2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第5讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题含解析.pdf

2023届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练届突破新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练第第 5讲讲 利用正利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题）1 设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，若双曲线的渐近线被圆22:100M xyx所截得的两条弦长之和为 12，已知ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则|sin|sinsin|PAB的值等于()A35B73C53D72已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为，2F，点P是双曲线C右支上一点，若122|F FPF，1230PFF，则双曲线C的离心率为()A31B312C511FD5123 已知1F，2F为双曲线222:1(0)2xyCbb的左右焦点，点A为双曲线C右支上一点，1AF交左支于点B，2AF B是等腰直角三角形，22AF B，则双曲线C的离心率为()A4B2 3C2D34已知1F，2F分别是双曲线221169xy的左右焦点，P的右支上的一动点，则12122|2|PFPFPFPF 的取值范围是()A(2,4)B(2，52C(1，3D(0，525已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程2yx，且点P为双曲线右支上一点，且1F，2F为双曲线左右焦点，12F F P的面积为4 3，且1260FPF，则双曲线的实轴的长为()A1B2C4D4 36已知双曲线222:14xyCb的左右焦点分别为1F，2F，点P是双曲线C右支上一点，若122|F FPF，1230PFF，则1|PF的长为()A42 3B2(36)C2 38D2 367 已知点(4,0)A 和(2,2)BM是椭圆221259xy上一动点，则|MAMB的最大值()A102 2B25C92D92 28 已知AB为经过抛物线26yx焦点F的弦，C为抛物线的准线与x轴的交点，若弦AB的斜率为43，则ACB的正切值为()A409B821C1D不存在9设抛物线22yx的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，5|2BF，则BCF与ACF的面积之比(BCFACFSS)A12B23C34D45二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题）10已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若12|2|FFOM，21tan2MF F，则双曲线C的离心率的取值范围为11 设1F，2F分别是椭圆2212516xy的左右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则1|PMPF的最大值为，最小值为12 设1F、2F分别是椭圆2212516xy的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则1|PMPF的最小值为13已知点(,0)F c为双曲线的22221(,0)xya bab右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆222()39cbxy相切于点Q，且2PQQF，则双曲线的离心率为14AB抛物线24yx的过焦点F的弦，O为坐标原点，则以AF为直径的圆与y轴有个公共点；抛物线准线与x轴交于点C，若135OFA，cosACB15设抛物线22yx的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|2BF，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS16已知点(1,1)M 和抛物线2:4C yx，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若90AMB，则k 17已知点(1,1)M 和抛物线2:4C yx，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若AB以为直径的圆过M，则k 三解答题（共三解答题（共 1 小题）小题）18设椭圆2221(3)3xyaa的右焦点为F，右顶点为A，已知113|eOFOAFA，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于(B B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且|MAMO，求直线l的斜率的取值范围第第 5 讲讲 利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题利用正余弦定理和三角形的边长关系解决圆锥曲线问题参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题）1 设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，若双曲线的渐近线被圆22:100M xyx所截得的两条弦长之和为 12，已知ABP的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则|sin|sinsin|PAB的值等于()A35B73C53D7【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为byxa，双曲线的渐近线被圆22:100M xyx，即22(5)25xy所截得的两条弦长之和为 12，设圆心到直线的距离为d，则2594d，2254bab，即54bc，即45bc2229225acbc，35ac，|2APBPa，由正弦定理可得2sinsinsinAPPBABRBAP，sin2APBR，sin2BPAR，2sin2cPR，2|sin|252|sinsin|23|22cPcRBPAPABaRR，故选：C2已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，点P是双曲线C右支上一点，若122|F FPF，1230PFF，则双曲线C的离心率为()A31B312C51D512【解答】解：在等腰三角形12PFF中，122|2F FPFc，1230PFF，可得221|442 22 cos1202 3PFccccc，由双曲线的定义可得12|2 322PFPFcca，即有131231cea故选：B3 已知1F，2F为双曲线222:1(0)2xyCbb的左右焦点，点A为双曲线C右支上一点，1AF交左支于点B，2AF B是等腰直角三角形，22AF B，则双曲线C的离心率为()A4B2 3C2D3【解答】解：设2|AFm，1|BFn，2AF B是等腰直角三角形，22AF B，22|BFAFm，|2ABm，由12|22 2AFAFa，22 2mnm，由22|22 2BFBFa，2 2mn，由可得4m，42 2n，由余弦定理可得222121212|2|cos4FFAFAFAFAF，22224(2)2(2)2cmmamma2216(42 2)24(42 2)242，6c 632cea，故选：D4已知1F，2F分别是双曲线221169xy的左右焦点，P的右支上的一动点，则12122|2|PFPFPFPF 的取值范围是()A(2,4)B(2，52C(1，3D(0，52【解答】解：1F，2F分别是双曲线221169xy的左右焦点，216a，29b，得1695c，双曲线的焦距为210c，1(5,0)F，2(5,0)F，点P在双曲线上运动，1212|10PFPFF F，122|2|20PFPF，2212121212|2|cos,PFPFPFPFPFPFPF PF ，10PF，2180PF ，当1PF，2180PF 时，12|28minPFPFa，当1PF，20PF 时，12|PFPF ，12|8PFPF，12122|2|PFPFPFPF 的取值范围是(0，52故选：D5已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程2yx，且点P为双曲线右支上一点，且1F，2F为双曲线左右焦点，12F F P的面积为4 3，且1260FPF，则双曲线的实轴的长为()A1B2C4D4 3【解答】解：双曲线22221xyab的渐近线方程为byxa，由一条渐近线方程为2yx，可得2ba，由双曲线定义有12|2PFPFa，两边平方得2221212|2|4PFPFPFPFa由余弦定理，有222121212|2|cos60FFPFPFPFPF，即为2221212|4PFPFPFPFc由可得22212|444PFPFcab，12F F P的面积为4 3，可得2212113|sin60434 3222PFPFbb，解得2b，1a，故选：B6已知双曲线222:14xyCb的左右焦点分别为1F，2F，点P是双曲线C右支上一点，若122|F FPF，1230PFF，则1|PF的长为()A42 3B2(36)C2 38D2 36【解答】解：双曲线222:14xyCb的2a，在等腰三角形12PFF中，122|2F FPFc，1230PFF，可得2211|442 22()2 32PFccccc，由双曲线的定义可得12|2 3224PFPFcca，解得13c ，则1|62 3PF，故选：D7 已知点(4,0)A 和(2,2)BM是椭圆221259xy上一动点，则|MAMB的最大值()A102 2B25C92D92 2【解答】解：A为椭圆左焦点，设右焦点为(4,0)F，则由椭圆定义|210MAMFa，于是10|MAMBMBMF当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MBMFBF，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第三象限交点时有|MBMFBF，在第一象限交点时有|MBMFBF显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时|MAMB有最大值，其最大值为|10|10|102 10MAMBMBMFBF故选：A8 已知AB为经过抛物线26yx焦点F的弦，C为抛物线的准线与x轴的交点，若弦AB的斜率为43，则ACB的正切值为()A409B821C1D不存在【解答】解：抛物线方程为226ypxx，3p焦点F坐标为3(2，0)，准线l方程为32x C点坐标为3(2，0)直线AB经过点3(2F，0)，AB的斜率为43，设点A的坐标为3(2x，4)3x，(0)x，代入抛物线方程可得，22161890 xpxp，可以解得，92x 或98x （舍去），443tan35xACFx，同理，可以解得，4tan5BCF，444055tantan2449155ACBACF故选：A9设抛物线22yx的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，5|2BF，则BCF与ACF的面积之比(BCFACFSS)A12B23C34D45【解答】解：抛物线方程为22yx，焦点F的坐标为1(2，0)，准线方程为12x ，如图，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则21|22BFx，22x，把22x 代入抛物线22yx，得，22y ，直线AB过点(3,0)M与(2,2)方程为260 xy，代入抛物线方程，解得，192x，91|522AE，在AEC中，/BNAE，12BCFACFBCBNSACAES，故选：A二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题）10已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，O为坐标原点，点M为双曲线右支上一点，若12|2|FFOM，21tan2MF F，则双曲线C的离心率的取值范围为(1，5【解答】解：法一：12|2|FFOM，122FMF，222124|cMFMF，1212|tan|MFMF FMF，12|2MFMFa，221222222122222211221222|4|2|4(|)|MFMFMFMFMFceMFMFMFMFaMFMFMF，设12|2|MFtMF，则2221211212tetttt，115222tt，215e，15e 法二：12|2|FFOM，122FMF，令11|MFr，22|MFr，21MF F，tan2，12 sinrc，22 cosrc，1222(sincos)arrc，1sincose，22211152tan(sincos)1sin211tane，15e 故答案为：(1，511 设1F，2F分别是椭圆2212516xy的左右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则1|PMPF的最大值为15，最小值为【解答】解：将M的坐标代入椭圆方程可得361125，即M在椭圆外，连结2PF、2MF，椭圆2212516xy的5a，4b，3c，1(3,0)F，2(3,0)F，由椭圆的定义可得，12|210PFPFa，222|(63)(40)5MF，由2211|(63)(40)97PMPFMF，22|PMPFMF，12212|2|10515PMPFPFMFPFaMF，1|PMPF的最大值和最小值分别为 15 和97故答案为：15，9712 设1F、2F分别是椭圆2212516xy的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则1|PMPF的最小值为5【解答】解：2(3,0)F12|210PFPFa，222|(63)45MF 1222|(10|)|10|105105PMPFPMPFPMPFMF，当且仅当三点M，2F，P共线时取等号故答案为：513已知点(,0)F c为双曲线的22221(,0)xya bab右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆222()39cbxy相切于点Q，且2PQQF，则双曲线的离心率为5【解答】解：根据题意，设双曲线的左焦点为1F，连接1PF，设圆的圆心为C，圆的方程为222()39cbxy的圆心为(3c，0)，半径3br，则有1|3|FFFC，若2PQQF，则1/PFQC，1|PFb，|2PFab；线段PF与圆222()39cbxy相切于点Q，则CQPF以及1PFPF，则有222(2)4babc，即2222(2)4()babab，即2ba，由双曲线的性质有5ca，则双曲线的离心率5cea；故答案为：514AB抛物线24yx的过焦点F的弦，O为坐标原点，则以AF为直径的圆与y轴有1个公共点；抛物线准线与x轴交于点C，若135OFA，cosACB【解答】解：抛物线24yx的焦点(1,0)F，准线方程为1x ，设(,)A m n，由抛物线的定义可得|1AFm，设AF的中点为M，可得M到准线的距离为13(12)22mm，即有M到y轴的距离为3111|222mmAF，则以AF为直径的圆与y轴相切，可得与y轴有 1 个交点；由135OFA，可得直线AB的斜率为tan451，即有直线AB的方程为1yx，代入抛物线的方程，可得2610 xx，解得32 2x，即有(32 2A，2 22)，(32 2B，22 2)，(1,0)C，可得直线AC的斜率为122 22242 2k，直线BC的斜率为222 22242 2k，则ACFBCF，coscos2ACBACF，由sin2tancos2ACFACFACF，22sincos1ACFACF，解得6cos3ACF，则2261cos22cos12()133ACFACF 故答案为：1，1315设抛物线22yx的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|2BF，则BCF与ACF的面积之比BCFACFSS45【解答】解：抛物线方程为22yx，焦点F的坐标为1(2，0)，准线方程为12x 如图，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则，221|222pBFxx，232x把232x 代入抛物线22yx，得，23y ，直线AB过点(3,0)M与3(2，3)方程为33(3)302xy，代入抛物线方程，解得，12x 15|222AE，在AEC中，/BNAE，|245|52BCBNACAE，1|4215|2BCFACFBC hSSAC h故答案为4516已知点(1,1)M 和抛物线2:4C yx，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若90AMB，则k 2【解答】解：抛物线2:4C yx的焦点(1,0)F，过A，B两点的直线方程为(1)yk x，联立24(1)yxyk x可得，22222(2)0k xkxk，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则212242kxxk，121x x，12124(2)yyk xxk，2212121212(1)(1)()14y ykxxkx xxx，(1,1)M，1(1MAx，11)y，2(1MBx，21)y，90AMB，0MA MB 1212(1)(1)(1)(1)0 xxyy，整理可得，12121212()()20 x xxxy yyy，24412420kk，即2440kk，2k故答案为：217已知点(1,1)M 和抛物线2:4C yx，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若AB以为直径的圆过M，则k 2【解答】解：抛物线2:4C yx的焦点(1,0)F，过A，B两点的直线方程为(1)yk x，联立24(1)yxyk x，可得22222(2)0k xkxk，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则212242kxxk，121x x，12124(2)yyk xxk，2212121212(1)(1)()14y ykxxkx xxx，(1,1)M，1(1MAx，11)y，2(1MBx，21)y，以AB为直径的圆过M，0MA MB ，1212(1)(1)(1)(1)0 xxyy，整理可得，12121212()()20 x xxxy yyy，24412420kk，即2440kk，解得2k 故答案为：2三解答题（共三解答题（共 1 小题）小题）18设椭圆2221(3)3xyaa的右焦点为F，右顶点为A，已知113|eOFOAFA，其中O为原点，e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于(B B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BFHF，且|MAMO，求直线l的斜率的取值范围【解答】解：（1）设(,0)F c，由113|eOFOAFA得，113()ccaa ac，可得2223acc，又2223acb，可得21c，24a，椭圆方程为：22143xy；(2设直线l的方程为(2)yk x，0k，(BB x，)By，由方程组22143(2)xyyk x得，2222(43)1616120kxk xk，解得2x，或228643kxk，由题意可知228643Bkxk，进而得21243Bkyk，由（1）知，(1,0)F，设(0,)HHy，则(1,)HFHy，2229412(,)43 43kkBFkk，由题意得，222124904343HkykBF HFkk ，解得29412Hkyk，直线MH的方程为219412kyxkk，与直线l的方程联立，可得点M的横坐标2220912(1)Mkxk，在MAO中，由|MAMO，得2222(2)MMMMxyxy，得1Mx，22209112(1)kk，解得64k，或64k，故直线l的斜率的取值范围为：66(,)44 第第 6 讲讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化破解离心率问题之建立齐次式和几何化一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题）1 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221(0)xyabab的右焦点，直线2by 与椭圆交于B，C两点，且90BFC，则该椭圆的离心率为()A63B2 33C12D222如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结1PF并延长交椭圆于另一点Q，且113PFFQ，若2PF垂直于x轴，则椭圆C的离心率为()A13B12C33D323设1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点圆2222xyab与双曲线C的右支交于点A，且122|3|AFAF，则双曲线离心率为()A125B135C132D134如图，1F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，点P是双曲线与圆2222xyab在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且212F QFP，则双曲线的离心率为()A102B173C394D3755 设 圆 锥 曲 线的 两 个 焦 点 分 别 为1F，2F 若 曲 线上 存 在 点P满 足1122|:|:|5:4:2PFF FPF，则曲线的离心率等于()A43或12B43或34C2 或47D43或476 设1F，2F分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，2AFx轴，若1|AF，2|AF，12|F F成等差数列，则椭圆的离心率为()A13B19C2 23D247如图，1F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，点P是双曲线与圆2222xyab在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且1213F PF Q，则双曲线的离心率为()A102B173C394D3758如图，已知双曲线22221(0,0)xyabab上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF，且,12 6，则该双曲线离心率e的取值范围为()666666666666666A 2,31B 3,23C 2,23D 3,319已知在菱形ABCD中，60BCD，曲线1C是以A，C为焦点，且经过B，D两点的椭圆，其离心率为1e；曲线2C是以A，C为焦点，渐近线分别和AB，AD平行的双曲线，其离心率为2e，则1 2(e e)A12B33C1D2 33二多选题（共二多选题（共 1 小题）小题）10已知椭圆2222:1(0)xyMabab，双曲线2222:1xyNmn若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是()A椭圆的离心率31e B双曲线的离心率2e C椭圆上不存在点A使得120AFAF D双曲线上存在点B使得120BFBF 三填空题（共三填空题（共 9 小题）小题）11已知椭圆2222:1(0)xyMabab，双曲线2222:1xyNmn若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M与双曲线N的离心率之积为12如图，在平面直角坐标系xOy中，1A，2A，1B，2B为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1B F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且3OTOM 则该椭圆的离心率为13如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，1B，2B分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若21B FAB，则椭圆C的离心率是14如图，在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆22221(0)xyabab的右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一个交点为D，且直线CD的斜率为12，则该椭圆的离心率为15如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆2222:1(0)xyEabab的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且45OAB，则椭圆E的离心率等于16已知1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，过1F的直线l与圆222xya相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A，B，若22()0F AF B AB ，则该双曲线C的离心率为17已知1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，c是双曲线C的半焦距，点A是圆222:O xyc上一点，线段2F A交双曲线C的右支于点B，且有2|F Aa，223ABAF ，则双曲线C的离心率是18 设 圆 锥 曲 线C的 两 个 焦 点 分 别 为1F，2F，若 曲 线C上 存 在 点P满 足1122|:|:|6:5:4PFF FPF，则曲线C的离心率等于19已知双曲线22221(0,0)xyabab右支上有一点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足0AF BF ，且6ABF，则双曲线的离心率e的值是第第 6 讲讲 破解离心率问题之建立齐次式和几何化破解离心率问题之建立齐次式和几何化参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 9 小题）小题）1 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221(0)xyabab的右焦点，直线2by 与椭圆交于B，C两点，且90BFC，则该椭圆的离心率为()A63B2 33C12D22【解答】解：设右焦点(,0)F c，将2by 代入椭圆方程可得223142bxaab ，可得3(2Ba，)2b，3(2Ca，)2b，由90BFC，可得1BFCFkk，即有2213322bbacac，化简为22234bac，由222bac，即有2232ca，由cea，可得22223cea，可得63e，故选：A2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结1PF并延长交椭圆于另一点Q，且113PFFQ，若2PF垂直于x轴，则椭圆C的离心率为()A13B12C33D32【解答】解：设椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)F c，设(,)P m n，0n，由2PF垂直于x轴可得mc，由242222(1)cbnbaa，可得2bna，设(,)Q s t，由113PFFQ，可得3()ccsc，23bta，解得53sc，23bta，将5(3Qc，2)3ba代入椭圆方程可得222225199cbaa，即2222259caca，即有223ac，则33cea，故选：C3设1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点圆2222xyab与双曲线C的右支交于点A，且122|3|AFAF，则双曲线离心率为()A125B135C132D13【解答】解：可设A为第一象限的点，且1|AFm，2|AFn，由题意可得23mn，由双曲线的定义可得2mna，由勾股定理可得22224()mnab，联立消去m，n，可得：2222361644aaab，即2212ba，则2211 1213cbeaa，故选：D4如图，1F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，点P是双曲线与圆2222xyab在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且212F QFP，则双曲线的离心率为()A102B173C394D375【解答】解：设1(,0)Fc，2(,0)F c，由2222222221xyabcxyab整理可得：2222222()baxa ca b，即2222222222()(2)c xa aba ba ab，因为点P是双曲线与圆2222xyab在第二象限的一个交点，所以222pa abxc，222242222222222224222222222()()a ca bca ca bc caa bca bbycxcccccc，所以点P坐标为2222(,)a abbcc，设点(,)Q m n，则22212(,)a abbFPccc，2(,)F Qmc n，由212F QFP 可得2222222a abcmccbnc，所以2222232a abmccbnc，因为点(,)Q m n在双曲线22221xyab上，所以2222222222(3)()1a abbcccab，整理可得：2222222229124()41cbcbcbaacc，所以22229123cbcaa，即2222341cbcaa，两边同时平方可得：422222224222296161616161632116ccbccaccaaaaa，所以4242926170ccaa，即42926170ee，22(917)(1)0ee，可得：2179e 或21e（舍)，所以173e，故选：B5 设 圆 锥 曲 线的 两 个 焦 点 分 别 为1F，2F 若 曲 线上 存 在 点P满 足1122|:|:|5:4:2PFF FPF，则曲线的离心率等于()A43或12B43或34C2 或47D43或47【解答】解：由题意可设：1|5PFt，12|4F Ft，2|2(0)PFt t当圆锥曲线为椭圆时，122|4cF Ft，122|7aPFPFt离心率47cea；当圆锥曲线为双曲线时，122|4cF Ft，122|3aPFPFt，离心率43cea综上可知，圆锥曲线的离心率为43或47故选：D6 设1F，2F分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，2AFx轴，若1|AF，2|AF，12|F F成等差数列，则椭圆的离心率为()A13B19C2 23D24【解答】解：1|AF，2|AF，12|F F成等差数列，21122|AFAFF F，由椭圆定义可得，12|2AFAFa，22|bAFa，21|2bAFaa，222244()(2)bbcaaa，22222bbacaa，可得23210ee，所以椭圆的离心率13e；故选：A7如图，1F，2F分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，点P是双曲线与圆2222xyab在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且1213F PF Q，则双曲线的离心率为()A102B173C394D375【解答】解：1(,0)Fc，2(,0)F c，联立2222222221xyabcxyab，解得22222422(2)abaxcbyc，P在第二象限，222(2,)abPabcc，设(,)Q m n，则2221(2,)abFPcabcc，2(,)F Qmc n，由1213F PF Q，得2212()3a abmccc，213bnc，22324a abmcc，23bnc，又22221mnab，22222222216249()91ccbcbbaacc，化简得：4242414100ccaa，即422750ee，解得：252e 或21e（舍)可得10(1)2ee故选：A8如图，已知双曲线22221(0,0)xyabab上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AFBF，设ABF，且,12 6，则该双曲线离心率e的取值范围为（）A 2,31B 3,23C 2,23D 3,31【解答】解：在Rt ABF中，|OFc，|2ABc，在直角三角形ABF中，ABF，可得|2 sinAFc，|2 cosBFc，取左焦点F，连接AF，BF，可得四边形AFBF为矩形，|2|cossin|2BFAFAFAFca，11|cossin|2|cos()|4cea，5,1263412，62 1312cos(),2|cos()|,442422，2,31e，故选：A9已知在菱形ABCD中，60BCD，曲线1C是以A，C为焦点，且经过B，D两点的椭圆，其离心率为1e；曲线2C是以A，C为焦点，渐近线分别和AB，AD平行的双曲线，其离心率为2e，则1 2(e e)A12B33C1D2 33【解答】解：60BCD，30BCA，设1OB，则2BC，3OC，椭圆1C是以A，C为焦点，且经过B，D两点的椭圆，3cOC，2224aBABC，得2a，则椭圆的离心率为132cea，则双曲线2C是以A，C为焦点渐近线分别和AB，AD平行的双曲线，则双曲线中3cOC，AB的斜率3tan303k ，即33ba，则2213ba，即22222113cacaa，得2214133e ，则24233e，则1 232123ee，故选：C二多选题（共二多选题（共 1 小题）小题）10已知椭圆2222:1(0)xyMabab，双曲线2222:1xyNmn若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是()A椭圆的离心率31e B双曲线的离心率2e C椭圆上不存在点A使得120AFAF D双曲线上存在点B使得120BFBF 【解答】解：椭圆2222:1(0)xyMabab，双曲线2222:1xyNmn，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆的右焦点坐标(,0)c，则正六边形的一个顶点3(,)22cc，对于A将3(,)22cc代入椭圆方程，得：22223144ccab，结合2221,ceabca，可得4211840ee，因为1(0,1)e，解得131e，故A正确；对于B把3(,)22cc代入双曲线的渐近线方程(nyxm不妨设0m，0)n，得3122nccm，所以3nm，则双曲线的离心率221()2nem，故B正确；对于C当A点是短轴的端点时，12F AF最大，由31ca，得2242 3ca，又222cab，从 而 可 得222 33ba，2242 32 3132 33cb，所以cb，则12124F AF，即122F AF，所以1AF20AF ，故C错误；对于D当B点在实轴的端点时，向量1BF与向量2BF 夹角为，此时，1BF20BF ，故D正确；故选：ABD三填空题（共三填空题（共 9 小题）小题）11已知椭圆2222:1(0)xyMabab，双曲线2222:1xyNmn若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M与双曲线N的离心率之积为2(31)【解答】解：不妨设m，0n，可设椭圆的焦点坐标(,0)Fc，(,0)C c，正六边形的一个顶点1(2Bc，3)2c，由|2FBCBa，即32cca，解得椭圆的123131cea；双曲线的渐近线的斜率为tan603，即3nm，可得双曲线的离心率为2221132nem即有椭圆M与双曲线N的离心率之积为2(31)故答案为：2(31)12如图，在平面直角坐标系xOy中，1A，2A，1B，2B为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1B F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且3OTOM 则该椭圆的离心率为5172【解答】解：直线12AB的方程为byxba，直线1B F的方程为byxbc，联立方程组byxbabyxbc，解得2(acTac，)abbcac3OTOM ，2(3()acMac，)3()abbcac，把M代入椭圆方程得：22222222224()9()9()a b ca baca bacac，即2224()9()cacac，化简得：22250acac，2520ee，解得5172e或5172e（舍去）故答案为：517213如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，1B，2B分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点 若21B FAB，则椭圆C的离心率是512【解答】解：(,0)F c，(,0)A a，1(0,)Bb，2(0,)Bb，2(,)FBc b ，1(,)B Aa b，21B FAB，2210FB B Aacb ，220acac，化为：210ee，01e解得512e，故答案为：51214如图，在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆22221(0)xyabab的右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一个交点为D，且直线CD的斜率为12，则该椭圆的离心率为22【解答】解：由题意可得(0,)Bb，(0,)Cb，(,0)F c，由直线BF的方程bxcybc代入椭圆方程222222b xa ya b，消去y，可得2222a cxac，2222()b cayca，即为2222(a cDac，2222()b caca，直线CD的斜率为12，可得22222()()122b cab caa c，即有22abc，由222abc，可得22bca，即22cea故答案为：2215如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆2222:1(0)xyEabab的左顶点，点B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且45OAB，则椭圆E的离心率等于63【解答】解：AO是与x轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，/BCOA，则B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数，B、C两点是关于y轴对称的由题知：OAa四边形OABC为平行四边形，则BCOAa，可设(2aB，)(2ay C，)y，代入椭圆方程解得：3|2yb，设D为椭圆的右顶点，由于45OAB，四边形OABC为平行四边形，则45COx，对C点：32tan4512ba，解得3ab，根据222acb得22213aca，即有2223ca，223e，即63e 故答案为：6316已知1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，过1F的直线l与圆222xya相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点A，B，若22()0F AF B AB ，则该双曲线C的离心率为3【解答】解：法 1（代数