辽宁省抚顺市六校协作体2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题含答案.pdf

辽宁省抚顺市六校协作体辽宁省抚顺市六校协作体 2022-2023 学年高二上学期期中考试数学试题学年高二上学期期中考试数学试题考生注意：考生注意：1.本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间分。考试时间 120 分钟。分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：人教本试卷主要考试内容：人教 B 版选择性必修第一册至第二章版选择性必修第一册至第二章 2.3 圆圆及其方程。及其方程。第第 I 卷卷一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.直线0 xy绕原点逆时针旋转 90后所对应的直线斜率为A.-1B.33C.33D.12.已知ABC的三个顶点分别为5,3,2A，1,1,3B，1,3,5C ，则BC边上的中线长为A.2 6B.3 6C.3 5D.2 53.如图，在四面体 OABC 中，G 是 BC 的中点.设OAa，OBb，OCc，则AG A.1122abcB.1122abc C.12abcD.12abc4.圆M：22670 xyx与圆N：224240 xyxy的公切线有A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条5.空间中有三点1,2,2P，2,3,1M，3,2,2N，则点 P 到直线 MN 的距离为A.2 2B.2 3C.3D.2 56.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为 4 的正方形，8PD，且4 5PAPC，M 为 BC 的中点，则点 B 到平面 PAM 的距离为A.2 23B.2 33C.43D.2 637.已知圆C：22329xy，过直线l：34190 xy上一点 P 向圆C作切线，切点为 Q，则PQ的最小值为A.5B.2 7C.7D.2 58.台风中心从 M 地以每小时 30km 的速度向西北方向移动，离台风中心30 3km内的地区为危险地区，城市 N在 M 地正西方向 60km 处，则城市 N 处于危险区内的时长为A.1hB.2hC.2hD.3h二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知直线l：320 xy，则下列选项中不正确的有A.直线l的倾斜角为56B.直线l的斜率为3C.直线l的一个法向量为1,3u D.直线l的一个方向向量为3,3v 10.设直线l：2330axay 与n：210axay，则A.当2a 时lnB.当13a 时lnC.当ln时，l，n间的距离为52D.坐标原点到直线n的距离的最大值为2211.若关于x的方程210 xxb有唯一解，则b的取值可能是A.12B.1C.2D.212.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E，F，G 分别是棱 BC，1CC，1B B的中点，则下列选项中不正确的是A.1AD 平面 AAEFB.1DG平面AEFC.平面AEF截该正方体所得的截面面积为92D.三棱锥1AAEF的体积为43第第卷卷三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上.13.直线l：34yx被圆C：221318xy截得的弦长为_.14.在直三楼柱111ABCABC中，4 2CA，4CB，90BCA，M 是11AB的中点，以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，若11ABCB，则异面直线CM与1AB夹角的余弦值为_.15.写出到原点及点1,2 6M 的距离分别为 2，3 的一条直线的方程_.16.一条沿直线传播的光线经过点3,7P 和2,5Q，然后被直线2yx反射，则入射点的坐标为_，反射光线所在直线在 y 轴上的截距为_.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知直线1l：21210axay，直线2l：1210axy.（1）若12ll，求实数a的值；（2）若12ll，求实数a的值.18.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是平行四边形，Q 为 PC 的中点.（1）用AB，AD，AP 表示BQ；（2）若底面 ABCD 是正方形，且1PAAB，3PABPAD，求AQ.19.（12 分）已知圆M经过点2,5A，2,3B，6,1C.（1）求圆M的标准方程；（2）过点2,3P向圆M作切线，求切线方程.联20.（12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，1BEEB，122ABCCBC.（1）证明：1ACC E.（2）求二面角1CAEB的余弦值.21.（12 分）如图，在平面多边形 ABCDE 中，112ABADAEBC，ADE为等腰直角三角形，四边形 ABCD为等腰梯形，且ADBC，沿 AD 将ADE折起，使得2BE，M 为 BC 的中点，连接 AM，BD，如图.（1）证明：BDEM.（2）求直线 DE 与平面 BEM 所成角的正弦值22.（12 分）已知圆C：2211xy，过点0,2P的直线l与圆C交于 A，B 两点，O 为坐标原点（1）当直线l的斜率为-4 时，求AOB的面积.（2）若直线l的斜率为 k，直线 OA，OB 的斜率为1k，2k.求 k 的取值范围，试判断12kk的值是否与 k 有关?若有关，求出12kk与 k 的关系式；若无关，请说明理由.高二数学试卷参考答案高二数学试卷参考答案1.A 直线0 xy的斜率为 1，倾斜角为 45，所以绕原点逆时针旋转 90后所对应直线的倾斜角为 135，斜率为tan1351.2.B因为BC的中点坐标为0,2,4D，所以BC边上的中线长为2225032243 6AD.3.B111222AGOGOAOBOCOAabc .4.B 因为圆 M 的圆心为3,0M，圆 N 的圆心为2,1N，所以22320 126MN .因为圆 M 的半径4R，圆 N 的半径3r，所以432634，所以圆 M 与圆 N 相交，故公切线有 2 条.5.A 因为1,1,1MN ，所以MN 的一个单位方向向量为31,1,13u.因为1,1,3PM ），所以点 P 到直线 MN 的距离为222 2PMPM u .6.D 因为4ADCD，8PD，4 5PAPC，所以直线 DA，DC，DP 两两互相垂直.以 D 为原点，DA，DC，DP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则4,0,0A，2,4,0M，0,0,8P，4,4,0B，4,0,8PA ，2,4,0AM ，4,4,8PB .设平面 PAM 的法向量为,nx y z，则480,240,n PAxzn AMxy 令1y，得2,1,1n，所以点 B 到平面 PAM 的距离2 63PB ndn .7.C 记圆心C到直线l的距离为d，则223 34219434d .因为2229PQCPCQCP，所以当直线l与 CP 垂直，即CPd时，PQ最小，故2min497PQ.8.C 如图，建立平面直角坐标系，过点 N 作NEMQ于 E.以点 N 为圆心，30 3为半径的圆交 MQ 于 P，Q，连 接NP，NQ.在RtMNE中，26030 22NE.因 为30 3NP，所 以2230 330 230PE，所以60PQ，故 N 城市处于危险区域的时长为602h30.9.ABC 因为直线l的斜率为3，倾斜角为23，所以 A，B 不正确；因为333，所以直线l的一个方向向量为3,3v ，故 C 不正确，D 正确.10.ACD 若ln，则2232aaa，解得2a 或3a，当3a 时，l，n重合，当2a 时，ln，此时l的方程为230 xy，n的方程为4210 xy，所以l，n间的距离为223 2 15242，故 A，C 正确；若ln，则2230a aaa，解得0a 或13a ，故 B 不正确；由0,210,xyx 得1,21,2xy 所 以n恒 过 点1 1,2 2，所 以坐 标 原 点到 直 线n的 距 离的 最 大 值为2211200222，故 D 正确.11.AD 由题意可知关于x的方程21xxb 有唯一解，即曲线21yx（以原点为圆心的单位圆的上半部分）与直线yxb 有唯一公共点.当直线yxb 经过点1,0时，1b；当直线yxb 经过点1,0时，1b ；若直线yxb 与曲线21yx相切，则12b，得2b，数形结合可知，b的取值范围是1,12.12.ABD 以D为坐标原点，DA，DC，1DD 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则2,0,0A，1,2,0E，0,2,1F，12,0,2A，10,0,2D，2,2,1G所以1,0,1EF ，1,2,0AE ，12,2,1DG ，12,0,2AD .设平面AEF的法向量为,nx y z，则0,20,n EFxzn AExy 令1y，得2,1,2n.因为1A D 与2,1,2n 不平行，所以1AD与平面 AEF 不垂直，故 A 错误.因为10D G n ，所以1DG与平面AEF不平行，故 B 错误.平面AEF截该正方体所得的截面为梯形1AEFD，因为2EF，12 2AD，15AED F，所以截面面积为3 222 29222，故 C 正确.因为10,0,2A A，所以1A到平面AEF的距离143A A ndn.因为13 232$222AEFS，所以11233AAEFAEFVSd，故 D 错误.13.4 2记圆心C到直线l的距离为d，则2231341031d .因为圆C的半径为3 2，所以直线l被圆C截得的弦长为2223 2104 2.14.3 714设1AAa，则0,4,0B，14 2,0,Aa，10,4,Ba，10,0,Ca，14 2,4,ABa，10,4,CBa.因为11A BCB，所以211160A B CBa，得4a.因为2 2,2,4CM ，14 2,4,4AB ，所以1243 7cos,142 78CM AB ，故异面直线CM与1A B夹角的余弦值为3 714.15.2x 或2 6100 xy或234 6500 xy（注意只需从这三条公切线中选择一条作答即可）记以原点为圆心，2 为半径的圆为圆O，则圆O的方程为224xy.以 M 为圆心，3 为半径的圆为圆 M，则圆 M的方程为2212 69xy.因为2212 65，所以圆O与圆 M 相外切，所以符合题意的直线即为圆O与圆 M 的公切线，共有三条.作图（图略）观察易知，其中一条公切线的方程为2x.将两圆方程相减得2 6100 xy，得到第二条公切线.设第三条公切线的方程为ykxb，则0k，0b.因为221bk，所以22 1bk.因为22 631kbk，所以222 12 63 1kkk，平方整理得222222 642 615 12 65 12 610kkkkkkkk，所以22 65 10kk或22 610kk，解得12 6k（舍去）或234 6k ，所以252 6b ，所以第三条公切线的方程为23254 62 6yx，即234 6500 xy.16.1,1；12入射光线所在直线的方程为257532xy ，即210 xy，联立方程组20,210,xyxy 解得1,1,xy 即入射点的坐标为1,1.设 P 关于直线2yx对称的点为,Pa b，则3720,2271,3abba 解得9,5,ab 即9,5P.因为反射光线所在直线经过入射点和P，所以反射光线所在直线的斜率为1511 92 ，所以反射光线所在直线的方程为1112yx ，令0 x，得12y ，即反射光线所在直线在y轴上的截距为12.17.解：（1）因为12ll，所以 212210aaa，整理得2550aaa a，解得0a 或5a.当0a 时，1l：210 xy ，2l：210 xy，1l，2l重合；当5a 时，1l：9310 xy，2l：6210 xy，符合题意.故5a.（2）因为12ll，所以211220aaa，整理得22351250aaaa，解得1a 或52a .18.解：（1）1122BQBCCQADCPADCBBAAP 111111222222ADADABAPADABAP .（2）因为111111222222AQABBQABADABAPABADAP ，所以222212224AQABADAPAB ADAB APAD AP 151 1 1 0 1 144 ，故52AQ.19.解：（1）设圆 M 的方程为220 xyDxEyF，则29250,13230,3760,DEFDEFDEF解得4D，2E ，11F ，所以圆 M 的方程为2242110 xyxy，故圆 M 的标准方程为222116xy.（2）当切线斜率不存在时，切线方程为2x.当切线斜率存在时，设切线方程为32yk x，即230kxyk.由2212341kkk，解得34k ，所以切线方程为3324yx，即34180 xy.综上所述，所求切线方程为2x 或34180 xy20.（1）证明：因为三棱柱111ABCABC是三棱柱，所以1CC 平面ABC，AC 平面ABC，所以1ACCC.又ACBC，1C CBCC，1,CC BC 平面11B BCC，所以AC 平面11B BCC.因为1C E 平面11B BCC，所以1ACC E.（2）解：如图，以C为坐标原点，CA，CB，1CC 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，则3,0,0A，0,1,0B，10,0,2C，0,1,1E，所以13,0,2AC ，3,1,1AE ，0,0,1BE 设平面1AEC的法向量为111,mx y z，则111112320,30,m ACxzm AExyz 令12x，得2,3,3m.设平面ABE的法向量为222,nxyz，则22220,30,n BEzn AExyz 令21x，则1,3,0n，所以2310cos,44334m nm nm n .因为二面角1CAEB为钝角，所以二面角1CAEB的余弦值为104.21.（1）证明：因为2222BEAEAB，所以ABAE，又AEAD，ADABA，所以AE 平面 ABCD，所以AEBD.连接 AC，MD，由ADBM，且ADBM，ADAB，可知四边形ABMD为菱形，所以BDAM.因为AEAMA，所以BD 平面AEM，故BDEM.（2）解：由（1）可知四边形ABMD为菱形，1MDABCDMC，因此CDM为正三角形.因为60BCD，120BADADC，30ACDDAC，1203090BAC，所以 AB，AE，AC 两两垂直.如图所示，以 A 为原点，AB，AC，AE 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，1,0,0B，0,3,0C，0,0,1E，13,022D，1,0,1BE ，13,022BMAD ，13,122DE，设平面BEM的法向量为,nx y z，则0,130,22BExzBMxy 令1y，得3,1,3n.设直线 DE 与平面 BEM 所成的角为，则3342sincos,142714DE n，故直线 DE 与平面 BEM 所成角的正弦值为4214.22.解：（1）当直线l的斜率为-4 时，直线l的方程为42yx.因为圆心1,0到直线l的距离217d，所以42 132 11717AB，所以12 13217AOBSAB d（2）直线l的方程为2ykx.因为l与圆C相交，所以圆心1,0到直线l的距离2211kdk，得34k ，即k的取值范围是3,4 设11,A xy，22,B xy，联立方程组222,11,ykxxy得2214240kxkx，所以122421kxxk，12241x xk.因为121212121212121222112222yykxkxxxkkkkxxxxxxx x，所以212242122221141kkkkkkkk，即12kk为定值，与直线l的斜率k无关.