数的定义域均为R，且若的图像关于直线对称，则（       ）ABCD【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D2（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：下列关于Sigmoid函数的表述正确的是：_Sigmoid函数是单调递增函数；Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为；对于任意正实数a，方程有且只有一个解；Sigmoid函数的导数满足：【答案】【解析】因为为单调递减函数，所以为单调递增函数，故正确；因为，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为，故正确；因为为单调递增函数，且，仅当时，方程有且只有一个解，故错误； ，所以，故正确故答案为：.3（2022·全国·高三专题练习）设函数.（1）证明函数在上是递减函数，在上是递增函数；（2）函数，若实数，满足，求的最小值；（3）函数如（2）中所述，是定义在上的函数，当时，且对任意的，都有成立，若存在实数满足，求的最大值.【解】解：（1），当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以函数在上是递减函数，在上是递增函数；（2）已知，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，由于实数，满足，可知，即，所以，设函数，则，当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以当时，取得最小值，即，所以的最小值为3；（3）由题可知，当时，则，且对任意的，都有成立，则关于对称，当时，当时，可得的图象大致如下：因为存在实数满足，则可知与关于对称，与关于对称，且，则，则，又，则，所以，且，令，当且仅当，即时取等号，符合，故可取，即，可知的最大值为：.试卷第25页，共19页（北京）股份有限第10讲幂函数与二次函数学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·广东·二模）定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（       ）ABCD2（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，qZ且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ）Ap，q均为奇数，且Bq为偶数，p为奇数，且Cq为奇数，p为偶数，且Dq为奇数，p为偶数，且3（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ）AB0或2C0D24（2022·全国·高三专题练习）已知函数在-2，1上具有单调性，则实数k的取值范围是（）Ak-8Bk4Ck-8或k4D-8k45（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)（       ）A是偶函数，且在(0，)上是增函数B是偶函数，且在(0，)上是减函数C是奇函数，且在(0，)上是减函数D是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数6（2022·湖南·二模）“”是“”的（       ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数的图像经过点与点，则（       ）ABCD8（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知二次函数的值域为，则的最小值为（       ）A4B6C8D109（多选）（2022·全国·高三专题练习）有如下命题，其中真命题的标号为（       ）A若幂函数的图象过点，则B函数且的图象恒过定点C函数在上单调递减D若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是10（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数，则下列结论正确的有（       ）AB的定义域是C是偶函数D不等式的解集是11（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若幂函数在在上单调递增，则_.12（2022·广东广州·三模）写出一个在区间上单调递减的幂函数_.13（2022·北京房山·二模）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为_.14（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是_.15（2022·全国·高三专题练习）函数，当时，且的最大值为，则_16（2022·全国·高三专题练习）已知函数为幂函数，且为奇函数，设函数（1）求实数的值及函数的零点；（2）是否存在自然数，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【素养提升】1（2022·湖南·高三阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数，使得成立，则实数的取值范围是（       ）ABCD2（2022·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则_.3（2022·全国·高三专题练习）已知为常数，函数在区间上的最大值为，则_4（2022·全国·高三专题练习）已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为_.5（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.6（2022·全国·高三专题练习）设函数.（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式：.试卷第31页，共6页（北京）股份有限第10讲幂函数与二次函数学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022·广东·二模）定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（       ）ABCD【答案】D【解析】A. ,由正弦函数的性质可知在上不为增函数，故排除；B.在上单调递减，故排除；C. ，故函数在上为偶函数，故排除；D. ，故函数在上为奇函数，且由幂函数的性质知在上单调递增，则在上单调递增，满足题意；故选：D2（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，qZ且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ）Ap，q均为奇数，且Bq为偶数，p为奇数，且Cq为奇数，p为偶数，且Dq为奇数，p为偶数，且【答案】D【解析】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.故选：D3（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ）AB0或2C0D2【答案】D【解析】因为是幂函数，所以，解得或2，当时，在上为减函数，不符合题意，当时，在上为增函数，符合题意，所以.故选：D.4（2022·全国·高三专题练习）已知函数在-2，1上具有单调性，则实数k的取值范围是（）Ak-8Bk4Ck-8或k4D-8k4【答案】C【解析】函数对称轴为，要使在区间-2，1上具有单调性，则或，或综上所述的范围是：k-8或k4.故选：C.5（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)（       ）A是偶函数，且在(0，)上是增函数B是偶函数，且在(0，)上是减函数C是奇函数，且在(0，)上是减函数D是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数【答案】D【解析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，故选：D.6（2022·湖南·二模）“”是“”的（       ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：因为是定义在上的增函数，又，所以，解得，因为由可推出，而由无法推出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数的图像经过点与点，则（       ）ABCD【答案】C【解析】设，由题意可得：，则，故选：C8（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知二次函数的值域为，则的最小值为（       ）A4B6C8D10【答案】A【解析】因为二次函数的值域为，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：A9（多选）（2022·全国·高三专题练习）有如下命题，其中真命题的标号为（       ）A若幂函数的图象过点，则B函数且的图象恒过定点C函数在上单调递减D若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是【答案】BD【解析】对于A，令，则，解得：，A错误；对于B，令，即时，恒过定点，B正确；对于C，为开口方向向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，C错误；对于D，令，解得：或；又，实数的取值范围为，D正确.故选：BD.10（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数，则下列结论正确的有（       ）AB的定义域是C是偶函数D不等式的解集是【答案】ACD【解析】因为函数是幂函数，所以，得，即，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；，所以函数是偶函数，故C正确；函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.故选：ACD11（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若幂函数在在上单调递增，则_.【答案】1【解析】幂函数在在上单调递增可得解得故答案为：12（2022·广东广州·三模）写出一个在区间上单调递减的幂函数_.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知：为幂函数，且在区间上单调递减.故答案为：（答案不唯一）.13（2022·北京房山·二模）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为_.【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)【解析】y=x和y=的图象如图所示：当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，故当或时，函数在上不是增函数故答案为：-214（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是_.【答案】【解析】由题易知，即，所以，又，所以.下证时，在上最大值为3.当时，;当，若，即，则，满足;若，即，此时，而，满足;因此，符合题意.15（2022·全国·高三专题练习）函数，当时，且的最大值为，则_【答案】2【解析】因为，所以在，上单调递增，所以，因为当时，所以，则，又因为 ，所以 ，则 ，所以，令，且对称轴为 ，因为当时，所以，则 ，所以，故答案为：216（2022·全国·高三专题练习）已知函数为幂函数，且为奇函数，设函数（1）求实数的值及函数的零点；（2）是否存在自然数，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【解】（1）为幂函数，解得：或；当时，即为偶函数，不合题意；当时，即为奇函数，符合题意；，此时，令，解得：，的零点为；（2）由（1）知：；与均为上的增函数，为上的增函数，的解，不存在自然数，使得.【素养提升】1（2022·湖南·高三阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数，使得成立，则实数的取值范围是（       ）ABCD【答案】A【解析】因为幂函数在上单调递增，所以，即.，则的值域为，又因为函数在上为增函数，所以，的值域为，因为，使得成立，所以，解得.故选：A2（2022·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则_.【答案】30【解析】由，得，.因为点在函数上，所以，即.所以，所以.故答案为：30.3（2022·全国·高三专题练习）已知为常数，函数在区间上的最大值为，则_【答案】或【解析】解：函数的图象是由函数的图象纵向对折变换得到的，故函数的图象关于直线对称，则函数的最大值只能在或处取得，若时，函数取得最大值3，则，当时，时，满足条件；当时，时，不满足条件；若时，函数取得最大值3，则，或，当时，时，不满足条件；当时，时，满足条件；综上所述：值为1或3；故答案为：1或34（2022·全国·高三专题练习）已知，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得时，都有，则的最大值为_.【答案】【解析】，当，即时，要使在上恒成立，要使取得最大值，则只能是的较小的根，即；当，即时，要使取得最大值，则只能是的较大的根，即当时，当时，所以的最大值为.故答案为：5（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）因为幂函数在上单调递减，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，所以，假设存在，使得在上的值域为，当时，此时在上单调递减，不符合题意；当时，显然不成立；当时，在和上单调递增，故，解得.综上所述，存在使得在上的值域为.6（2022·全国·高三专题练习）设函数.（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式：.【解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，所以实数的取值范围是；(2)不等式对于实数时恒成立，即，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；(3) 不等式，当时，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.